1、2019 届北京市海淀八模高三模拟测（二）数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A B C D【答案】B【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为 A（UB） ，然后根据集合的基本运算即可【详解】B x|x210 x|x1 或 x1，UBx| 1x1，又由图象可知阴影部分对应的集合为 A（UB），A（UB）0，故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础2已知复数 在复平面内对应点是 ， 为虚数单位，则 （ ）z1,2i21zA B C D1ii3i3【答案】D【解析】 ，选 D.21z32ii3等比数列 中，
2、若 ，且 成等差数列，则其前 5 项和为（ ）A 30 B 32 C62 D64【答案】C【解析】设等比数列a n的公比为 q，a48a 1，可得 a1q3 8a1，解可得 q又a1，a2+1，a3 成等差数列，可得 2（a 2+1）a 1+a3，解可得 a1，由等比数列前 n 项和公式计算可得答案【详解】根据题意，设等比数列a n的公比为 q，a4 8a1，a1q38a 1，a10，解得 q2又 a1，a2+1，a3 成等差数列，2（a2+1）a 1+a3，2（2a1+1）a 1（1+22），解得 a12；则其前 5 项和 S5 62；故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，掌
3、握等比数列的通项公式和前 n 项和公式即可4如图给出的是 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）A 2000 年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增大C2008 年以来我国实际利用外资同比增速最大D2010 年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】根据图表中的数据对选项逐项分析【详解】从图表中可以看出，2000 年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项 A 错误；我国实际利用外资规模 2012 年比 2011 年少，所以选项 B 错误；从图表中的折线可以看出，
4、2008 年实际利用外资同比增速最大，所以选项 C 正确；2008 年实际利用外资同比增速最大，所以选项 D 错误；故选：C【点睛】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题5如图，在长方体 中， ， ，点 在侧面 上，满足到直线 和 的距离相等的点 （ ）A不存在 B恰有 1 个 C恰有 2 个 D有无数个【答案】B【解析】设 P 到 AB 的距离为 x，到 AA1 的距离为 y，求出 P 到直线 CD 的距离，列方程得出 P 点轨迹，得出答案【详解】设 P 到 AB 的距离为 x(x ，到 AA1 的距离为 y(0y ，则 P 到直线 CD 的距离为，y ，即 y2x21（y
5、1），又 0yy=1,x=0,此时只有一个 B 点满足，故选：B【点睛】本题考查了空间距离的计算，属于中档题6数学名著算学启蒙中有关于 “松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图 .若输入的 分别为 8、2 ，则输出的 （ ）A 2 B3 C4 D5【答案】D【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】输入的 a、b 分别为 8、2，n 1第一次执行循环体后 a12，b4，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后 n2，a 18， b8，不满足退出循环的条
6、件，第三次执行循环体后 n3，a 27， b16，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后 n4，a ，b32，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后 n5，a ，b64，满足退出循环的条件，故输出的 n5，故选：D【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5:00-6:00 之间送货上门. 已知小李下班到家的时间为下午 5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在 10 分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收
7、取商品的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】设快递员送达的时刻为 x，小李到家的时刻为 y，根据题意列出有序实数对（x，y）满足的区域，以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案【详解】假设快递员送达的时刻为 x，小李到家的时刻为 y，则有序实数对（x，y）满足的区域为（x，y）| ，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对（x， y）满足的区域为（x，y）| ，如图所示；小李需要去快递柜收取商品的概率为P 故选：D【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，得
8、到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数 的一条对称轴是B函数 的一个对称中心是C函数 的一条对称轴是D函数 的一个对称中心是【答案】C【解析】利用诱导公式、函数 yAsin （x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论【详解】将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，可得 y2sin （2x ）的图象，然后纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，得到函数 yg（x ）2sin（2x ）2cos2 x 的图象，令 x ，求得 g（x）0，可得（ ，0）是 g（x）的一个对称中心，故排除 A；令 x ，求得 g（x）1，可得 x 是 g（x）的
9、图象的一条对称轴，故排除 B，故 C 正确；令 x ，求得 g（x） ，可得 x 不是 g（x）的图象的对称中心，故排除 D，故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式、函数 yAsin （x+）的图象变换规律，以及正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题9设函数 ， ， “ 是偶函数”是“ 的图象关于原点对称”（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 “yf（x）的图象关于原点对称” ，xR，可得 y| f（x）|是偶函数反之不成立，例如 f（x）x 2【详解】“yf（x）的图象关于原点对称” ，xR，可得 y|f（x ）|是偶函数反之不成立
10、，例如 f（x）x 2，满足 y| f（x）|是偶函数，x R因此， “y|f（x ）|是偶函数” 是“y f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线 交椭圆 、两点，若 的最大值为 5，则 b 的值为（ ）A 1 B C D2【答案】C【解析】由题意可知椭圆是焦点在 x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|8|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当 AB 垂直于 x 轴时|AB|最小，把|AB |的最小值 b2 代入|BF
11、 2|+|AF2|8|AB|，由 |BF2|+|AF2|的最大值等于5 列式求 b 的值即可【详解】由 0b2 可知，焦点在 x 轴上，过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，则|BF 2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|2 a+2a4a8|BF2|+|AF2|8 |AB|当 AB 垂直 x 轴时|AB|最小， |BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|b 2，则 58b 2，解得 b ，故选：C【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题11已知过球面上三点 、 、 的截面到球心距离等于球半径的一半，且 ，则球面面积为（ ）A
12、 B C D【答案】C【解析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积【详解】如图，设球的半径为 R，O是ABC 的外心，外接圆半径为 r，则 OO面 ABC在 RtACD 中，cosA ，则 sinA 在ABC 中，由正弦定理得 2r，r ，ABC 外接圆的半径 ， 故选：C【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题12数学上称函数 （ ， ， ）为线性函数 .对于非线性可导函数 ，在点 附近一点 的函数值 ，可以用如下方法求其近似代替值： .利用这一方法， 的近
13、似代替值（ ）A大于 B小于 C等于 D与 的大小关系无法确定【答案】A【解析】设 ，令 ，则，故近似值大于 .点睛：本题主要考查新定义概念的理解，考查基本初等函数的导数的求法，考查近似值的一种求法，考查比较大小的方法.题目所给新定义是一种近似值的求法，阅读理解后，将所求 的近似值利用新定义的概念来表示，即，然后利用平方的方法进行大小的比较.二、填空题13设 满足约束条件 ，则 的最小值为 _【答案】-5【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【详解】由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为 A，联立 ，解得 A（1，1）z3
14、x2y 的最小值为3121 5故答案为：5【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14已知向量 满足 ， ， ，则向量 在向量 上的投影为_【答案】-1【解析】由已知结合向量数量积的性质可求 ，然后代入到向量 在向量 上的投影公式 可求【详解】， ， ，5，则向量 在向量 上的投影为 1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，熟练掌握基本性质是求解问题的关键15已知双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 .以 为圆心， 为半径的圆交的右支于 、 两点， 的一个内角为 60，则 的离心率为_【答案】【解析】由题意可得 PAPB，又，APQ 的一
15、个内角为 60，即有PFB 为等腰三角形，PFPAa+ c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求【详解】如图，设左焦点为 F1，圆于 x 轴的另一个交点为 B，APQ 的一个内角为 60PAF30 ，PBF60PFAFa+c，PF13a+c，在PFF 1 中，由余弦定理可得 3c2ac4a20 3e2e40 ，故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题16已知数列 满足 ， ， 表示不超过 的最大整数（如 ，记，数列 的前 项和为 ）.若数列 是公差为 1 的等差数列，则 _；若数列 是公比
16、为 的等比数列，则 _【答案】6 【解析】若数列 是公差为 的等差数列，且 ， ，则，所以 ，则 ；故填 6.若数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，则，则 ，；故填 .【点睛】本题考查等差数列、等比数列、二项式定理和新定义型数列的求解；本题的难点是第二问如何确定数列 的通项公式，采用了二项式展开式，利用二项式的性质进行求解，难度较大.三、解答题17在 中，内角 、 、 的对边分别为 ， ， .若 的面积为 ，且 ，. （1 ）求角 的大小；（2 ）若 ，求角 的大小.【答案】 （1） ； （2） .【解析】 （1）根据余弦定理和三角形的面积公式化简即可得出 ，从而得出 B的值；（2）利用正弦
17、定理及 B，直接求出 C【详解】（1）在 中，由余弦定理，得 ， ， ， ， ；（2）由正弦定理得， ， ， ， .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题18在如图所示的多面体中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点. （1 ）求证： ；（2 ）求平面 与平面 所成锐二角的余弦值.【答案】 （）证明见解析；（） 【解析】试题分析：（）由题意可知 ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点， ， ，分别为 轴，建立空间直角坐标系， 由已知得 ， ， 即证得 （）由已知得 是平面 的法向量，设平面 的法向量为， 计算得 令 ，得 设平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，则 通过计算即
18、得结果.试题解析：（） 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 又 ， ， ， 两两垂直以点 为坐标原点， ， ， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，由已知得， ， ， ， ， ， ， ， ， （）由已知得 是平面 的法向量，设平面 的法向量为 ， ， ， ，即 ，令 ，得 ，设平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，则 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 19 （本小题满分 13 分）某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，8，其中 X5 为标准 A，X3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价
19、为 4 元/ 件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示：且 X1 的数字期望 EX1=6，求 a，b 的值；（II ）为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的数学期望.在（I） 、 （ II）的条件下，若以 “性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“
20、性价比”= ；（2 ） “性价比”大的产品更具可购买性 .【答案】【解析】略20已知过抛物线 的焦点 ，斜率为 的直线交抛物线于2:(0)CypxF2两点，且 .1212,(AxyB6AB（1 ）求该抛物线 的方程；（2 ）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且,4Mt MDE，判断直线 是否过定点？并说明理由.MDED【答案】 （1） ；（2）定点yx8,【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线 的方程,与抛物线联立方程组,结AB合韦达定理与弦长公式求 ,再根据 解得 .（2）先设直线 方程AB6pDE, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简 ，得 或xmyt M48tm,
21、代入 方程可得直线 过定点4tDEE8,4试题解析：（1）拋物线的焦点 ，直线 的方程为: .,02pFAB2pyx联立方程组 ，消元得: ，2ypx2204px .2121,4pxx 2211346ABxp解得 .2p抛物线 的方程为： .C24yx（2）由（1）可得点 ，可得直线 的斜率不为 0，,MDE设直线 的方程为： ，DExmyt联立 ，得 ，2 4xyt240t则 .160t设 ，则 .2,DxyE12124,ymyt 14Mx122121266xxyy1121244y2211112336yyy260tmt即 ，得： ，213122641tm ，即 或 ，6t48tm代人式检验均
22、满足 ，0直线 的方程为： 或 .DE48xyy4xy直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.8,4,点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21已知函数 .(1)讨论函数 的单调性；(2)若函数 存在两个极值点 且满足 ，求 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）求出 ，分五种情况讨论 的范围，分别令 求得 的范围，可得函
23、数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）由(1)可知， ，不等式 化为 ，令 ，则 ， ，利用导数研究函数的单调性，证明当时，不等式不成立，当 时，可证明 ，适量题意，即 .试题解析：(1)定义域为 ，当 或 时， 恒成立，当 时，由 得 或 ，于是结合函数定义域的分析可得：当 时，函数 在定义域 上是增函数；当 时，函数 定义域为 ，此时有 ，于是 在 上是增函数，在 上是减函数，在上是增函数，当 时，函数 定义域为 ，于是 在 上为减函数，在 上为增函数，当 时，函数 定义域为 ，此时有 ，于是 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是减函数，在 上是增函数，当 时，函数 定
24、义域为 ，于是 在 上是增函数，在 上是增函数.(2)由(1)知 存在两个极值点时， 的取值范围是 ，由(1)可知， ，；不等式 化为 ，令 ，所以 ，令 ， ，当 时， ， ， ，所以 ，不合题意；当 时， ， ，所以 在 上是减函数，所以 ，适量题意，即 .综上，若 ，此时正数 的取值范围是 .22在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数） ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的坐标方程为 ，若直线 与曲线 相切.（1 ）求曲线 的极坐标方程；（2 ）在曲线 上取两点 、 于原点 构成 ，且满足 ，求面积 的最大值.【答案】 （1） ； （2） .【解
25、析】 （1）求出直线 l 的直角坐标方程为 y 2，曲线 C 是圆心为（ ，1） ，半径为 r 的圆，直线 l 与曲线 C 相切，求出 r2，曲线 C 的普通方程为（x ）2+（y1）24，由此能求出曲线 C 的极坐标方程（2）设 M（1，），N（2， ），（10， 20） ，由 2sin（2） ，由此能求出MON 面积的最大值【详解】（1）由题意可知将直线 的直角坐标方程为 ，曲线 是圆心为 ，半径为 的圆，直线 与曲线 相切，可得： ；可知曲线 的方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，即 .（2）由（1）不妨设 ， ，.当 时， ，面积的最大值为 .【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查
26、三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23若 ，且 .（1 ）求 的最小值；（2 ）是否存在 ，使得 的值为 ？并说明理由.【答案】 （1） ； （2）不存在 ，使得 的值为 .【解析】 （1）由条件利用基本不等式求得 ，再利用基本不等式求得 的最小值（2）根据 及基本不等式求得 ，从而可得不存在 a，b，使得= 【详解】（1） ， ， ，当且仅当 时等号， .，当且仅当 时取等号；（2） ， ， ， 不存在 ，使得 的值为 .【点睛】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题
