1、圆的一般方程教案高一篇一：圆的一般方程教案(正式)4.2.1 圆的一般方程- 2 - 3 - 4 - 5 -篇二：圆的一般方程教学设计圆的一般方程教学设计高二数学 蔡聪1教材所处的地位和作用 圆的一般方程安排在高中数学必修 2 第二章第二节第二课时。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。2学情分析圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之
2、后进行研究的， 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。根据上述教材所处的地位和作用分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3教学目标知识与技能：(1) 掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2) 能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径(3) 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1) 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2) 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合
3、作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：4教学重点与难点重点：(1) 圆的一般方程。(2) 待定系数法求圆的方程。难点：(1) 圆的一般方程的应用 (2) 待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解。5.教学过程(1)复习引入师：自初中初步接触圆的概念和研究圆的几何性质以来，上节课我们又在平面直角坐标系中对圆的标准方程进行了定义和学习。师：请大家回忆圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程是什么？生：(x?a)?(y?b)?r师：答得很好。如果圆的圆心在坐标原点，那么
4、圆的标准方程是什么？生：x?y?r 222222师：大家知识点掌握的很好，下面我们看一个练习。练习 1：判断下列方程是否表示圆，如果是，说出圆心和半径。22 (x1)+ (y1)=922 2 (x + 1)+ (y + 2)=m2 2x + y -2x + 4y + 4 =0师：第一个是不是圆啊？生：是圆心是(1,1),半径是 3师：第二个是不是?生：当 m?0 时，不是，当 m?0 时，是，圆心为（-1，-2） ，半径为|m|师：第三个是不是圆呢?这是一个二元二次方程，但很显然不是圆的标准形式，那么我们要判断是不是圆就要看它有没有圆心，有没有半径，能不能化成圆的标准方程的形式。 师：我们怎么
5、办？生：配方。师：好，我们配方之后得到(x - 1)2+ (y + 2)2=1 ，可以看到它所表示的是一个圆心为 （1，-2 ） ，半径为 1 的圆。师：那么比较两个方程，一个叫做圆的标准方程，另一个就是我们今天要学习的圆的一般方程板书：圆的一般方程师：在上例中我们也可以看出圆的一般方程和圆的标准方程之间的转换x 2 + y 2 -2x + 4y + 4 =0(x - 1)2+ (y + 2)2=1（2 ）讲授新课我们把一般情况下的圆的标准方程展开，看能得到什么样的东西(x?a)2?(y?b)2?r2【 板书】x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0令 D=-2a,e=-2b,F=a?
6、b?r222上式就变成 x2?y2+Dx+Ey+F=0师：那能不能说 x?y+Dx+Ey+F=0 就是圆的一般方程啦？师：我们可以从直线方程上寻找启发，我们在讲直线方程的概念时说，直线方程必须满足两个条件：直线上的点的坐标必须满足方程，方程的实数对解必须在直线上。这里面我们考虑这个二元二次方程是不是圆的方程呢，我们只得到了圆的方程都可以化成这种形式，那么这种形式所表示的图形是否一定是圆呢？生：不一定。师：为什么啊？【学生讨论】师：根据上面例子，我们可以把它配方，看满足什么条件，它所表示的才是一个圆。 22【板书】x?y+Dx+Ey+F+(22D2E2D2E2)+()-()-()=0 2222D
7、2E2D2?E2?4F(x+)+(y+)= 224D2?E2?4F0，也即 D2?E2?4F0 师：上式如果表示一个圆，那么4所以，结论：（1 ） 当 D2?E2?4F0 时，方程（1）表示的是一个圆，圆心为(-DE,-),半径为222（2 ） 当 D2?E2?4F=0 时，方程（1）只有唯一的解 x=-个点(-DE,y=-，表示的是一 22DE,-) 22（3 ） 当 D2?E2?4F0 时，方程（1）没有实数解，因而它不表示任何图形。 师：也就是说（1 ）式要表示圆，必须带上一个紧箍咒，这个紧箍咒就是 D2?E2?4F0 这样我们可以得到圆的定义：22 当 D?E?4F0 时，方程 x2?
8、y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程。DE 圆心为（ -,-）,222注 1：圆的一般方程与二元二次方程的比较圆的一般方程为二元二次方程，而二元二次方程的基本形式为Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0如果一个上述二元二次方程表示的是一个圆，那么它需要满足哪些条件？22（1）x,y 前面的系数 A?C?0（2 ）不存在 xy 项，即 B?022（3）D?E?4AF?0【 例题讲解】例 1 判断下列方程是否表示圆(1)2x2+y2-7x+5=0(2)x2-xy+y2+6x+7y=0(3)2x2+2y2-4x+8y+20=0学生思考后回答;（1 ） 不是，x,y 前面的系数不相等 22（
9、 2） 含有 xy 项（3 ） D2?E2?4AF?0例 2 求过点 M(?1,1)且圆心与已知圆 C：x2+y2-4x+6y-3=0，相同的圆的方程。 分析：圆的标准方程的两个要素：圆心和半径。所以此题在于求得圆心法一：圆 C 的圆心坐标为 a?DE?2,B?3 22所以圆 O 的圆心坐标为（2，-3 ）r?|OM|?5法二：设圆 O 的方程为 x2+y2-4x+6y+m=0代入 M(?1,1),得到 m=-12所以方程为 x2+y2-4x+6y-12=0例 3 ?ABC 三个顶点坐标分别为 A(-1,5), B(-2,-2),C(5,5)，求其 外接圆的方程。分析：由于学习了圆的标准方程和
10、圆的一般方程，又讲了待定系数法求解圆的方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解。两种方法都试一试，注意选择。解：设圆的一般方程为 x2?y2+Dx+Ey+F=0?26-D?5E?F?0?D?4?E?2?8-2D-2E+F=0?50?5D?5E?F?0?F?20?圆的一般方程为 x2+y2-4x-2y-20=0我们也可以用圆的标准方程来解设圆的标准方程为 (x-a)2?(y?b)2?r2?(?1?a)2?(5?b)2?r2?a2?b2?2a?10b?26?r2?0?222222?(?2?a)?(?2?b)?r?a?b?4a?4b?8?r?0?(5?a)2?(5?b)2?r2?a2
11、?b2?10a?10b?50?r2?0?a=2?解得?b=1?r=5?所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=25注意：比较两种方法的优劣解题思路二：问题 1：我们要求圆的方程，需要确定圆心，那么三角形外接圆的圆心是如何确定的呢？ 学生思考后回答，并提示解题思路。问题 2：外接圆的圆心有什么性质？生：到三个顶点的距离相等。提示同学利用两点间的距离公式，来求圆心。总结 1：一道题目可以从几何和代数的两个角度来考虑。总结 2：圆的一般方程与标准方程的比较（1 ） 两个方程中均含有三个参数，标准方程是 a,b,r,一般方程是 D,E,F（2 ） 标准方程的优点是能从方程中直接读出圆心和半径，而
12、一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出表示圆的二元二次方程。【 课堂小结】221. 圆的一般方程定义：x2?y2?Dx?Ey?F?0（D?E?4F?0）2. 判断一个二元二次方程是圆的条件。3. 圆的一般方程和标准方程的比较。【 布置作业】1.课本 P80 第二题。2.自主选择两道题。篇三：数学必修 2 第四章 圆与方程教案第四章 圆与方程错误！未找到引用源。4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实
13、际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为 A(a,b)，半径为 r。 （其中
14、a、b、r 都是常数，r0）设 M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点 M 满足的条件是（引导学生自己列出）P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点 M?r 化简可得：(x?a)?(y?b)?r 222引导学生自己证明(x?a)?(y?b)?r 为圆的方程，得出结论。方程就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 2223、知识应用与解题研究例（1 ）：写出圆心为 A(2,?3)半径长等于 5 的圆的方程，并判断点 M1(5,?7),M2(?1)是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点 M(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?
15、b)2?r2 的关系的判断方法：（1 ）(x0?a)2?(y0?b)2r，点在圆外（2 ）(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在圆上（3 ）(x0?a)2?(y0?b)2r，点在圆内例（2 ）： ?ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,?3),C(2,?8),求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2 可知，要确定圆的标准方程，可用待 222定系数法确定 a、b、r 三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为 C 的圆 l:x?y?1?0 经过点 A(1,1)和 B(2,?2),且圆心在 l:x?y?1?0 上 ,求圆心为C 的圆的标准
16、方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小. 圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,?2),由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等，所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上，又圆心 C 在直线 l 上，因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点，半径长等于 CA或 CB。（教师板书解题过程。 ）总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2 ） 、例(3)可得出?ABC 外接圆的标准方程的两种求法： 、根据题设条件，列出关于 a、b、r 的方程组，解方程组得到 a、 b、r 得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标
17、和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本 p127 第 1、3、4 题提炼小结：1、 圆的标准方程。2、 点与圆的位置关系的判断方法。3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。作业：课本 p130 习题 4.1 第 2、3、4 题4.1.2 圆的一般方程三维目标：知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程x2y2 DxEyF=0表示圆的条件(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程。(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法：通过对方程 x2y2 Dx EyF
18、=0 表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E、F教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：课题引入：问题：求过三点 A（0，0 ） ，B（1 ，1） ，C（4 ，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式
19、圆的一般方程。探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(xa)2(yb)2=r2，圆心(a，b)，半径 r把圆的标准方程展开，并整理：x2y22ax2bya2b2 r2=0取 D?2a,E?2b,F?a?b?r 得 222x2?y2?Dx?Ey?F?0 这个方程是圆的方程反过来给出一个形如 x2y2 Dx EyF=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把 x2y2 DxEyF=0 配方得D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)? (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ 224(1)当 D2E24F0 时，方程表示（1）当 D2?E2?4F?0 时，表示以（-心,1D2?E2?4F 为半径的
20、圆； 2ED，- ）为圆 22（2 ）当 D2?E2?4F?0 时，方程只有实数解 x?DEED，y?，即只表示一个点（-， -）; 222222（3）当 D?E?4F?0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0 表示的曲线不一定是圆只有当 D2?E2?4F?0 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2?y2?Dx?Ey?F?0 的表示圆 2 的方程称为圆的一般方程?x?1?y?4 2我们来看圆的一般方程的特点：( 启发学生归纳 )(1)x2 和 y2 的系数相同，不等于 0 没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F
21、，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。知识应用与解题研究：例 1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。?1?4x2?4y2?4x?12y?9?0 22?2?4x?4y?4x?12y?11?0学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于?1?4x2?4y2?4x?12y?9?0 来说，这里的9D?1,E?3,F?而不是 D=-4,E=12,F=9. 4例 2：求过三点
22、 A（0 ，0） ，B （1， 1） ，C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程解：设所求的圆的方程为：x2?y2?Dx?Ey?F?0 A(0,0),B(11， ）,C(4,2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 D,E,F 的三元一次方程组，?F?0?即 ?D?E?F?2?0?4D?2E?F?20?0?解此方程组，可得：D?8,E?6,F?0所求圆的方程为：x2?y2?8x?6y?0r?1DFD2?E2?4F?5
23、；?4,?3222 得圆心坐标为（4 ，-3） .或将 x2?y2?8x?6y?0 左边配方化为圆的标准方程， (x?4)2?(y?3)2?25,从而求出圆的半径 r?5，圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 、根据提议，选择标准方程或一般方程； 、根据条件列出关于 a、b 、r 或 D、E、F 的方程组； 、解出 a、b、 r 或 D、E 、F，代入标准方程或一般方程。 2例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3 ） ，端点 A 在圆上?x?1?y?4 运动，求线段 AB 的 2中点 M 的轨迹方程。2 分析：如图点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满足方程?x?1?y?4。2建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的条件，求出点 M 的轨迹方程。 解：设点 M 的坐标是（x,y）,点 A 的坐标是x0,y0?.由于点 B 的坐标是?4，3?且 M 是线段 AB 的重点，所以x0?4y?3,y?0, 22于是有 x0?2x?4,y0?2y?3x?2 因为点 A 在圆?x?1?y2?4 上运动，所以点 A 的坐标满足方程?x?1?y2?4,即 2
