1、第 7 章 一元一次不等式与不等式组 一章思想方法“集中营”数学思想方法是数学的灵魂，它来源于数学知识之中，反过来又能指导学生运用数学思想方法解决实际问题，因此在复习过程中应重视数学思想方法的归纳与总结。现将不等式一章的主要数学思想方法归纳总结如下：一、类比思想：类比是学习数学常用的数学思想方法，类比相关的旧知识，学习新知识，会将新知识学得更易、更深、更透。在本章的学习中多次运用类比的思想方法，如不等式的基本性质的学习类比了等式的基本性质；一元一次不等式的定义及解法类比了一元一次方程的定义及解法；列一元一次不等式（组）解实际应用问题类比了列一元一次方程解实际应用问题等。通过类比找出新、旧知识的
2、共同点和不同点，在类比的过程中加以区别，这样学起来既简单又快，还能达到准确掌握新知识的目的。二、数形结合思想：求不等式的解集的过程是解释数量不等关系的过程，用数轴表示不等式（组）的解集的过程是将数量不等关系图形化的过程，在此“数”与“形”要巧妙结合。例 1(2005 年大连市)图 2 是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处） ，则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A BC D析解：本题是将游戏中的不等关系通过“形”和“数”巧妙结合，同时还要将“数”转化为形。此题考查的是不等式性质的应用。甲的体重应该是大于40，小于 50。故应选 D。甲乙 40kg丙 50kg甲图 140 5
3、0 40 5040 50 40 50三、转化思想：例 2(黄石市 2005)已知关于 x 的不等式 2x+m-5 的解集如图所示，则 m 的值为( A )A1 B0C -1 D-2解析：一元一次方程（组）和一元一次不等式（组） ，它们之间可以相互转化，也就是说，有时可把一次方程（组）问题转化为不等式（组）来求解；有时又可以把不等式（组）问题转化为一次方程（组）来求解 。解：由图可知：不等式的解集为 ，而解不等式得： ，3x52mx，即 ，故选 A。532m1四、数学建模思想：例 3 （2005 长春）一辆公共汽车上有 名乘客，到某一车站下了(54)a人，车上有多少名乘客？(92)a解析：此题是
4、一道实际应用问题，由于实际意义的限制，车上人数必须大于下车人数，且都不能是负数，因此可建立不等式组模型来解。同时必须考虑实际意义。解：根据题意，得 ，解得： 。又(54)a(92)a13972a，54092a解得： ，因此 。由于人数不能为分数， 为整数，92a13972aa所以 =2，3，4；分别为：6，11，16。即车上原有乘客 6 人或 11 人或 16 人 。(5)五、分类讨论思想：例 4（河南课改）某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过 34 万
5、元。甲 乙321-3 -2 -1 0价格（万元/台） 7 5每台日产量（个） 100 60（1） 按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个，那么为了节约资金应选择哪种方案？解析：由于此题是方案设计问题，又存在不等关系，因此先建立不等式，然后分情况讨论。解：（1）设购买甲种机器 x 台，则购买乙种机器（6x）台。由题意，得 ，75()34x解这个不等式，得 ，即 x 可以取 0、1、2 三个值，2所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器 6 台；方案二：购买甲种机器 1 台，购买乙种机器 5 台；方案三：购买甲种机器 2 台，购买乙种机器 4 台；（2）按方案一购买机器，所耗资金为 30 万元，新购买机器日生产量为 360个；按方案二购买机器，所耗资金为 175532 万元；新购买机器日生产量为 1100560400 个；按方案三购买机器，所耗资金为 274534 万元；新购买机器日生产量为 2100460440 个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于 380 个的要求，又比方案三节约 2 万元资金，故应选择方案二。
