1、探索勾股定理,b,a,c,a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,一、网格图证明法,观察右边两幅图：,填表（每个小正方形的面积为单位1）：,4,？,怎样计算正方形C的面积呢？,9,16,9,“割”,“补”,“拼”,方法一：,方法二：,方法三：,分割为四个直角三角形和一个小正方形,补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积,将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形,分析表中数据，你发现了什么？,结论 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.,正方形周边上的格点数a=12,正方形内部的格点数b=
2、13,利用皮克公式,所以，正方形C的面积为：（单位面积）,返回,图1-1,图1-2,二、拼图法,1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）；,2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看,3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正方形？,4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？, (a+b)2 = c2 + 4ab2,a2+2ab+b2 = c2 +2ab,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为,(a+b)2,c2 +4ab2, c2= 4ab2 +(b-a)2,=2ab+b2-2ab+a2,=a2+b2,a2+b2=c2,
3、大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为,c2,4ab2-(b- a)2,三、“总统证法”. 美国第二十任总统伽菲尔德的证法,如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得化简,得,四、青朱出入图：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。,约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍九章算术作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。,a,b,c,无字证明,以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾
4、股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。,做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图中的颜色,将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。,单击图片打开,五、在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明,c,意大利文艺复兴时代的著名画家达芬奇对勾股定理进行了研究。,六：达芬奇证法,国际调查组报告,约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个
5、整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识 。,勾股定理与第一次数学危机,1,1,？,例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩
6、5000米，飞机每小时飞行多少千米？,4000,5000,蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）,G,F,E,只要求答案,议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2？,a,a,b,b,c,c,3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积,8,D,A,B,C,解：设这个三角形为ABC，高为AD，设AB为X，则BC为（32-2X），BD是（16x),由勾股定理得： X2=(16-X)2 +82,即X2=256-32X+X2 +64, X=10, SABC=BCAD/2=2 6 8/2=48,试一试,有一个水池,水面是一个
7、边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?,x2 + 52 = (x+1)2,x = 12,水池,补充：如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.,（3）如图在ABC中，ACB=90， CDAB，D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm. 求 ABC的面积； 斜边AB的长；斜边AB上的高CD的长。,欣赏有趣的图形：,毕达哥拉斯树,螺形图,补充练习： 1、放学以后，小红和小颖从学校
8、分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ） A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定 2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ） A、6厘米； B、 8厘米； C、 80/13厘米；D、 60/13厘米；,C,D,2. 如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是（ ） （A）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对,3. 在ABC中，AB=13，AC=20，高AD=12，则BC的长为,16,5,5,16
9、,21或11,如果电梯的长、宽、高分别是1.5、1.5、2.2米，那么能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？,2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，至少飞了多少米？,8m,2m,8m,A,B,C,D,E,1.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=( ),2.由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若去其中三根木棒组呈三角形，有( ) 中取法，其中，能构成直角三角形的是（ ）, 说一说 ,2.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米， 在折向北走到6千米处往东一拐， 仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？,5.如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？,8.如图,四边形ABCD中,B=D=90, C=45,AD=1,BC=2,求CD的长.,
