1、北京市海淀八模 2019 届高三文科数学模拟测试卷（二）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A=1,0,1,2 B=x|y= x21A. B. C. D. 1 0 1,0 1,0,1【答案】B【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为 A（UB） ，然后根据集合的基本运算即可【详解】B x |x210 x|x1 或 x1，UBx| 1x1，又由图象可知阴影部分对应的集合为 A（UB），A（UB）0，故选：B【点睛】本题主要考查集合的基
2、本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础2.已知复数在复平面内对应点是 ，为虚数单位，则 （ ）(1,2)z+2z1=A. B. C. D. 1i 1+i 132i 1+32i【答案】D【解析】，选 D.z+2z-1=32i2i=1+32i3.等比数列 中，若 ，且 成等差数列，则其前 5 项和为（ ）an a4=8a1 a1,a2+1,a3A. 30 B. 32 C. 62 D. 64【答案】C【解析】【分析】设等比数列a n的公比为 q，a48a 1，可得 a1q38a 1，解可得 q又 a1，a2+1，a3 成等差数列，可得 2（a 2+1）a 1+a3，解可得 a1，由
3、等比数列前 n 项和公式计算可得答案【详解】根据题意，设等比数列a n的公比为 q，a4 8a1，a1q38a 1，a10，解得 q2又 a1，a2+1，a3 成等差数列，2（a2+1）a 1+a3，2（2a1+1）a 1（1+22），解得 a12；则其前 5 项和 S5 62；=2(1-25)1-2 =故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式即可4.如图给出的是 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）A. 2000 年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B. 2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增大
4、C. 2008 年以来我国实际利用外资同比增速最大D. 2010 年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】【分析】根据图表中的数据对选项逐项分析【详解】从图表中可以看出，2000 年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项 A 错误；我国实际利用外资规模 2012 年比 2011 年少，所以选项 B 错误；从图表中的折线可以看出，2008 年实际利用外资同比增速最大，所以选项 C 正确；2008 年实际利用外资同比增速最大，所以选项 D 错误；故选：C【点睛】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题5.如图，在长方体 中， ，
5、 ，点 在侧面 上，满ABCDA1B1C1D1 A1A=AB=1 BC=1 P A1ABB1足到直线 和 的距离相等的点 （ ）A1A CD PA. 不存在 B. 恰有 1 个 C. 恰有 2 个 D. 有无数个【答案】B【解析】【分析】设 P 到 AB 的距离为 x，到 AA1 的距离为 y，求出 P 到直线 CD 的距离，列方程得出 P 点轨迹，得出答案【详解】设 P 到 AB 的距离为 x(x ，到 AA1 的距离为 y(0y ，则 P 到直线 CD 的距1) 1)离为 ，x2+1y ，即 y2x21（y1）， 又 0y= x2+1 1,y=1,x=0,此时只有一个 B 点满足，故选：B
6、【点睛】本题考查了空间距离的计算，属于中档题6.数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的 分别为a,b8、2，则输出的 （ ）n=A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】输入的 a、b 分别为 8、2，n1第一次执行循环体后 a12，b4，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后 n2，a 18， b8，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后 n3，a 27
7、， b16，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后 n4，a ，b32，不满足退出循环的条件，=812第五次执行循环体后 n5，a ，b64，满足退出循环的条件，=2434故输出的 n5，故选：D【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5:00-6:00 之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午 5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在 10 分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）
8、A. B. C. D. 19 89 512 712【答案】D【解析】【分析】设快递员送达的时刻为 x，小李到家的时刻为 y，根据题意列出有序实数对（x，y）满足的区域，以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案【详解】假设快递员送达的时刻为 x，小李到家的时刻为 y，则有序实数对（x，y）满足的区域为（x，y）| ，5x65.5y6 小李需要去快递柜收取商品，即序实数对（x， y）满足的区域为（x，y）| ，5x65.5y6x+16 y 如图所示；小李需要去快递柜收取商品的概率为P =S阴 影S矩 形 =12(13+56)12121 =712故选：D【点睛】本题考查几何概型
9、概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8.将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移y=2sin(23x+34) 13个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）8 y=g(x)A. 函数 的一条对称轴是g(x) x=4B. 函数 的一个对称中心是g(x) (2,0)C. 函数 的一条对称轴是g(x) x=2D. 函数 的一个对称中心是g(x) (8,0)【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式、函数 yA sin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论【详解】将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的
10、 ，y=2sin(23x+34) 13可得 y2sin （2x ）的图象，+34然后纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，8得到函数 yg（x ）2sin（2x ）2cos2x 的图象，-4+34令 x ，求得 g（x）0，=4可得（ ，0）是 g（x）的一个对称中心，故排除 A；4令 x ，求得 g（x）1，=2可得 x 是 g（x）的图象的一条对称轴，故排除 B，故 C 正确；=2令 x ，求得 g（x） ，可得 x 不是 g（x）的图象的对称中心，故排除 D，=8 = 2 =8故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式、函数 yAsin （x+）的图象变换规律，以及正弦函数、余弦函数的图象的对称
11、性，属于基础题9.设函数 ， ， “ 是偶函数”是“ 的图象关于原点对称” （ ）y=f(x) xR y=|f(x)| y=f(x)A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】“yf（x）的图象关于原点对称” ，xR，可得 y|f （x）|是偶函数反之不成立，例如 f（x）x 2【详解】 “yf（x）的图象关于原点对称” ，xR，可得 y |f（x）|是偶函数反之不成立，例如 f（x）x 2，满足 y| f（x）|是偶函数，x R因此， “y|f（x ）|是偶函数” 是“y f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件故选：B【
12、点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线交椭圆 、 两点，x24+y2b2=1(04.001 m点睛：本题主要考查新定义概念的理解，考查基本初等函数的导数的求法，考查近似值的一种求法，考查比较大小的方法.题目所给新定义是一种近似值的求法，阅读理解后，将所求 的近似值利用新定义的概念来表示，即 ，然后利m f(4.001)f(4)+f(4)(4.0014)=2+ 14000用平方的方法进行大小的比较.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设 满足约束
13、条件 ，则 的最小值为_x,y x+2y12x+y-1x-y0 z=3x-2y【答案】-5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【详解】由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，x+2y12x+y-1x-y0 ,由图可知，目标函数的最优解为 A，联立 ，解得 A（1，1）x+2y=12x+y=-1 z3x2y 的最小值为3121 5故答案为：5【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14.已知向量 满足 ， ， ，则向量 在向量上的投影为_a,b |a|=5 |ab|=6 |a+b|=4 b【答案】-1【解析】【分
14、析】由已知结合向量数量积的性质可求 ，然后代入到向量 在向量 上的投影公式 可ab b a ab|a|求【详解】 ， ， ，|a|=5 |a-b|=6 |a+b|=4，36=a2-2ab+b216=a2+2ab+b2 5，ab=-则向量 在向量 上的投影为 1，b a ab|a| =-55=-故答案为：1【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，熟练掌握基本性质是求解问题的关键15.已知双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 .以 为圆心， 为半径的C:x2a2y2b2=1(a0,b0) F A F FA圆交的右支于 、 两点， 的一个内角为 60，则 的离心率为_P Q APQ C【答案
15、】43【解析】【分析】由题意可得 PAPB，又，APQ 的一个内角为 60，即有PFB 为等腰三角形，PFPAa+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求【详解】如图，设左焦点为 F1，圆于 x 轴的另一个交点为 B，APQ 的一个内角为 60PAF30 ，PBF60PFAFa+c，PF13a+c，在PFF 1 中，由余弦定理可得 PF12=PF2+FF12-2PFFF1cos12003c2ac4a20 3e2e40 ，e=43故答案为： 43【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题16.对任一实数序
16、列 ，定义新序列 ，它的第 项为A=(a1,a2,a3,.) A=(a2a1,a3a2,a4a3,.) n，假设序列 的所有项都是 ，且 ，则 _an+1an (A) 1 a12=a22=0 a2=【答案】100.【解析】设序列 的首项为 ，则序列 ，则它的第 n 项为 ，因此序A d A=d,d+1,d+2, d+(n1)列 A 的第 项n，则an=a1+(a2a1)+(anan1)=a1+d+d+1+d+n2=a1+(n1)d+12n(n1)d是关于 的二次多项式，其中 的系数为 ，因为 ，所以必有 ，an n n212 a12=a22=0 an=12(n12)(n22)故 。a2=12(
17、212)(222)=100点睛：本题主要考查数列的概念和表示，属于中档题。根据定义进行递推关系是解答本题的关键。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，内角 、 、 的对边分别为， ，.若 的面积为 ，且 ，ABC A B C b ABC S b=22. 4S=a2+c212（1）求角 的大小；B（2）若 ，求角 的大小.c= 2b C【答案】 （1） ； （2） .4 2【解析】【分析】（1）根据余弦定理和三角形的面积公式化简即可得出 ，从而得出 B 的值；cosB=sinB（2）利用正弦定理及 B，直接求出 C【详解】 （1
18、）在 中，由余弦定理，得 ，ABC 2accosB=a2+c2-b2， ， ，b=22 4S=a2+c2-12 4S=a2+c2-b2， ，2accosB=4S 2accosB=2acsinB， ；cosB=sinB B=4（2）由正弦定理得， ，csinC= bsinB， ，c= 2b B=4， ，2bsinC=bsin4 sinC=1， .C(0,34) C=2【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题18.如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 上的点，ABCA1B1C1 AB=BC=BB1 AB1A1B=E D AC平面 .B1C/ A1BD（1）求证： 平面 ；BD A1AC
19、C1（2）若 ，且 ，求三棱锥 的体积 .AB=1 ACAD=1 ABCB1【答案】 （1）见解析;（2）16【解析】【试题分析】 （）运用线面垂直判定定理推证；（）先求三棱锥的高与底面面积再运用三棱锥的体积公式求解：（1）连结 ED， 平面 AB1C平面 A1BD=ED， B1C平面 A1BD， B1C ED， E 为 AB1中点， D 为 AC 中点， AB=BC， BD AC【法一】：由 A1A平面 ABC， 平面 ABC，得 A1A BD，BD由及 A1A、 AC 是平面 内的两条相交直线，得 BD平面 . A1ACC1 A1ACC1【法二】:由 A1A平面 ABC， A1A 平面 A
20、1ACC1平面 平面 ABC ，又平面 平面 ABC=AC，得 BD平面 . A1ACC1 A1ACC1 A1ACC1（2）由 得 BC=BB1=1，AB=1由（1）知 ，又 得 , DA=12AC ACDA=1 AC2=2 ， ，AC2=2=AB2+BC2 ABBCVA-BCB1=13AB12BCBB1=1619.近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，与此同时，相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为 ，对服务好评率为 ，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. 35 34（1）是否可以在犯错误率不超过
21、 0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式这 200 次交易中取出 5 次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率.注：1.P(K2k0) 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828注：2. ， .K2= n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n=a+b+c+d【答案】 （1）可以；（2） 35【解析】试题分析：（1）得到对应的列联表，根据条件中给出的数据以及公式计算相应的值，比较大小即可判断；（2）列出所
22、有符合题意的基本事件的种数以及所有的基本事件的种数，根据古典概型即可求解试题解析：由题意可得关于商品和服务评价的 列联表：22对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 80 40 120对商品不满意 70 10 80合计 150 50 200，K2=200(80104070)2150501208011.11110.828可以在犯错误概率不超过 01%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易，则好评的交易次数为 3 次，不满意的次数为 2 次，令好评的交易为 ， ， ，不满意的交易为， ，从 5 次A B C b交易
23、中，取出 2 次的所有取法为 ， ， ， ， ， ， ， ，(A,B) (A,C) (A,a) (A,b) (B,C) (B,a) (B,b) (C,a)， ，共计 10 种情况，其中只有一次好评的情况是 ， ， ， ，(C,b) (a,b) (A,a) (A,b) (B,a) (B,b)， ，共计 6 种，因此，只有一次好评的概率为(C,a) (C,b)610=35考点：1独立性检验；2古典概型20.已知过抛物线 的焦点 ，斜率为 的直线交抛物线于C:y2=2px(p0) F 2两点，且 .A(x1,y1),B(x2,y2)(x10设 ，则 .D(x1,y1),E(x2,y2) y1+y2=
24、4m,y1y2=-4t MDME=(x1-4,y1-4)(x2-4,y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=y124y224-4(y124+y224)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=(y1y2)216-(y1+y2)2+3y1y2-4(y1+y2)+32=t2-16m2-12t+32-16m=0即 ，得： ，t2-12t+32=16m2+16m (t-6)2=4(2m+1)2 ，即 或 ，t-6=2(2m+1) t=4m+8 t=-4m+4代人式检验均满足 ，0直线 的方程为： 或 .DE x=my+4m+8=m(y+4)+8 x=m(y-4)
25、+4直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.(8,-4) (4,4)点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数 .f(x)=xex（1）求函数 的单调区间；f(x)（2）证明： .lnx1ex2ex【答案】(1)单调增区间为 ，单调递减区间为 .(2)证明见解析.(,1) (1,+)【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，利用导函数与原函数单
26、调性的关系可得 的单调递增区间为f(x)=1-xex f(x)， 的单调递减区间为 .(-,1) f(x) (1,+)（2）原问题等价于 成立 .令 ，则 ，结合导函数研究函数的最xlnxxex-2e g(x)=xlnx g(x)=1+lnx值可得 ，又由（1）可得在 ，据此可得题中的不等式成立.g(x)g(1e)=-1e (xex-2e)max=-1e试题解析：（1）由题意可得 ，令 ，得 .f(x)=1-xex f(x)=0 x=1当 时， ，函数 单调递增；x(-,1) f(x)0 f(x)当 时， ，函数 单调递减.x(1,+) f(x)1ex-2ex xlnxxex-2e令 ，则 ，
27、令 ，则 ，g(x)=xlnx g(x)=1+lnx g(x)=1+lnx=0 x=1e当 时， ，当 时， ，x(0,1e) g(x)0所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，g(x) (0,1e) (1e,+) g(x)g(1e)=-1e又由（1）可得在 上 ，(0,+) f(x)max=f(1)=1e所以 ，所以不等式得证.(xex-2e)max=-1e请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数） ，以坐xOy C x= 3+rcosy=1+rsin r0 标原点 为极点， 轴正半轴为极轴
28、建立极坐标系，直线的坐标方程为 ，若直线O x sin(3)=1与曲线 相切.C（1）求曲线 的极坐标方程；C（2）在曲线 上取两点 、 于原点 构成 ，且满足 ，求面积 的最C MN O MON MON=6 MON大值.【答案】 （1） ； （2） .=4sin(+3) 2+ 3【解析】【分析】（1）求出直线 l 的直角坐标方程为 y 2，曲线 C 是圆心为（ ，1） ，半径为 r 的圆，= 3x+ 3直线 l 与曲线 C 相切，求出 r2，曲线 C 的普通方程为（x ）2+（y1）24，由此能求出- 3曲线 C 的极坐标方程（2）设 M（1，），N（2， ），（10， 20） ，由 2si
29、n（2 ） ，+6 SMON=12| OM|ON|sin6= +3+ 3由此能求出MON 面积的最大值【详解】 （1）由题意可知将直线的直角坐标方程为 ，y= 3x+2曲线 是圆心为 ，半径为的圆，直线与曲线 相切，可得： ；C ( 3,1) C r=| 33-1+2|2 =2可知曲线 的方程为 ，C (x- 3)2+(y-1)2=4曲线 的极坐标方程为 ， C 2-23cos-2sin=0即 .=4sin(+3)（2）由（1）不妨设 ， ，M(1,) N(2,+6) (10,20)SMON=12|OM|ON|sin6=1412=4sin(+3)sin(+2)=2sincos+23cos2.=
30、sin2+ 3cos2+ 3=2sin(2+3)+ 3当 时， ，=12 SMON2+ 3面积的最大值为 .MON 2+ 3【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23.若 ，且 .a0,b0 (a+b) ab=1（1）求 的最小值；1a3+1b3（2）是否存在 ，使得 的值为 ？并说明理由.a,b12a+13b 63【答案】 （1） ； （2）不存在 ，使得 的值为 .42 a,b12a+13b 63【解析】【分析】（1）由条件利用基本不等式求得 ，再利用基本
31、不等式求得 的最小值ab12 1a3+1b3（2）根据 及基本不等式求得 ，从而可得不存在 a，b，使得 = ab12 12a+13b233 12a+13b 63【详解】 （1） ，(a+b) ab=1 (a+b)=1ab， ， ，当且仅当 时等号，a0,b0 (a+b)2ab a=b， .1ab2ab ab12，1a3+1b32 1a31b3= 2abab42，当且仅当 时取等号；1a3+1b342 a=b（2） ， ， ，a0,b0 12a+13b2 12a13b= 26ab233， 不存在 ，使得 的值为 .63233 a,b 12a+13b 63【点睛】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题
