1、2018-2019 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1.若集合 A=x|-2 x0， B=-2，-1，0，1，2，则 A B=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案【详解】集合 表示 到 0 的所有实数，集合 表示 5 个整数的集合， ，故选 C【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题2.下列复数为纯虚数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】 ， ， ， ，为纯虚数的是 ，故选 D【点睛】本题主要考查了复
2、数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断 为奇函数，且存在零点为 ， 为非奇非偶函数， 为偶函数， 不存在零点，故得解【详解】对于选项 A： 为奇函数，且存在零点为 x=0，与题意相符；对于选项 B： 为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项 C： 为偶函数，与题意不符；对于选项 D： 不存在零点，与题意不符，故选： A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题4.执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出 的等于（ ）A.
3、3 B. 12 C. 60 D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果【详解】模拟执行程序，可得 ， ， ， ， ， 满足条件 ，执行循环体， ， ， 满足条件 ，执行循环体， ， ， 不满足条件 ，退出循环，输出 的值为 60 故选 C【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题5.“ ”是“函数 的图像关于直线 对称”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性
4、求出函数的对称轴为 ，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若函数 的图象关于直线 ，则 ，得 ，当 时， ，即“ ”是“函数 的图象关于直线 对称”的充分不必要条件，故选 A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出 的取值范围是解决本题的关键6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）A. 2 B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥 ，其中 底面 ， ， ，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥 ，其中 底面 ， ， ， ， ，在该三棱
5、锥中，最长的棱长为 ，故选 D【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题7.在极坐标系中，下列方程为圆 的切线方程的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出圆的直角坐标方程为 ，圆心为 ，半径 ，将每个选项分别利用直角坐标表示，根据直线与圆的位置关系能求出结果【详解】圆 ，即 ，圆的直角坐标方程为 ，即 ，圆心为 ，半径 ，在 A 中， 即 ，圆心 到 的距离 ，故 不是圆的切线，故 A 错误；在 B 中， 是圆，不是直线，故 B 错误； 在 C 中， 即 ， 圆心 到 的距离 ，故 是圆的切线
6、，故 C 正确； 在 D 中， 即 ， 圆心 到 的距离 ，故 不是圆的切线，故 D 错误 故选 C【点睛】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE=4.8+1.5M已知两次地震的里氏震级分别为 8.0 级和 7.5 级，若它们释放的能量分别为 E1 和 E2，则 的值所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出【详解】 ， ， ， ， ，
7、 ， ， ， ， ， 的值所在的区间为 ，故选 B【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9.若 满足 ，则 的最小值为_【答案】4【解析】【分析】作出不等式组 对应的平面区域，利用 的几何意义即可得到结论【详解】作出 ， 满足 对应的平面区域，由 ，得 ，平移直线 ，由 ，解得由图象可知当直线经过点 时，直线 的截距最小，此时最小，此时 ，故答案为 4【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实
8、线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.已知双曲线 - =1 的一个焦点为 ，则 m=_【答案】3【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标可得的值，列出关于 的方程，解出即可【详解】双曲线 的一个焦点为 ，即 ，解得 ，故答案为 3【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，注意分析、 的关系，属于基础题 .11.若等差数列a n和等比数列b n满足 a1=-1，b 1=2，a 3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列a n和b n的通项公式： an=_，b n=_【答案】
9、(1). -n (2). 2【解析】【分析】设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得 ， ，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一【详解】等差数列 的公差设为 ，等比数列 的公比设为 ， ， ，可得 ， 即为 ， 可取 ，可得 ，则 ， ，故答案为 ，2【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题12.在菱形 ABCD 中，若 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，则 ，结合平面向量的数量积公式计算即可【详解】菱形 中， ，由 可得则 ，故答案为 【点睛】本题考查了平面向量的
10、数量积计算问题，由菱形的性质得到 是解题的关键，属于基础题13.函数 在区间 上的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦与余弦公式化简，根据 在 上，结合三角函数的性质可得最大值【详解】函数； ， 当 时， 取得最大值为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查了两角和与差公式的应用和计算能力，得到 是解题的关键，属于基础题14.已知函数 f（x ）为定义域为 R，设 Ff（x）= 若 f（x）= ，则 Ff（1 ）=_；若 f（x）=e a-|x|-1，且对任意 xR，F f（x）=f（x） ，则实数 a 的取值范围为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】通过 的范围，可得
11、，代入可得所求值；由题意可得 恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围【详解】 若 ，由 ，可得 ，成立，即有 ，则；若 ，且对任意 ， ，可得 恒成立，即为 ，即有 ，可得 ，即 ，由 的最小值为 ，则 ，故答案为 ， 【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为 恒成立是解决的关键，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15.在 ABC 中， （1）求 B 的大小；（2）若 ABC 的面积为 a2，求 cosA 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】【分
12、析】（1）由正弦定理可得 ，结合范围 ，可求 的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，根据余弦定理可求 的值，进而可求 的值【详解】 （1）在 ABC 中，由正弦定理可得： ，所以： ，又 ， （2）因为 ABC 的面积为 ， 2 ，由余弦定理， ，所以 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.某中学有学生 500 人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了 50 名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时） ，将数据分为 5 组：10 ，12） ，12，14） ，14，16） ，16，18
13、） ，18，20，整理得到如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中的 x 的值；（2）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于 16 小时的学生人数；（3）已知课外阅读时间在 10，12）的样本学生中有 3 名女生，现从阅读时间在10 ，12）的样本学生中随机抽取 3 人，记 X 为抽到女生的人数，求 X 的分布列与数学期望 E（ X） 【答案】 （1）0.15；（2）150；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图，通过概率和为 1，即可求解 ；（2）利用分布直方图求解即可；（3）随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望【详解】 （1）
14、由 ，可得 0.15（2） ，即课外阅读时间不小于 16 个小时的学生样本的频率为 0.30.5000.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于 16 个小时的学生人数为 150（3）课外阅读时间在 10，12）的学生样本的频率为 0.082=0.16，500.16=8，即阅读时间在10，12）的学生样本人数为 8，8 名学生为 3 名女生，5 名男生，随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 ， ； ； 所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3P故 的期望【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于中档题.17.如
15、图 1，在四边形 ABCD 中， AD BC， BC=2AD， E， F 分别为 AD， BC 的中点，AE=EF， 将四边形 ABFE 沿 EF 折起，使平面 ABFE平面 EFCD（如图 2） ， G是 BF 的中点（1）证明： AC EG；（2）在线段 BC 上是否存在一点 H，使得 DH平面 ABFE？若存在，求 的值；若不存在，说明理由；（3）求二面角 D-AC-F 的大小【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）推导出 ， ， ，从而 平面 ，进而 ，四边形为正方形， ，由此能证明 平面 ，从而 ；（2）由 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，由此利用向
16、量法能求出在线段 上存在一点 ，使得平面 ，并能求出 的值；（3）求出平面 的法向理和平面 的法向量，利用向量法能求出二面角 的大小【详解】证明：（1）在图 1 中， ，可得AEF 为等腰直角三角形，AEEF因为 ADBC，所以 EFBF，EFFC因为平面 ABFE平面 EFCD，且两平面交于 EF，CF平面 CDEF，所以 CF平面 ABFE又 EG平面 ABFE，故 CFEG；由 G 为中点，可知四边形 AEFG 为正方形，所以 AFEG；又 AFFC=F，所以 EG平面 AFC又 AC平面 AFC，所以 ACEG（2）由（1）知：FE，FC，FB 两两垂直，如图建立空间直角坐标系 F-x
17、yz，设 FE=1，则 F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）设 H 是线段 BC 上一点， 因此点 由（1）知 为平面 ABFE 的法向量， =（0，2，0），因为 平面 ABFE，所以 平面 ，当且仅当 ，即 ，解得 （3）设 A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）由（1）可得， 是平面 的法向量， ，设平面 ACD 的法向量为 n=（x，y，z），由 即令 x=1，则 y=1，z=1于是 n=（1，1，1）所以 所以二面角 D-AC-F 的大小为 90【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求
18、法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18.已知函数 f（ x）= axex-x2-2x（1）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点（0， f（0 ） ）处的切线方程；（2）当 x0 时，若曲线 y=f（ x）在直线 y=-x 的上方，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为 恒成立，设，求出 的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案【详解】 （1）当 时
19、， ，其导数 ， 又因为 ，所以曲线 y=f（ x）在点（0， f（0 ） ）处的切线方程为 ；（2）根据题意，当 时，“曲线 y=f（x）在直线 的上方”等价于“ 恒成立” ，又由 x0，则 ，则原问题等价于 恒成立；设 ，则 ，又由 ，则 ，则函数 在区间 上递减，又由 ，则有 ，若 恒成立，必有 ，即的取值范围为 【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为 或 恒成立，即或 即可，利用导数知识结合单调性求出 或 即得解，属于中档题.19.已知椭圆 过点 P（2，1 ） （1）求椭圆 C 的方程，并求其离心
20、率；（2）过点 P 作 x 轴的垂线 l，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线 l 上） ，点 A 关于 l 的对称点为 A，直线 AP 与 C 交于另一点 B设 O 为原点，判断直线 AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将点 代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线， ，设点 的坐标为 ， ，分别求出 ， ，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】 （1）由椭圆方程椭圆 过点 P（2 ，1） ，可得 所以 ，所以椭圆 C 的方程为 + =1，离心率 e=
21、 = ，（2）直线 AB 与直线 OP 平行证明如下：设直线 ， ，设点 A 的坐标为（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，由 得 ， ，同理 ，所以 ，由 ，有 ，因为 A 在第四象限，所以 ，且 A 不在直线 OP 上 ，又 ，故 ，所以直线 与直线 平行【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题20.对给定的 d N*，记由数列构成的集合 （1）若数列 an（2 ） ，写出 a3 的所有可能取值；（2）对于集合 （ d） ，若 d2求证：存在整数 k，使得对 （ d）中的任意数列 an，整数 k 不是数列 an中的项；（
22、3）已知数列 an， bn （ d） ，记 an， bn的前 n 项和分别为 An， Bn若|an+1| bn+1|，求证： An Bn【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）推导出 ， ， ， ，由此能求出 的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列 ，则 具有 ，（ ）的形式，由此能证明取整数，则整数 均不是数列 中的项；（3）由 ，得： ，从而，由此利用累加法得 ，从而 ，同理 ，由此能证明 【详解】 （1）由于数列a n（2） ，即 d=2，a1=1由已知有|a 2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以 a2=3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|
23、，将 a2=3 代入得 a3 的所有可能取值为-5， -1，1，5 证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：若a n（d） ，则 an 具有 md1，（mZ）的形式当 n=1 时，a 1=0d+1，因此 n=1 时结论成立假设当 n=k（kN*）时结论成立，即存在整数 m0，使得 ak=m0d01 成立当 n=k+1 时，|a n+1|=|m0d01+d0|=|（m0+1）d01|，ak+1=（m0+1）d1，或 ak+1=-（m0+1）1，所以当 n=k+1 时结论也成立由可知，若数列a n（d）对任意 nN*，an 具有 md1（mZ）的形式由于 an 具有 md1（mZ）的形式，以及 d2，可得 an 不是 d 的整数倍故取整数 k=d，则整数 k 均不是数列a n中的项（3）由|a n+1|=|an+d|，可得： = ，所以有 = +2and+d2，= +2an-1d+d2，= ，以上各式相加可得 ，即 An= - ，同理 Bn= - ，当 时，有 ，dN*， ， - ，【点睛】本题考查数列的第 项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题
