1、数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线)椭圆知识关系网椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点 F1、F 2 的距离之和等于定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0b0)的两个焦点，P 是以2xyF1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若PF 1F2=5PF 2F1,则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D)363 3例 6. 设 A(2, )，椭圆 3x24y 2=48 的右焦点是 F，点 P 在椭圆上移动，当|AP|2|PF|取最小值时 P 点的
2、坐标是( )。(A)(0, 2 3) (B)(0, 2 ) (C)(2 3, ) (D)(2 3, )椭圆例 7. P 点在椭圆 上，F 1、F 2 是两个焦点，若 ，则 P 点的045yx 21FP坐标是 .例 8.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为 18，焦距为 6; .(2)焦点坐标为 , ,并且经过点(2，1); .)03(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 , ,且短轴是长轴的 ; _.03)(31(4)离心率为 ，经过点 (2，0); .2例 9. 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则1F、 214xyP的最大值是 12|P例 10. 椭圆中心是坐标原点 O，
3、焦点在 x 轴上，e= ，过椭圆左焦点 F 的23直线交椭圆于 P、Q 两点， |PQ|= ，且 OPOQ，求此椭圆的方程.920双曲线知识关系网双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点 F1、F 2 的距离之差的绝对值等于定值 2a(01)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线 叫做双曲线的准线,常数 叫做双曲线的离心率.l2.双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程 21(0,)xyab21(0,)yxab图形顶点 (,0)a(0,)a对称轴 轴， 轴，实轴长为 ，虚轴长为xy2a2b焦点 12(,Fc1(,Fc焦距 焦距为 ),c离心率 (e1)a准线方程
4、2xc2ayc点 P(x0,y0)的焦半径公式如需要用到焦半径就自己推导一下:如设 是双曲线0(,)Px上一点, (c,o)为右焦点,点 到相应准线21(0)abF右的距离为 , 则 .:lcded右当 在右支上时 , ;P20xc200()aPxec右当 在左支上时 , aFx右即 , 类似可推导0|()|MFex右 0|()|M左双曲线例 11.命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a(a0)；命题乙： 点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件例 12.到定点的距离与
5、到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是（ ）(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线例 13. 过点(2，-2)且与双曲线 12yx有相同渐近线的双曲线的方程是( )(A) 124yx (B) 42y(C) 42(D) 142xy例 14. 如果双曲线的焦距为 6，两条准线间的距离为 4，那么双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2232326双曲线例 15. 如果双曲线 上一点 到它的左焦点的距离是 8，那么点21643xyP到它的右准线的距离是( )P(A) (B) (C) (D)3255965125例 16. 双曲线 的两焦点为 在双曲线上,且满足21(x
6、yn12FP,则 的面积为( )12PFn2FP()A()B()4例 17. 设 的顶点 ， ，且 ，则第三个顶C0,4A),( CBAsin21isin点 C 的轨迹方程是_.例 18. 连结双曲线 12byax与 12ax(a0，b0)的四个顶点的四边形面积为 1S，连结四个焦点的四边形的面积为 2S，则 21的最大值是_例 19.根据下列条件，求双曲线方程:与双曲线 有共同渐近线，且过点(-3， )；2196xy3与双曲线 有公共焦点，且过点( ，2).4例 20. 设双曲线 上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）21yx求直线 AB 方程；如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C
7、、D 两点，那么 A、B、C、D是否共圆，为什么？抛物线知识关系网抛物线1.抛物线的定义: 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在上). 定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 叫做抛物线的准线.l l2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程 2(0)ypx2(0)ypx2(0)py2(0)xpy图形对称轴 轴x轴x轴y轴y焦点 (,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF顶点 原点 ,准线 2px2px2py2py离心率 1e点P(x0,y0)的焦半径公式用到焦半径自己推导一下即可如:开口向右的抛物线上的点 P(x0,y0)的焦半
8、径等于 x0+ .2p注: 1.通径为 2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦 .2. (或 )的参数方程为 (或 )( 为参数).2ypx2py2xpty2xpty抛物线例 21. 顶点在原点，焦点是 (0,2的抛物线方程是( )(A)x2=8y (B)x2= 8y (C)y2=8x (D)y2=8x例 22. 抛物线 上的一点 到焦点的距离为 1，则点 的纵坐标是( 4yMM)(A) (B) (C) (D)017615678例 23.过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有( )(A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条例 24. 过抛物线 (a0)的
9、焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线2段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q，则 等于( )1q(A)2a (B) (C) (D)2a4a4a例 25. 若点 A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在抛物线上移动，为使|PA|+| PF|取最小值，P 点的坐标为( )(A)(3，3) (B)(2，2) (C)( ，1) (D)(0，0)1例 26. 动圆 M 过点 F(0，2)且与直线 y=-2 相切，则圆心 M 的轨迹方程是 .例 27. 过抛物线 y22px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为 y1、 y2，则 y1y2_.例 28
10、. 以抛物线 x3的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_.例 29. 过点(-1,0) 的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点，则直线 l 的倾斜角的范围是 .例 30 设 0p是一常数，过点 的直线与抛物线 2ypx交于相异两点(,0)pQA、B，以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心） 。()试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上；()求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.轨迹问题上一章已经复习过解析几何的基本问题之一：如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交
11、轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。求轨迹方程的一般步骤:建、设、现（限） 、代、化.轨迹方程例 31. 已知两点 M（2，0） ，N（2，0） ，点 P 满足 =12，则点 P 的MN轨迹方程为（ ）2()16xAy2()16Bxy2()8Cyx2()8Dxy例 32.O 1 与O 2 的半径分别为 1 和 2，|O 1O2|=4，动圆与O 1 内切而与O 2 外切，则动圆圆心轨迹是(
12、 )(A)椭圆 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)双曲线的一支例 33. 动点 P 在抛物线 y2=-6x 上运动,定点 A(0,1),线段 PA 中点的轨迹方程是( )（A）(2y+1) 2=-12x（B） (2y+1)2=12x （C）(2y-1) 2=-12x（D ）(2y -1)2=12x例 34. 过点 （2，0）与圆 相内切的圆的圆心 的轨迹是（ A162P）（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D ）圆例 35. 已知 的周长是 16， ，B 则动点的轨迹方程是( )0,3(A),(A) (B) (C) (D)1625yx1625yx 1256yx 0(1256yx例 36.
13、 椭圆 中斜率为 的平行弦中点的轨迹方程为 .3434例 37. 已知动圆 P 与定圆 C: （x2） y 相外切，又与定直线2l：x相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_.例 38. 在直角坐标系中, ,则 点的(3,)(5cos,3in)(ABRur B轨迹方程是_.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.圆锥曲线综合问题直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 、 、 .00直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具
14、有斜率 ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 ,k 12(,)AxyB则它的弦长 22211112()4ABxx2kk注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为 ，运用韦达定理来进行计算.1212()y当直线斜率不存在是,则 .12ABy注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求
15、范围。圆锥曲线综合问题例 39. AB 为过椭圆 =1 中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则AFB2byax的面积最大值是( )(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc例 40. 若直线 ykx2 与双曲线 62yx的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是（ ）()A315, ) (B0, )315 ()C315, )0 ()D315, )例 41.若双曲线 x2y 2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为 ，则2ab 的值是( ).或 (D)2 或21)A1(B1()2C圆锥曲线综合问题例 42.抛物线 y=x2 上的点到直线 2x- y =4 的距离最近的点的
16、坐标是( ) (B)(1,1) (C) ( ) (D) (2,4)(,4 49,3例 43. 抛物线 y2=4x 截直线 所得弦长为 3 ，则 k 的值是( )k5(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4例 44. 把曲线 按向量 平移后得曲线 ，曲线 有一14:1kyxC(1,2)a2C2条准线方程为 ，则 的值为（ ）5()3A()2B()3()3D例 45.如果直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围是 1xky42yxk.例 46. 已知抛物线 上两点 关于直线 对称，2xy),(),(21yxBAmxy且 ，那么 m 的值为 .21x数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线 )答案例
17、 1. D 例 2. B 例 3. C 先考虑M+m=2a，然后用验证法 .例 4. B 提示：e= 54,P 点到左 准线的距离为2.5，它到左焦点的距离是2， 2a=10, P 点到右焦点的 距离是8，P 点到右焦点的距离与 到左焦点的距离之比是 4 : 1;例 5. B 1212|sin57sin57sin5co1PFPFca， .2163sin0cea例 6. C 提示：椭圆 3x24y 2=48 中，a=4, c=2, e= 2, 设椭圆上的 P 点到右准线的距离为 d，则 |PF= , |AP| 2|PF|=|AP|d, 当 AP 平行于 x 轴且 P 点在 A 点与右准线之间 时
18、，|AP|d 为一直线段，距离最小，此时 P 点纵坐标等于 3，P 点坐标是 (2 3, 3)例 7. (3, 4) 或(-3, 4)例 8. (1) 或 ; (2) ;1625yx125yx1362yx(3) 或 ; (4) 或 .9289421642yx例 9. 12|PF 21|()PFa例 10. 解:设椭圆方程为 + =1,(ab0)2xyPQx 轴时，F(-c,0) ，|FP|= ，又|FQ|=|FP|且 OPO Q，|OF|=|FP|,即 c= ac=a 2-c2,e 2+e-1=0,e = 与题设 e= 不符,所以 PQb2 21523不垂直 x 轴.PQy=k( x+c),P
19、(x1,y1),Q(x2,y2),e= ,a 2= c2,b2= c2,3431所以椭圆方程可化为:3x 2+12y2-4c2=0,将 PQ 方程代入，得(3+12k 2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,x 1+x2= ,x1x2=k24kc由|PQ|= 得 = 901223)4()3( c90OPOQ, = -1 即 x1x2+y1y2=0,(1+k 2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=01xy2把 ， 代入，解得 k2= ，把 代入解得 c2=321 4a 2=4,b2=1，则所求椭圆方程为 +y2=1.x例 11. B 例 12. C 例 13. D 例 14.
20、C 例 15. C例 16. A 假设 ,由双曲线定义 且 ,12PF12PFn12PFn解得 而 由勾股定理得1nn12SPFA点评考查双曲线定义和方程思想.例 17. 例 18. )2(42xyx 2例 19.设双曲线方程为 (0), ,916y2(3)91614 双曲线方程为 ;设双曲线方程为 ,解之得 k=4, 双曲线方程为24x24xyk0k2(3)164k218xy例 47. 以双曲线 y 2=1 左焦点 F，左准线 l 为相应焦点、准线的椭圆截直3x线 y=kx+3 所得弦恰被 x 轴平分，则 k 的取值范围是 _.例 48. 双曲线 3x2-y2=1 上是否存在关于直线 y=2
21、x 对称的两点 A、B?若存在，试求出 A、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.评注：与双曲线 共渐近线的双曲线方程为 (0)，当 0 时，焦点在 x 轴上；当 0，b 2-k0)。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是2xy221xyakb充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.例 20. 解题思路分析：法一：显然 AB 斜率存在设 AB：y-2=k(x-1) 由 得：(2-k 2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=021yx当0 时，设 A（x 1,y1） ，B（x 2,y2） 则 k=1，满足0 直线 AB：y=x+112()法二：设
22、 A（x 1,y1） ，B（x 2,y2）则 两式相减得：(x 1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2)12yx x 1x 2 AB：y=x+1 代入 得：01212()y1ABk2评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0 是否成立。（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设 A、B、C 、 D 共圆于OM，因 AB 为弦，故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上；又 CD 为弦，故圆心 M 为 CD 中点
23、。因此只需证 CD 中点 M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由 得：A（-1，0） ，B（3，4）又 CD 方程： y=-x+32yx由 得：x 2+6x-11=0 设 C（x 3,y3） ，D（x 4,y4） ，CD 中点 M（x 0,y0）23y则 M（-3，6）3400,xy |MC|=|MD|= |CD|= 又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD|21102 A、B、C 、 D 在以 CD 中点，M（-3，6）为圆心， 为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视.例 21. B( 2,48pxpy即 ) 例
24、 22. B例 23. B(过 P 可作抛物线的切线两条，还有一条与 x 轴平行的直线也满足要求。)例 24. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直 于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为 p,q，则 p=q=|FK| ,1|2Fa而14()例 25. 解析：运用抛物线的准线性质.答案：B 例 26. x2=8y 例 27. p 2例 28. 例 29.223()94xy660,arctnarctn,)22例 30. 解：由题意，直线 AB 不能是水平线， 故可设直线方程为： pxky.又设 ),(),(Ax，则其坐标满足 .,2pxyk消去 x 得 042由此得 .42pykB
25、 24)(,)()pBA因此 ,即 .0AOxyO故 O 必在圆 H 的圆周上.又由题意圆心 H（ ,）是 AB 的中点，故 .2,)(2kpyxBABH由前已证OH 应是圆 H 的半径，且 pxO45| 24.从而当 k=0 时，圆 H 的半径最小，亦使圆 H 的面积最小.此时，直线 AB 的方程为：x=2p.注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元得一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系求解有时借助图形的几何性质更为简洁此题设直线方程为 x=ky+2p；因为直线过 x 轴上是点 Q(2p，0)，通常可以这样设，可避
26、免对直线的斜率是否存在讨论2凡涉及弦的中点及中点弦问题，利用平方差法；涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算3在引入点参数(本题中以 AB 弦的两个端点的坐标作为主参数)时，应尽量减少参数的个数，以便减少运算量由OAOB 得 x1x2+y1y2=O 这个关系对于解决此类问题十分有用4列出目标函数，|OH|= 4524kP，运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的基本思路，也可利用基本不等式 a2+b22ab 当且仅当 a=b 时“=”成立求解例 31. B 例 32. D 例 33. C 例 34. A 例 35. B例 36. 9x+16y=0 (椭圆内部分 例 37
27、. y 8x 例 38. 2159xy例 39. 解析：S AFB =2SAOF ，当点 A 位于短轴顶点处面积最大.答案：D 例 40. D41. B 42. B 数形结合估算出 D例 43. D例 40. C由已知得曲线 的准线为 ,焦点在 轴上且 , ,14xx24ac2 ,2,ac23kb例 45.k 例 46. 例 47. (0， )3或 2323例 48. 解：设 AB：y= 21x+m,代入双曲线方程得 11x2+4mx4(m2+1)=0,这里 =(4m)24114(m 2+1) =16(2m2+11) 0 恒成立，设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x0,y0),则 x1+x2= ， x0= ,y0= x0+m= 12m,若 A、B 关于直线 y=2x 对称，则 M 必在直线 y=2x 上 ， =4得 m=1， 由双曲线的对称性知，直线 y= x 与双曲线的交点的 A、B 必关于直线 y=2x 对称.存在 A、B 且求得 A( 2， 1)， B( 2， 1)
