1、2016-2017 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ）1已知集合 A=x|（x 1） （x 3）0，B=x |2x4，则 AB=（ ）Ax |1x3 Bx|1x4 Cx|2x 3 Dx|2x 42抛物线 y2=2x 的准线方程是（ ）Ay= 1 B Cx=1 D3 “k=1”是“直线 与圆 x2+y2=9 相切”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ）A6 B8 C10 D125已知
2、x，y R，且 xy 0，则（ ）Atanxtany0 Bxsinx ysiny0C lnx+lny0 D2 x2y06已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在0，+）上是增函数，则 f（x +1）0 的解集为（ ）A （ ，1 B （，1 C 1，+） D1，+）7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A B C2 D8数列a n表示第 n 天午时某种细菌的数量细菌在理想条件下第 n 天的日增长率rn=0.6（r n= ，nN *） 当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率 rn 会发生变化如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时间的变化规律那么，对这种细菌在实
3、际条件下日增长率 rn 的规律描述正确的是（ ）A BCD二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9若复数（2i） （a+2i）是纯虚数，则实数 a= 10若 x，y 满足 ，则 x+2y 的最大值为 11若点 P（2，0）到双曲线 的一条渐近线的距离为 1，则 a= 12在ABC 中，若 AB=2，AC=3 ，A=60，则 BC= ； 若 ADBC，则 AD= 13在ABC 所在平面内一点 P，满足 ，延长 BP 交 AC 于点 D，若 ，则 = 14关于 x 的方程 g（x）=t（tR ）的实根个数记为 f（t） 若 g（x）=lnx，则 f（t ）= ；若 g（ x）= （a
4、 R） ，存在 t 使得 f（t+2）f（t ）成立，则 a 的取值范围是 三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）15已知a n是等比数列，满足 a1=3，a 4=24，数列 an+bn是首项为 4，公差为 1 的等差数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）求数列b n的前 n 项和16已知函数 部分图象如图所示（）求 f（x）的最小正周期及图中 x0 的值；（）求 f（x）在区间0， 上的最大值和最小值17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD平面 ABCD，BC=1 ，AB=2 ，E 为 PA 中点（）求证：PC平
5、面 BED；（）求二面角 APCD 的余弦值；（）在棱 PC 上是否存在点 M，使得 BMAC？若存在，求 的值；若不存在，说明理由18设函数 （）若 f（0）为 f（x）的极小值，求 a 的值；（）若 f（x）0 对 x（0，+）恒成立，求 a 的最大值19已知椭圆 C： =1（ab0）经过点 M（2，0） ，离心率为 A，B 是椭圆 C 上两点，且直线 OA，OB 的斜率之积为 ，O 为坐标原点（）求椭圆 C 的方程；（）若射线 OA 上的点 P 满足|PO|=3|OA|，且 PB 与椭圆交于点 Q，求 的值20已知集合 An=（x 1，x 2，x n）|x i1，1（i=1，2， ，n
6、）x，y An，x= （x 1，x 2，x n） ，y= （y 1，y 2， yn） ，其中 xi，y i1，1（i=1，2，n） 定义 xy=x 1y1+x2y2+xnyn若 xy=0，则称 x 与 y 正交（）若 x=（ 1，1，1，1） ，写出 A4 中与 x 正交的所有元素；（）令 B=xy |x，yA n若 mB，证明：m+n 为偶数；（）若 AAn，且 A 中任意两个元素均正交，分别求出 n=8，14 时，A 中最多可以有多少个元素2016-2017 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出
7、的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ）1已知集合 A=x|（x 1） （x 3）0，B=x |2x4，则 AB=（ ）Ax |1x3 Bx|1x4 Cx|2x 3 Dx|2x 4【考点】交集及其运算【分析】化简集合 A，由集合交集的定义，即可得到所求【解答】解：集合 A=x|（x 1） （x 3）0= x|1 x3，B=x|2x4，则 AB=x |2x3故选：C2抛物线 y2=2x 的准线方程是（ ）Ay= 1 B Cx=1 D【考点】抛物线的简单性质【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可【解答】解：抛物线 y2=2x 的准线方程是：x= 故选：D3 “k=1”是“直线 与圆 x2+y2
8、=9 相切”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据直线和圆相切得到关于 k 的方程，解出即可【解答】解：若直线 与圆 x2+y2=9 相切，则由 得：（1+k 2）x 26 kx+9=0，故=72k 236（1+k 2）=0，解得：k=1，故“k=1”是“直线 与圆 x2+y2=9 相切”的充分不必要条件，故选：A4执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ）A6 B8 C10 D12【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 k，S 的值，可得当 S= 时不满足条件S ，
9、退出循环，输出 k 的值为 8，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件 S ，执行循环体，k=2，S=满足条件 S ，执行循环体，k=4，S= +满足条件 S ，执行循环体，k=6，S= + +满足条件 S ，执行循环体，k=8，S= + + + =不满足条件 S ，退出循环，输出 k 的值为 8故选：B5已知 x，y R，且 xy 0，则（ ）Atanxtany0 Bxsinx ysiny0C lnx+lny0 D2 x2y0【考点】函数单调性的性质【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可【解答】解：x，y R，且 xy0 ，对于 A：当 x= ，y= 时，ta
10、n = ，tan = ，显然不成立；对于 B：当 x=，y= 时，sin= ， sin =1，显然不成立；对于 C：lnx+lny0，即 ln（xy）ln1 ，可得 xy 0，x y 0，那么 xy 不一定大于 0，显然不成立；对于 D：2 x2y0 ，即 2x2 y，根据指数函数的性质可知：xy，恒成立故选 D6已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在0，+）上是增函数，则 f（x +1）0 的解集为（ ）A （ ，1 B （，1 C 1，+） D1，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在
11、0，+）上是增函数，函数在（，+）上是增函数，f（ 0）=0，不等式 f（x+1）0 等价为 f（x+1）f（0 ） ，则 x+10，得 x1，即不等式的解集为1，+ ） ，故选：C7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A B C2 D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面面积 S= 22=2，高 h=2，故棱锥的体积 V= = ，故选：B8数列a n表示第 n 天午时某种细菌的数量细菌在理想条件下第 n 天的日增长率rn=0.6（r n= ，nN *） 当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率 rn 会发生变化如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时间的变化规律那么，对这种细菌在实际条件下日增长率 rn 的规律描述正确的是（ ）A BCD【考点】散点图【分析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r 1=r2=r6=0.6 为定值，而实际情况在第 10 天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，
