1、18.4 反比例函数（1）知识技能目标1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式过程性目标1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力； 2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力教学过程一、创设情境两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系二、 探究归纳问题 1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到 15 千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里
2、到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式设小华乘坐交通工具的速度是 v 千米/时，从家里到镇上的时间是 t 小时因为在匀速运动中，时间路程速度，所以 t15从这个关系式中发现:1.路程一定时，时间 t 就是速度 v 的反比例函数即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大2.自变量 v 的取值是 v0问题 2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 平方米的矩形饲养场设它的一边长为 x(米)，求另一边的长 y(米)与 x 的函数关系式分析 根据矩形面积可
3、知xy24，即 xy4从这个关系中发现：1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；2.自变量的取值是 x0上述两个函数都具有 的形式，一般地，形如 (k 是常数， k0)的函数叫kyxy做反比例函数( proportional function) 说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例 y kx，即 ， k 是常x数，且 k0；反比例函数 ，则 xy k， k 是常数，且 k0可利用定义判断两个量xyx 和 y 满足哪一种比例关系2.反比例函数的解析式又可以写成： ( k 是常数， k0)1xy3.
4、要求出反比例函数的解析式，只要求出 k 即可三、实践应用例 1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是 12cm2，它的一边是 acm，这边上的高是 hcm，则 a 与 h 的函数关系； (2)压强 p 一定时，压力 F 与受力面积 s 的关系；(3)功是常数 W 时，力 F 与物体在力的方向上通过的距离 s 的函数关系(4)某乡粮食总产量为 m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食 y(吨)与该乡人口数 x 的函数关系式分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合 (k 是y常数， k0)所以此题必须先写出函数解析式，后解答解 (1) ，是反比例函数；
5、ha12(2)F ps，是正比例函数；(3) ，是反比例函数；sW(4) ，是反比例函数xmy例 2 当 m 为何值时，函数 是反比例函数，并求出其函数解析式24mxy分析 由反比例函数的定义易求出 m 的值解 由反比例函数的定义可知：2 m21， 3所以反比例函数的解析式为 xy4例 3 将下列各题中 y 与 x 的函数关系与出来(1) ， z 与 x 成正比例；y1(2)y 与 z 成反比例， z 与 3x 成反比例；(3)y 与 2z 成反比例， z 与 成正比例；21解 (1)根据题意，得 z kx(k0)把 z kx 代入 ，得 ，即 因此 y 是 x 的反比例函数ykxky(2)根
6、据题意，得 (k1，k 2均不为 0)z3,21把 代入 ，得 ，即 xkz32zky1xk213xky213因此 y 是 x 的正比例函数(3)根据题意，得 把 ，得xkzy21,zkyxkz2112代 入，即 y 因此 y 是 x 的反比例函数xky2121例 4 已知 y 与 x2成反比例，并且当 x3 时， y2求 x1.5 时 y 的值分析 因为 y 与 x2成反比例，所以设 ，再用待定系数法就可以求出 k，进而再求出ky 的值解 设 因为当 x3 时， y2，所以 ， k 182k9当 x1.5 时， 8)5.1(22y例 5 已知 y y1 y2， y1与 x 成正比例， y2与
7、 x2成反比例，且 x2 与 x3 时， y 的值都等于 19求 y 与 x 间的函数关系式分析 y1与 x 成正比例，则 y1 k1x， y2与 x2成反比例，则 ，又由 y y1 y2，可2ky知， ，只要求出 k1和 k2即可求出 y 与 x 间的函数关系式21k解 因为 y1与 x 成正比例，所以 y1 k1x；因为 y2与 x2成反比例，所以 ，2而 y y1 y2，所以 ，21xk当 x2 与 x3 时， y 的值都等于 19所以 解得,.9142k36521k所以 2365xy四、交流反思本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如 (k 是常数，xkyk0)的函
8、数叫做反比例函数( proportional function) 要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出 k 值，即可确定五、检测反馈1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？(1)小红一分钟可以制作 2 朵花， x 分钟可以制作 y 朵花；(2)体积为 100cm3的长方体，高为 hcm 时，底面积为 Scm2；(3)用一根长 50cm 的铁丝弯成一个矩形，一边长为 xcm 时，面积为 ycm2；(4)小李接到对长为 100 米的管道进行检修的任务，设每天能完成 10 米， x 天后剩下的未检修的管道长为
9、 y 米2.已知 y 与 x2 成反比例，当 x4 时， y3，求当 x5 时， y 的值3.已知 y y1 y2， y1与 成正比例， y2与 x2成反比例当 x1 时， y12；当 x4时， y7(1)求 y 与 x 的函数关系式和 x 的取范围；(2)当 x 时，求 y 的值44.已知一个长方体的体积是 100 立方厘米，它的长是 ycm，宽是 5cm，高是 xcm(1)写出用高表示长的函数式；(2)写出自变量 x 的取值范围；(3)当 x3cm 时，求 y 的值5.试用描点作图法画出问题 1 中函数的图象反比例函数（2）知识技能目标1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例
10、函数的图象,说出它的性质； 2.利用反比例函数的图象解决有关问题过程性目标1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质； 2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题教学过程一、创设情境上节的练习中，我们画出了问题 1 中函数 的图象，发现它并不是直线那么它vst是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数 （ k 是常数， k0）xy的图象，探究它有什么性质二、探究归纳1.画出函数 的图象xy6分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量 x 0解 1列表：这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出
11、 x 与 y 的对应值：2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(6,1)、(3,2)、(2,3)等3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支这两个分支合起来，就是反比例函数的图象上述图象，通常称为双曲线( hyperbola)提问 这两条曲线会与 x 轴、 y 轴相交吗？为什么？学生试一试：画出反比例函数 的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画x6函数图象的步骤） 学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题 1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数 的图象有什么不同
12、？xy62.反比例函数 (k0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？xy3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量 x 的增加，函数 y 将怎样变化？有什么规律？反比例函数 有下列性质：xy(1)当 k0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而减少；(2)当 k0 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而增加注 1双曲线的两个分支与 x 轴和 y 轴没有交点；2双曲线的两个分支关于原点成中心对称以上两点性质在上堂课的问题 1 和问题 2 中反映了怎样的实际
13、意义？在问题 1 中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少在问题 2 中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小三、实践应用例 1 若反比例函数 的图象在第二、四象限，求 m 的值2)1(mxy分析 由反比例函数的定义可知： , 又由于图象在二、四象限，所以1m10，由这两个条件可解出 m 的值解 由题意，得 解得 01,23例 2 已知反比例函数 (k0)，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大，求一次函数xkyy kx k 的图象经过的象限分析 由于反比例函数 (k0)，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大，因此 k0，而一次函数 y kx k
14、中， k0，可知，图象过二、四象限，又 k0，所以直线与 y 轴的交点在 x 轴的上方解 因为反比例函数 (k0)，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大，所以 k0，所以一xy次函数 y kx k 的图象经过一、二、四象限例 3 已知反比例函数的图象过点(1,2)(1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点 A(5, m)在图象上，则点 A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,2)，即当 x1 时， y2由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点 A 在反比例函数的图象上，易求出
15、 m 的值，再验证点 A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上解 (1)设：反比例函数的解析式为： (k0)xky而反比例函数的图象过点(1,2)，即当 x1 时， y2 所以 ， k21即反比例函数的解析式为： xy2(2)点 A(5, m)在反比例函数 图象上，所以 ，xy252m点 A 的坐标为 52,点 A 关于 x 轴的对称点 不在这个图象上；),(点 A 关于 y 轴的对称点 不在这个图象上；点 A 关于原点的对称点 在这个图象上；)52,(例 4 已知函数 为反比例函数3mxy(1)求 m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内， y 随 x 的增大如何变化？(3)当3
16、x 时，求此函数的最大值和最小值21解 (1)由反比例函数的定义可知： 解得， m2.02,13m(2)因为20，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内， y 随 x 的增大而增大(3)因为在第个象限内， y 随 x 的增大而增大，所以当 x 时， y 最大值 ；18214当 x3 时， y 最小值 3所以当3 x 时，此函数的最大值为 8，最小值为 2134例 5 一个长方体的体积是 100 立方厘米，它的长是 y 厘米，宽是 5 厘米，高是 x 厘米(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量 x 的取值范围；(3)画出函数的图象解 (1)因为 1005 xy,所以 xy2
17、0(2)x0(3)图象如下：说明 由于自变量 x0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支四、交流反思本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质1.反比例函数的图象是双曲线( hyperbola) 2.反比例函数有如下性质：(1)当 k0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而减少；(2)当 k0 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而增加五、检测反馈1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：(1) ； (2) xy1xy32.已知 y 是
18、 x 的反比例函数，且当 x3 时， y8,求：(1)y 和 x 的函数关系式；(2)当 时， y 的值；32(3)当 x 取何值时， ?3.若反比例函数 的图象在所在象限内， y 随 x 的增大而增大，求 n 的132)9(nxy值4.已知反比例函数 经过点 A(2, m)和 B(n,2n)，求：m(1)m 和 n 的值；(2)若图象上有两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)，且 x10 x2，试比较 y1和 y2的大小反比例函数(3)知识技能目标1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题； 2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题过程性目标1.进一步探求一次
19、函数和反比例函数的性质，感受用待定系数法求函数解析式的方法；2.通过培养学生看图（象） 、识图（象） 、读图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题教学过程一、创设情境已知正比例函数 y ax 和反比例函数 的图象相交于点(1,2)，求两函数解析xby式分析 根据题意可作出图象点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出 a 和 b解 因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把 x1， y2 分别代入 y ax 和 中，得x2 a， ， b2所以正比例函数解析式为 y2 x反比例函数解析式为 二、探究归纳综合运用一次函数和反
20、比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题 三、实践应用例 1 已知直线 y x b 经过点 A(3,0)，并与双曲线 的交点为 B(2， m)和xkyC，求 k、 b 的值 解 点 A(3,0)在直线 y x b 上，所以 03 b， b3一次函数的解析式为： y x3又因为点 B(2， m)也在直线 y x3 上，所以 m235，即 B(2,5)而点 B(2,5)又在反比例函数 上，所以 k2(5)10例 2 已知反比例函数 的图象与一次函数 y k2x1 的图象交于 A(2,1)xky1(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断 A 点关于坐标原点的对
21、称点与两个函数图象的关系分析 (1)因为点 A 在反比例函数和一次函数的图象上，把 A 点的坐标代入这两个解析式即可求出 k1、 k2的值(2)把点 A 关于坐标原点的对称点 A坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知 A是否在这两个函数图象上解 (1)因为点 A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以 k121212 k21， k21所以反比例函数的解析式为： ；一次函数解析式为： y x1xy2(2)点 A(2,1)关于坐标原点的对称点是 A(2,1)把 A 点的横坐标代入反比例函数解析式得， ，所以点 A 在反比例函数图12y象上把 A 点的横坐标代入一次函数解析式得， y213
22、，所以点 A 不在一次函数图象上例 3 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 A(0,1)和点 B(a,3 a),a0，且点 B 在反比例函数的 的图象上x(1)求 a 的值(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象(3)利用画出的图象，求当这个一次函数 y 的值在1 y3 范围内时，相应的 x 的取值范围(4)如果 P(m,y1)、 Q(m1, y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较 y1与 y2的大小分析 (1)由于点 A、点 B 在一次函数图象上，点 B 在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出 k、 b 和 a 的值(2)由(1)求出的 k、 b、 a 的值
23、，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题解 (1)反比例函数的图象过点 B(a,3 a)， ， a1，因为 a0， 所以3a1 a0 B(1,3)又因为一次函数图象过点 A(0,1)和点 B(1,3)所以 解得， .3,bk12k即：一次函数的解析式为 y2 x1(2)一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数 y 的值在1 范围内时，相应的 x 的值为：1 x1(4)从图象可知， y 随 x 的增大而减小，又 m1 m，所以 y1 y2。或解：当 x1 m 时， y12 m1；当 x2 m1 时， y22( m1)12 m
24、1所以 y1 y2(2 m1)(2 m1)20，即 y1 y2。例 4 如图，一次函数 y kx b 的图象与反比例函数的图象交于 A、 B 两点x(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围分析 (1)把 A、 B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式 (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标解 (1)观察图象可知，反比例函数 的图象过点 A(2,1)， m212xmy所以
25、反比例函数的解析式为： 又点 B(1,a)也在反比例函数图象上，2即 B(1,2)21a因为一次函数图象过点 A、 B所以 解得，.2,1bk.1,k一次函数解析式为： y x1(2)观察图象可知，当 x2 或 0 x1 时，一次函数的值大于反比例函数值四、交流反思1综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法2观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题五、检测反馈1.已知一次函数 y kx b 的图象过点 A(0,1)和点 B(a,3 a)(a0)，且点 B 在反比例函数 的图象上，求 a 及一次函数式 xy32.已知关于 x 的一次函数 y mx3 n 和反比例函数 图象都经过点xnmy52(1,2)，求这个一次函数与反比例函数的解析式3.如图，点 P 是直线 与双曲线 在第一象限21xk内的一个交点，直线 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A、 C，y过 P 作 PB 垂直于 x 轴于 B，若 AB PB9(1)求 k 的值；(2)求 PBC 的面积
