1、一、选择题1一个与正整数 n 有关的命题，当 n2 时命题成立，且由 nk 时命题成立可以推得 nk 2 时命题也成立，则 ( )A该命题对于 n2 的自然数 n 都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与 k 取值无关D以上答案都不对【解析】 由 nk 时命题成立可推出 nk 2 时命题也成立，又 n2 时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选 B.【答案】 B2已知 f(n) ，则( )1n 1n 1 1n 2 1n2Af(n )共有 n 项，当 n2 时，f(2) 12 13Bf(n) 共有 n1 项，当 n2 时，f(2) 12 13 14Cf(n) 共
2、有 n2n 项，当 n2 时，f(2) 12 13Df(n )共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2) 12 13 14【解析】 结合 f(n)中各项的特征可知，分子均为 1，分母为n，n1，n 2的连续自然数共有 n2n1 个，且 f(2) .12 13 14【答案】 D3(2013烟台高二检测 )用数学归纳法证明 123n 2 ，则n4 n22当 nk1 时左端应在 nk 的基础上加上( )Ak 21B(k1) 2C.k 14 k 122D(k 21)(k 22)(k 1) 2【解析】 当 nk 时，左端 123k 2，当 nk1 时，左端 1 23k 2(k 21)(k 22)(k1)
3、 2，故当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上(k 21)(k 22)(k1)2，故应选 D.【答案】 D4(2013合肥高二检测 )对于不等式 时，f (2k1 )比12 13 1n n2f(2k)多的项数是_项【解析】 f(2 k)1 ，f(2 k1 )1 12 13 12k 12 13 12k 12k 112k 2 12k 2k因此，f(2 k1 )比 f(2k)多了 2k项【答案】 2 k8用数学归纳法证明 .假设 nk 时，不等式122 132 1n 1212 1n 2成立，则当 nk 1 时，应推证的目标不等式是 _【解析】 观察不等式中各项的分母变化知，nk1 时， 122
4、 132 .1k2 1k 12 1k 2212 1k 3【答案】 122 132 1k2 1k 12 1k 2212 1k 3三、解答题9用数学归纳法证明：1 12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2(n N )12n【证明】 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 ，即 n1 时命题成12 12 12立(2)假设 nk(kN )时命题成立，即 1 .12 13 14 12k 1 12k 1k 1 1k 2 12k则当 nk1 时，1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1k 2 12k 12k 1 12k 2 ( )1k 2 1k 3 12k
5、1 1k 1 12k 2 ，1k 2 1k 3 12k 1 12k 2即当 nk1 时，等式成立由(1)和(2)知，等式对任何 nN 都成立10用数学归纳法证明：1 1)12 13 12n 1【证明】 (1)当 n2 时，左边1 ，右边2，左边右边，不等式12 13成立(2)假设当 n k 时，不等式成立，即 1 k，则当12 13 12k 1nk1 时，有 1 k 12 13 12k 1 12k 12k 1 12k 1 1 12k k k 1，所以，当 nk1 时不等式成立12k 1 12k 1 1 12k2k由(1)和(2)知，对于任意大于 1 的正整数 n，不等式均成立11已知数列a n
6、中，a 1 ，其前 n 项和 Sn满足 anS n 2(n2)，23 1Sn计算 S1，S 2，S 3，S 4，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明【解】 当 n2 时，a nS nS n1 S n 2.1SnS n (n2) 1Sn 1 2则有：S 1a 1 ，23S2 ，1S1 2 34S3 ，1S2 2 45S4 ，1S3 2 56由此猜想：S n (nN )n 1n 2用数学归纳法证明：当 n1 时，S 1 a 1，猜想成立23假设 nk(k N )猜想成立，即 Sk 成立，k 1k 2那么 nk1 时，S k1 1Sk 2 1 k 1k 2 2 .k 2k 3 k 1 1k 1 2即 nk1 时猜想成立由可知，对任意自然数 n，猜想结论均成立
