1、2016-2017 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ）1已知集合 A=x|（x 1） （x 3）0，B=x |2x4，则 AB=（ ）Ax |1x3 Bx|1x4 Cx|2x 3 Dx|2x 42抛物线 y2=2x 的准线方程是（ ）Ay= 1 B Cx=1 D3 “k=1”是“直线 与圆 x2+y2=9 相切”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ）A6 B8 C10 D125已知
2、x，y R，且 xy 0，则（ ）Atanxtany0 Bxsinx ysiny0C lnx+lny0 D2 x2y06已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在0，+）上是增函数，则 f（x +1）0 的解集为（ ）A （ ，1 B （，1 C 1，+） D1，+）7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A B C2 D8数列a n表示第 n 天午时某种细菌的数量细菌在理想条件下第 n 天的日增长率rn=0.6（r n= ，nN *） 当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率 rn 会发生变化如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时间的变化规律那么，对这种细菌在实
3、际条件下日增长率 rn 的规律描述正确的是（ ）A BCD二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9若复数（2i） （a+2i）是纯虚数，则实数 a= 10若 x，y 满足 ，则 x+2y 的最大值为 11若点 P（2，0）到双曲线 的一条渐近线的距离为 1，则 a= 12在ABC 中，若 AB=2，AC=3 ，A=60，则 BC= ； 若 ADBC，则 AD= 13在ABC 所在平面内一点 P，满足 ，延长 BP 交 AC 于点 D，若 ，则 = 14关于 x 的方程 g（x）=t（tR ）的实根个数记为 f（t） 若 g（x）=lnx，则 f（t ）= ；若 g（ x）= （a
4、 R） ，存在 t 使得 f（t+2）f（t ）成立，则 a 的取值范围是 三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）15已知a n是等比数列，满足 a1=3，a 4=24，数列 an+bn是首项为 4，公差为 1 的等差数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）求数列b n的前 n 项和16已知函数 部分图象如图所示（）求 f（x）的最小正周期及图中 x0 的值；（）求 f（x）在区间0， 上的最大值和最小值17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD平面 ABCD，BC=1 ，AB=2 ，E 为 PA 中点（）求证：PC平
5、面 BED；（）求二面角 APCD 的余弦值；（）在棱 PC 上是否存在点 M，使得 BMAC？若存在，求 的值；若不存在，说明理由18设函数 （）若 f（0）为 f（x）的极小值，求 a 的值；（）若 f（x）0 对 x（0，+）恒成立，求 a 的最大值19已知椭圆 C： =1（ab0）经过点 M（2，0） ，离心率为 A，B 是椭圆 C 上两点，且直线 OA，OB 的斜率之积为 ，O 为坐标原点（）求椭圆 C 的方程；（）若射线 OA 上的点 P 满足|PO|=3|OA|，且 PB 与椭圆交于点 Q，求 的值20已知集合 An=（x 1，x 2，x n）|x i1，1（i=1，2， ，n
6、）x，y An，x= （x 1，x 2，x n） ，y= （y 1，y 2， yn） ，其中 xi，y i1，1（i=1，2，n） 定义 xy=x 1y1+x2y2+xnyn若 xy=0，则称 x 与 y 正交（）若 x=（ 1，1，1，1） ，写出 A4 中与 x 正交的所有元素；（）令 B=xy |x，yA n若 mB，证明：m+n 为偶数；（）若 AAn，且 A 中任意两个元素均正交，分别求出 n=8，14 时，A 中最多可以有多少个元素2016-2017 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出
7、的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ）1已知集合 A=x|（x 1） （x 3）0，B=x |2x4，则 AB=（ ）Ax |1x3 Bx|1x4 Cx|2x 3 Dx|2x 4【考点】交集及其运算【分析】化简集合 A，由集合交集的定义，即可得到所求【解答】解：集合 A=x|（x 1） （x 3）0= x|1 x3，B=x|2x4，则 AB=x |2x3故选：C2抛物线 y2=2x 的准线方程是（ ）Ay= 1 B Cx=1 D【考点】抛物线的简单性质【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可【解答】解：抛物线 y2=2x 的准线方程是：x= 故选：D3 “k=1”是“直线 与圆 x2+y2
8、=9 相切”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据直线和圆相切得到关于 k 的方程，解出即可【解答】解：若直线 与圆 x2+y2=9 相切，则由 得：（1+k 2）x 26 kx+9=0，故=72k 236（1+k 2）=0，解得：k=1，故“k=1”是“直线 与圆 x2+y2=9 相切”的充分不必要条件，故选：A4执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ）A6 B8 C10 D12【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 k，S 的值，可得当 S= 时不满足条件S ，
9、退出循环，输出 k 的值为 8，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件 S ，执行循环体，k=2，S=满足条件 S ，执行循环体，k=4，S= +满足条件 S ，执行循环体，k=6，S= + +满足条件 S ，执行循环体，k=8，S= + + + =不满足条件 S ，退出循环，输出 k 的值为 8故选：B5已知 x，y R，且 xy 0，则（ ）Atanxtany0 Bxsinx ysiny0C lnx+lny0 D2 x2y0【考点】函数单调性的性质【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可【解答】解：x，y R，且 xy0 ，对于 A：当 x= ，y= 时，ta
10、n = ，tan = ，显然不成立；对于 B：当 x=，y= 时，sin= ， sin =1，显然不成立；对于 C：lnx+lny0，即 ln（xy）ln1 ，可得 xy 0，x y 0，那么 xy 不一定大于 0，显然不成立；对于 D：2 x2y0 ，即 2x2 y，根据指数函数的性质可知：xy，恒成立故选 D6已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在0，+）上是增函数，则 f（x +1）0 的解集为（ ）A （ ，1 B （，1 C 1，+） D1，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在
11、0，+）上是增函数，函数在（，+）上是增函数，f（ 0）=0，不等式 f（x+1）0 等价为 f（x+1）f（0 ） ，则 x+10，得 x1，即不等式的解集为1，+ ） ，故选：C7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A B C2 D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面面积 S= 22=2，高 h=2，故棱锥的体积 V= = ，故选：B8数列
12、a n表示第 n 天午时某种细菌的数量细菌在理想条件下第 n 天的日增长率rn=0.6（r n= ，nN *） 当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率 rn 会发生变化如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时间的变化规律那么，对这种细菌在实际条件下日增长率 rn 的规律描述正确的是（ ）A BCD【考点】散点图【分析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r 1=r2=r6=0.6 为定值，而实际情况在第 10 天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6 为定值，
13、而实际情况在第 10 天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选 B二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9若复数（2i） （a+2i）是纯虚数，则实数 a= 1 【考点】复数的基本概念【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数（2i ） （a +2i）= （2a+2）+（4a）i 是纯虚数，2a+2=0，4a0，解得 a=1故答案为：110若 x，y 满足 ，则 x+2y 的最大值为 6 【考点】简单线性规划【分析】设 z=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设 z=x+2y，由
14、 z=x+2y，得 y= ，平移直线 y= ，由图象可知当直线经过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最大，由 ，得 ，即 A（2，2）此时 z=2+22=6故答案为：611若点 P（2，0）到双曲线 的一条渐近线的距离为 1，则 a= 【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可【解答】解：双曲线 的一条渐近线方程为：x+ay=0，点 P（ 2，0）到双曲线 的一条渐近线的距离为 1，可得： =1，解得 a= 故答案为： 12在ABC 中，若 AB=2，AC=3 ，A=60，则 BC= ； 若 ADBC，则
15、AD= 【考点】三角形中的几何计算【分析】利用余弦定理求 BC，利用面积公式求出 AD【解答】解：AB=2，AC=3，A=60，由余弦定理可得 BC= = ，= ，AD= ，故答案为 ， 13在ABC 所在平面内一点 P，满足 ，延长 BP 交 AC 于点 D，若 ，则 = 【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】用特殊值法，不妨设ABC 是等腰直角三角形，腰长 AB=AC=1，建立直角坐标系，利用坐标法和向量共线，求出点 D 的坐标，即可得出 的值【解答】解：根据题意，不妨设ABC 是等腰直角三角形，且腰长 AB=AC=1，建立直角坐标系，如图所示，则 A（0，0 ） ，B（1，0 ） ，
16、C（0，1） ， =（1，0） ， =（0， 1） ； = + =（ ， ） ， = =（ ， ） ；设点 D（0，y ） ，则 =（1，y ） ，由 、 共线，得 y= ， =（0， ） ， =（0，1） ，当 时，= 故答案为： 14关于 x 的方程 g（x）=t（tR ）的实根个数记为 f（t） 若 g（x）=lnx，则 f（t ）= 1 ；若 g（ x）= （a R） ，存在 t 使得 f（t+2）f（t ）成立，则 a 的取值范围是 a 1 【考点】分段函数的应用【分析】若 g（x）=lnx，则函数的值域为 R，且函数为单调函数，故方程 g（x）=t 有且只有一个根，故 f（t）=1
17、，若 g（ x）= （a R） ，存在 t 使得 f（t+2）f（t ）成立，则 x0 时，函数的最大值大于 2，且对称轴位于 y 轴右侧，解得答案【解答】解：若 g（x）=lnx，则函数的值域为 R，且函数为单调函数，故方程 g（x ）=t 有且只有一个根，故 f（t）=1 ，g（ x）= ，当 t0 时， f（t）=1 恒成立，若存在 t 使得 f（t +2）f（t）成立，则 x0 时，函数的最大值大于 2，且对称轴位于 y 轴右侧，即 ，解得：a1，故答案为：1，a1三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）15已知a n是等比数列，满足 a1=3，
18、a 4=24，数列 an+bn是首项为 4，公差为 1 的等差数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）求数列b n的前 n 项和【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【分析】 （）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求解数列的和【解答】解：（）设等比数列a n的公比为 q a1=3，a 4=24得 q3= =8， q=2所以 an=32n1 又数列a n+bn是首项为 4，公差为 1 的等差数列，所以 an+bn=4+（n1）=n+3从而 bn=n+332n1 （）由（）
19、知 bn=n+332n1数列n+3的前 n 项和为 数列32 n1的前 n 项和为 =32n3所以，数列b n的前 n 项和为为 32n+316已知函数 部分图象如图所示（）求 f（x）的最小正周期及图中 x0 的值；（）求 f（x）在区间0， 上的最大值和最小值【考点】三角函数的周期性及其求法；由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式【分析】 （）根据函数的部分图象得出最小正周期 T 以及 x0 的值；（）写出 f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出 f（x）在区间0， 上的最值【解答】解：（）函数 ，函数的最小正周期为 T= =； 因为点（0，1）在 f（x ） =2s
20、in（2x+）的图象上，所以 2sin（20+）=1；又因为| ，所以 = ， 令 2x+ = ，解得 x= ，所以 x0=+ = ； （）由（）知 f（x） =2sin（2x+ ） ，因为 0x ，所以 2x+ ；当 2x+ = ，即 x= 时，f（x）取得最大值 2；当 2x+ = ，即 x= 时，f（x）取得最小值1 17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD平面 ABCD，BC=1 ，AB=2 ，E 为 PA 中点（）求证：PC平面 BED；（）求二面角 APCD 的余弦值；（）在棱 PC 上是否存在点 M，使得 BMAC？若存在，求 的值；若不存在，说明
21、理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】 （）设 AC 与 BD 的交点为 F，连结 EF，推导出 EFPC由此能证明 PC平面BED（）取 CD 中点 O，连结 PO推导出 POCD ，取 AB 中点 G，连结 OG，建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出二面角 APCB 的余弦值（）设 M 是棱 PC 上一点，则存在 0，1使得 利用向量法能求出在棱 PC 上存在点 M，使得 BMAC 此时， =【解答】 （共 14 分）证明：（）设 AC 与 BD 的交点为 F，连结 EF因为 ABCD 为矩形，所以 F 为 AC 的中点在PAC 中，
22、由已知 E 为 PA 中点，所以 EFPC又 EF平面 BFD，PC平面 BFD，所以 PC平面 BED （）取 CD 中点 O，连结 PO因为PCD 是等腰三角形，O 为 CD 的中点，所以 POCD又因为平面 PCD平面 ABCD，PO平面 PCD，所以 PO平面 ABCD取 AB 中点 G，连结 OG，由题设知四边形 ABCD 为矩形，所以 OFCD所以 PO OG如图建立空间直角坐标系 Oxyz，则 A（1， 1，0） ，C （0，1，0） ，P（0，0，1 ） ，D（0，1，0） ，B（1 ，1，0 ） ，O（0，0，0） ，G （1，0，0） =（1，2 ，0） ， =（0，1，1
23、） 设平面 PAC 的法向量为 =（x ，y，z） ，则 ，令 z=1，得 =（2，1，1） 平面 PCD 的法向量为 =（1，0，0） 设 的夹角为 ，所以 cos= = 由图可知二面角 APCD 为锐角，所以二面角 APCB 的余弦值为 （）设 M 是棱 PC 上一点，则存在 0，1使得 因此点 M（0 ，1 ） ， =（ 1， 1，1 ） ， =（1，2，0） 由 ，得 1+2（1）=0，解得 因为 0，1，所以在棱 PC 上存在点 M，使得 BMAC此时， = 18设函数 （）若 f（0）为 f（x）的极小值，求 a 的值；（）若 f（x）0 对 x（0，+）恒成立，求 a 的最大值【
24、考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】 （）求出函数 f（x ）的导数，计算 f（0 ）=0，求出 a 的值检验即可；（）通过讨论 a 的范围判断函数的单调性结合 f（x）0 对 x（0，+）恒成立，求出 a的具体范围即可【解答】解：（）f（x ）的定义域为（ 1，+） ，因为 ，所以 f（x）= ，因为 f（ 0）为 f（x）的极小值，所以 f（0）=0，即 =0，所以 a=1，此时，f（x） = ，当 x（1，0）时，f （x）0，f（x ）单调递减；当 x（0，+）时，f （x）0 ，f（x）单调递增所以 f（ x）在 x=0 处取得极小值，所以 a=1
25、（）由（）知当 a=1 时，f （x）在0，+）上为单调递增函数，所以 f（ x）f（0 ）=0 ，所以 f（ x）0 对 x（0， +）恒成立因此，当 a1 时，f （x ）=ln（x+1） ln（x+ 1） 0，f（x）0 对 x（0，+ ）恒成立当 a1 时，f（x）= ，所以，当 x（ 0，a1）时，f （x）0，因为 f（x）在0，a1）上单调递减，所以 f（ a1）f（0）=0，所以当 a1 时，f （x ）0 并非对 x（0 ，+）恒成立综上，a 的最大值为 1 19已知椭圆 C： =1（ab0）经过点 M（2，0） ，离心率为 A，B 是椭圆 C 上两点，且直线 OA，OB 的
26、斜率之积为 ，O 为坐标原点（）求椭圆 C 的方程；（）若射线 OA 上的点 P 满足|PO|=3|OA|，且 PB 与椭圆交于点 Q，求 的值【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】 （）由题意得 ，求出 b，由此能求出椭圆 C 的方程；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，Q（x 3，y 3） ，求出 p 点的坐标，由 B，Q，P 三点共线，得，联立方程组求解得 x3，y 3，再结合已知条件能求出 值，则 的值可求【解答】解：（）由题意得 ，解得 椭圆 C 的方程为 ；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，Q（x 3，y 3） ，点 P 在直
27、线 AO 上且满足|PO|=3|OA|，P（3x 1，3y 1） B，Q，P 三点共线， （3x 1x2，3y 1y2）=（x 3x2，y 3y2） ，即 ，解得 ，点 Q 在椭圆 C 上， 即 ，A，B 在椭圆 C 上， ， 直线 OA，OB 的斜率之积为 ， ，即 ，解得 =5 =|=520已知集合 An=（x 1，x 2，x n）|x i1，1（i=1，2， ，n ）x，y An，x= （x 1，x 2，x n） ，y= （y 1，y 2， yn） ，其中 xi，y i1，1（i=1，2，n） 定义 xy=x 1y1+x2y2+xnyn若 xy=0，则称 x 与 y 正交（）若 x=（
28、1，1，1，1） ，写出 A4 中与 x 正交的所有元素；（）令 B=xy |x，yA n若 mB，证明：m+n 为偶数；（）若 AAn，且 A 中任意两个元素均正交，分别求出 n=8，14 时，A 中最多可以有多少个元素【考点】数列的应用【分析】 （）由子集定义直接写出答案；（）根据题意分别表示出 m，n 即可；（）根据两个元素均正交的定义，分别求出 n=8，14 时，A 中最多可以有多少个元素即可【解答】解：（）A 4 中所有与 x 正交的元素为（ 1，1，1，1） （1，1，1，1） ，（1 ，1， 1，1） ， （ 1，1，1， 1） ， （1 ， 1，1，1） ， （1，1，1，1）
29、 （）对于 mB，存在 x=（x 1，x 2， ，x n） ，x i1，1，y= （y 1，y 2，y n） ，其中xi，y i1，1；使得 xy=m 令 ， ；当 xi=yi 时，x iyi=1，当 xiy i 时，x iyi=1那么 xy= 所以 m+n=2kn+n=2k 为偶数（）8 个，2 个n=8 时，不妨设 x1=（1，1，1 ，1，1，1 ，1，1 ） ，x 2=（1， 1，1，1，1，1，1，1） 在考虑 n=4 时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1）， （1，1， 1，1） ， （1，1，1，1） ，（1，1， 1，1）分别与 x1，x 2 搭配，可形成 8 种情况
30、所以 n=8 时，A 中最多可以有 8 个元素N=14 时，不妨设 y1=（ 1，11 ，1） ， （14 个 1） ，y 2=（1， 11，1，11） （7 个 1，7 个1） ，则 y1 与 y2正交令 a=（a 1，a 2，a 14） ，b=（b 1，b 2，b 14） ，c=（c 1，c 2，c 14）且它们互相正交设 a、b、c 相应位置数字都相同的共有 k 个，除去这 k 列外a、 b 相应位置数字都相同的共有 m 个，c、b 相应位置数字都相同的共有 n 个则 ab=m+k（14mk）=2m+2k 14所以 m+k=7，同理 n+k=7可得 m=n由于 ac=mm+k+（14 k2m）=0，可得 2m=7，m= 矛盾所以任意三个元素都不正交综上，n=14 时，A 中最多可以有 2 个元素2017 年 1 月 21 日
