1、2016-2017 学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1已知集合 A=x|0x2,B=x|x 210,那么 AB=( )Ax |0x1 Bx|1x2 Cx|1x0 Dx|1x 22下列函数中,定义域为 R 的奇函数是( )Ay=x 2+1 By=tanx Cy=2 x Dy=x +sinx3已知双曲线 x2 =1( b0)的一个焦点是(2 ,0),则其渐近线的方程为( )Ax y=0 B xy=0 Cx3y=0 D3xy=04在极坐标系中,已知点 P(2, ),则过点 P 且
2、平行于极轴的直线的方程是( )Asin=1 Bsin= Ccos=1 Dcos=5某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( )A3 B C6 D6设 , 是非零向量,且 则“ | |=| |”是“( )( )”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7实数 x,y 满足 若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a3,则 a 的取值范围是( )A 1,0 B0,1 C 1,1 D( ,1 1,+)8在空间直角坐标系 Oxyz 中正四面体 PABC 的顶点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上移动若该正四面体的棱长是 2,则|O
3、P|的取值范围是( )A 1, +1 B 1,3 C 1,2 D1, +1二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9复数 等于 10设等比数列a n的各项均为正数,其前 Sn 项和为 a1=1,a 3=4,则 an= ;S 6= 11执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 12在ABC 中,角 A,B ,C 的对边分别为 a,b, c若 c=3,C= ,sinB=2sinA ,则 a= 13设函数 f(x )= ,其中 a0若 a=3,则 ff(9)= ;若函数 y=f(x)2 有两个零点,则 a 的取值范围是 1410 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场)规定
4、两人对局胜者得 2 分,平局各得 1 分,负者得 0 分,并按总得分由高到低进行排序比赛结束后,10 名选手的得分各不相同,且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 则第二名选手的得分是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15(13 分)已知函数 f(x )=sin(2x )+2cos 2x1(0)的最小正周期为 ()求 的值;()求 f(x)在区间0, 上的最大值和最小值16(14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,ADBC,BAD=90 ,PA=PD,ABPA ,AD=2 ,AB=BC=1()求证:平面 PAD平面 ABCD()若 E
5、为 PD 的中点,求证: CE平面 PAB()若 DC 与平面 PAB 所成的角为 30,求四棱锥 PABCD 的体积17(13 分)手机完全充满电量,在开机不使用的状态下,电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间为了解 A,B 两个不同型号手机的待机时间,现从某卖场库存手机中随机抽取 A,B 两个型号的手机各 7 台,在相同条件下进行测试,统计结果如下:手机编号 1 2 3 4 5 6 7A 型待机时间(h) 120 125 122 124 124 123 123B 型待机时间(h) 118 123 127 120 124 a b其中,a,b 是正整数,且 ab
6、()该卖场有 56 台 A 型手机,试估计其中待机时间不少于 123 小时的台数;()从 A 型号被测试的 7 台手机中随机抽取 4 台,记待机时间大于 123 小时的台数为 X,求 X 的分布列;()设 A,B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等,当 B 型号被测试手机待机时间的方差最小时,写出 a,b 的值(结论不要求证明)18(13 分)已知函数 f(x )=lnx asin(x 1),其中 aR()如果曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的斜率是 1,求 a 的值;()如果 f(x)在区间( 0,1)上为增函数,求 a 的取值范围19(14 分)已知直线 l:x=t 与椭圆 C:
7、 =1 相交于 A,B 两点,M 是椭圆 C 上一点()当 t=1 时,求MAB 面积的最大值;()设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E, F,O 为原点证明:|OE|OF |为定值20(13 分)数字 1,2 ,3, ,n (n2)的任意一个排列记作(a 1,a 2, ,a n),设 Sn为所有这样的排列构成的集合集合 An=(a 1,a 2,a n)S n|任意整数 i,j,1ijn,都有 ai+ia jj;集合 Bn=(a 1,a 2,a nSn|任意整数 i,j,1in ,都有 ai+ia j+j()用列举法表示集合 A3,B 3()求集合 AnB n 的元素个数;()记
8、集合 Bn 的元素个数为 bn证明:数列b n是等比数列2016-2017 学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1已知集合 A=x|0x2,B=x|x 210,那么 AB=( )Ax |0x1 Bx|1x2 Cx|1x0 Dx|1x 2【考点】并集及其运算【分析】先分别求出集合 A 和 B,由此能求出 AB【解答】解:集合 A=x|0x 2,B=x|x210= x|1x1,AB=1x2故选:B【点评】本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集定义
9、的合理运用2下列函数中,定义域为 R 的奇函数是( )Ay=x 2+1 By=tanx Cy=2 x Dy=x +sinx【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可【解答】解:Ay=x 2+1 是偶函数,不满足条件By=tanx 是奇函数,但函数的定义域不是 R,不满足条件C y=2x 为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件Dy=x+sinx 是奇函数,满足条件故选:D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键要求熟练掌握常见函数的奇偶性的性质,比较基础3已知双曲线 x2 =1( b0)的一个焦点是(2 ,0),则其渐近线的方程为( )
10、Ax y=0 B xy=0 Cx3y=0 D3xy=0【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得 c=2,即 1+b2=4,解得 b,进而得到双曲线的方程,即可得到渐近线方程【解答】解:由题意可得 c=2,即 1+b2=4,解得 b= ,可得渐近线方程为 y= x故选 B【点评】本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法,注意运用双曲线的基本量的关系和渐近线方程与双曲线的方程的关系,考查运算能力,属于基础题4在极坐标系中,已知点 P(2, ),则过点 P 且平行于极轴的直线的方程是( )Asin=1 Bsin= Ccos=1 Dcos=【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;简单曲线的极坐标方程【分析
11、】求出点 P(2, )的直角坐标,可得此点到极轴的距离为 1,从而求得所求直线的极坐标方程【解答】解:点 P(2, )的直角坐标为( ,1),此点到 x 轴的距离为 1,故经过此点到 x 轴的距离为 1 的直线的方程是 y=1,故过点 P 且平行于极轴的直线的方程是 sin=1,故选 A【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法,求简单曲线的极坐标方程,属于基础题5某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( )A3 B C6 D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图得几何体是四棱锥并画出直观图,由三视图判断出线面的位置关系,并求出几何体的高和侧面的高,分别求出
12、各个侧面的面积,即可得到答案【解答】解:由三视图得几何体是四棱锥 PABCD,如图所示:且 PE平面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,AB=4 、AD=2,面 PDC 是等腰三角形, PD=PC=3,则PDC 的高为 = ,所以PDC 的面积为: 4 =2 ,因为 PE平面 ABCD,所以 PEBC ,又 CB CD,PECD=E ,所以 BC面 PDC,即 BC PC,同理可证 ADPD,则两个侧面PAD、PBC 的面积都为: 23=3,侧面PAB 的面积为: 4 =6,所以四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大是:6,故选 C【点评】本题考查由三视图求几何体侧面的面积,由三视图正确复原
13、几何体、判断出几何体的结构特征是解题的关键,考查空间想象能力6设 , 是非零向量,且 则“ | |=| |”是“( )( )”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解:若“ ( )( )” ,则“( )( )=0,即“| |2=| |2”,即| |=| |,反之当| |=| |,则( )( )= | |2| |2=0,即( )( ),故“| |=| |”是“ ( )( )”的充要条件,故选:C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根
14、据向量垂直与向量数量积的关系是解决本题的关键7实数 x,y 满足 若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a3,则 a 的取值范围是( )A 1,0 B0,1 C 1,1 D( ,1 1,+)【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,确定过 B 点取得最大值,故 A点取得最小值,利用数形结合确定目标函数斜率的范围,即可得到结论【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由 z=ax+y 得 y=ax+z,z=ax +y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a3,当直线 y=ax+z 经过点 B(3,9)时直线截距最大,当经过点 A(3,3)时,直线
15、截距最小则直线 y=ax+z 的斜率a 满足,1 a 1,即1 a 1,故选:C【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键8在空间直角坐标系 Oxyz 中正四面体 PABC 的顶点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上移动若该正四面体的棱长是 2,则|OP|的取值范围是( )A 1, +1 B 1,3 C 1,2 D1, +1【考点】空间中的点的坐标【分析】根据题意画出图形,结合图形,固定正四面体 PABC 的位置,则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运动,原点 O 到点 P 的最近距离等于 PM 减去球的半径,最大距离是 PM 加上球的半径【解答】解:如图所示,若固定正四
16、面体 PABC 的位置,则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运动,设 AB 的中点为 M,则 PM= = ;所以原点 O 到点 P 的最近距离等于 PM 减去球 M 的半径,最大距离是 PM 加上球 M 的半径;所以 1|OP | +1,即|OP|的取值范围是 1, +1故选:A【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题,也考查了转化法与数形结合思想的应用问题,是综合性题目二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9复数 等于 i 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简复数为 a+bi 的形式即可【解答】解:复数 = = =i故答案为:i【点评】本题考查复数的乘除运算,复数的化简,考查计算能力10设等比数列a n的各项均为正数,其前 Sn 项和为 a1=1,a 3=4,则 an= 2 n1 ;S 6= 63 【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式