1、2015-2016 学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）2015-2016 学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）及解析一、选择题：（60 分）1设集合 A=x|0x3，B=x|x 23x+20，x Z，则 AB 等于( )A （1， 3） B1，2 C0，1，2 D1 ，2【考点】交集及其运算 【专题】计算题【分析】求解一元二次不等式，结合 xZ 化简集合 B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由集合 A=x|0x3，B=x|x23x+20，xZ=x|1x2，xZ=1，2，则 AB=x|0x31，2=1，2故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元
2、二次不等式的解法，是基础题2下列结论正确的是( )A命题“若 x23x4=0，则 x=4”的逆否命题为“若 x4，则 x23x4=0”B “x=4”是“ x23x4=0”的充分不必要条件C已知命题 p“若 m0，则方程 x2+xm=0 有实根”，则命题 p 的否定p 为真命题D命题“若 m2+n2=0，则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n2=0，则 m0 或 n0”【考点】命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑【分析】A：写出命题“若 x23x4=0，则 x=4”的逆否命题，可判断 A 的真假；B：利用充分必要条件的概念可判断“x=4”是“x 23x4=0”的充分不必要条件，可判断
3、 B 正确；C：m0 时，=1+4m0，方程 x2+xm=0 有实根，可判断命题 p 正确，从而可知命题 p 的否定p 为假命题，可判断 C 错误；D：写出命题“若 m2+n2=0，则 m=0 且 n=0”的否命题为“若 m2+n20 则 m0 或 n0”，可判断D 错误【解答】解：A：命题“若 x23x4=0，则 x=4”的逆否命题为“ 若 x4，则 x23x40”，故 A 错误；B：“x=4”“ x23x4=0”，充分性成立；反之， “x23x4=0”“x=4 或 x=1”，必要性不成立，故B 正确；C：因为，m0 时，=1+4m0，故方程 x2+xm=0 有实根，即命题 p 正确，则命题
4、 p 的否定p 为假命题，故 C 错误；D：命题“若 m2+n2=0，则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0”，故 D 错误故选：B【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及其真假判断，考查充分必要条件的理解与应用，属于中档题3在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD=120，则 在 方向上的投影为( )A B C1 D2【考点】平面向量数量积的含义与物理意义 【专题】平面向量及应用【分析】根据条件可判断ABC 为正三角形，利用投影为 公式计算【解答】解：在边长为 2 的菱形 ABCD 中， BAD=120，B=60，ABC 为正三角
5、形， =22cos60=2 在 方向上的投影为 = =1，故选：C【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，及应用，属于容易题4非零向量 使得 成立的一个充分非必要条件是( )A B C D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】平面向量及应用【分析】可先求出非零向量 使得 成立的充要条件，进而即可得出答案【解答】解：非零向量 使得 成立， ，展开化为 ， 因此非零向量 使得 成立的充要条件是 ，即 与 异向共线故非零向量 使得 成立的一个充分非必要条件是 故选 B【点评】熟练求出非零向量 使得 成立的充要条件是解题的关键5设 不共线， ， ， ，若 A，B，D 三点共线，则实数
6、p 的值是( )A2 B1 C1 D2【考点】平行向量与共线向量 【专题】平面向量及应用【分析】根据三点共线，转化为向量共线，建立方程条件即可得到结论【解答】解： ， ， ， = ，A， B，D 三点共线， ，即 ， ，解得 ，实数 p 的值是 1，故选：B【点评】本题主要考查三点共线的应用，将条件转化为向量共线是解决本题的关键6设曲线 y= 在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直，则 a=( )A2 B2 C D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】先求出导函数 y，再由两直线垂直时斜率之积为 1，列出方程求出 a 的值【解答】解：由题意得，y=
7、 = ，在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直， = ，解得 a=2，故选 B【点评】本题考查了导数的几何意义，即一点处的切线斜率是该点出的导数值，以及直线相互垂直的等价条件应用7下列不等式一定成立的是( )Alg（x 2+ ）lgx（x0） Bsinx+ 2（xkx，k Z）Cx 2+12|x|（xR） D （xR）【考点】不等式比较大小 【专题】探究型【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中 C 选项用配方法验证，A，B，D 三个选项代入特殊值排除即可【解答】解：A 选项不成立，当 x= 时，不等式两边相等；B 选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出 sinx
8、+ 2；C 选项是正确的，这是因为 x2+12|x|（xR）（|x|1） 20；D 选项不正确，令 x=0，则不等式左右两边都为 1，不等式不成立综上，C 选项是正确的故选：C【点评】本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键8已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x）=2xf（1）+lnx，则 f（1）=( )Ae B1 C1 De【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则 【专题】计算题【分析】已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，利用求导公式对 f（x）进行求导，再把 x=1 代入，即可求解；【解答】
9、解：函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x）=2xf （1）+ln x， （x0）f（x）=2f（1）+ ，把 x=1 代入 f（x）可得 f（1）=2f（1）+1，解得 f（1）=1，故选 B；【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对 f（x）进行正确求导，把 f（1）看成一个常数，就比较简单了；9已知变量 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z=yax 仅在点（ 3，0）处取到最大值，则实数 a 的取值范围为( )A （3，5） B （ ，+ ） C （ 1，2） D （ ，1）【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】根据已知的约束条件
10、画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值【解答】解：画出可行域如图所示，其中 A（3，0） ，C （0，1）若目标函数 z=yax 仅在点（3，0）取得最大值，由图知，直线 z=ax+y 的斜率大于直线 x2y+3=0 的斜率，即 a故选 B【点评】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想10f（x）= +log2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4）【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题【分析】根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的
11、位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1） f（2）0故选 B【点评】本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题11设 f（x）=lg（ +a）是奇函数，且在 x=0 处有意义，则该函数是( )A （，+）上的减函数 B （ ，+）上的增函数C （1，1）上的减函数 D （1，1）上的增函数【考点】复合函数的单调性；函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】由 f（0）=0，求得 a 的值，可得 f（x）=lg （ ） ，由此求得函数 f（x）的定义域再根据 f（x）=lg（1 ）
12、，以及 t=1 在（1，1）上是增函数，可得结论【解答】解：由于 f（x）=lg（ +a）是奇函数，且在 x=0 处有意义，故有 f（0）=0，即 lg（2+a）=0，解得 a=1故 f（x）=lg （ 1）=lg（ ） 令 0，求得1x1，故函数 f（x）的定义域为（1，1） 再根据 f（x）=lg（ ）=lg（ 1 ） ，函数 t=1 在（1，1）上是增函数，可得函数 f（x）在（1，1）上是增函数，故选 D【点评】本题主要考查函数的奇偶性，复合函数的单调性，属于中档题12函数 y= ，x（ ，0） （0，）的图象可能是下列图象中的( )A B C D【考点】函数的图象 【专题】数形结合【
13、分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可【解答】解： 是偶函数，排除 A，当 x=2 时， ，排除 C，当 时， ，排除 B、C ，故选 D【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的奇偶性及特殊点来判断二、填空题：共 20 分.13已知函数 f（x）= 则 ff（ ） = 【考点】函数的值 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由函数 f（x）= ，知 f（ ）=ln =1，由此能求出 ff（ ）的值【解答】解：函数 f（x）= ，f（ ）=ln =1，ff（ ） =f（ 1）=e 1= 故答案为： 【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解
14、答14函数 y=a1x（a 0，a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny1=0（mn0）上，则 的最小值为 4【考点】基本不等式；指数函数的图像与性质 【专题】计算题；压轴题；转化思想【分析】最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键函数y=a1x（a 0，a1）的图象恒过定点 A，知 A（1，1） ，点 A 在直线 mx+ny1=0 上，得m+n=1 又 mn0，m0，n0，下用 1 的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值【解答】解：由已知定点 A 坐标为（1，1） ，由点 A 在直线 mx+ny1=0 上，m+n=1，又 mn0，m0，n0， =
15、（ ） （m+n）= =2+ + 2+2 =4，当且仅当两数相等时取等号故答案为 4 【点评】均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛在应用过程中，学生常忽视“ 等号成立条件” ，特别是对“ 一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值15同学们经过市场调查，得出了某种商品在 2014 年的价格 y（单位：元）与时间 t（单位：月的函数关系为：y=2+ （1t 12） ，则 10 月份该商品价格上涨的速度是 3 元/ 月【考点】根据实际问
16、题选择函数类型 【专题】计算题；导数的综合应用【分析】根据导数的几何意义，求出函数的导数即可得到结论【解答】解：y=2+ （1t 12） ，函数的导数 y=（2+ ）= （ ） = ，由导数的几何意义可知 10 月份该商品价格上涨的速度为 =3，故答案为：3【点评】本题主要考查导数的计算，求出函数的导数是解决本题的关键16已知函数 f（x）= ，且关于 x 的方程 f（x）+x a=0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是（1，+） 【考点】函数的零点 【分析】由 f（x）+x a=0 得 f（x）= x+a，作出函数 f（x）和 y=x+a 的图象，由数形结合即可得到结论【解答】解：由
17、 f（x）+x a=0 得 f（x）= x+a，f（ x）= ，作出函数 f（x）和 y=x+a 的图象，则由图象可知，要使方程 f（ x）+x a=0 有且只有一个实根，则 a1，故答案为：（1，+）【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个图象的交点个数问题是解决本题的关键利用数形结合的数学思想三、解答题：共 70 分.17已知 ， 是夹角为 60的单位向量，且 ，（1）求 ；（2）求 的夹角 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的性质及其运算律；数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题【分析】 （1）按照向量数量积的定义和运算法则求解即可（2）利用
18、向量数量积公式变形，求出 的夹角余弦值，再求出夹角【解答】解：（1）求 = =6+11cos60+2= （2） = = =同样地求得 = 所以 cos = = = ，又 0 ，所以 = 【点评】本题考查向量数量积的计算、向量夹角、向量的模均属于向量的基础知识和基本运算18已知 a0，设命题 p：函数 y=logax 在 R 上单调递增； 命题 q：不等式 ax2ax+10 对x R 恒成立若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，求 a 的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】简易逻辑【分析】对于命题 p：利用指数函数单调性可得：a1对于命题 q：a=0（舍去） ，或 a0且0由“p q”为假
19、， “pq”为真，可得 p、q 中必有一真一假【解答】解：对于命题 p：函数 y=ax 在 R 上单调递增， a1对于命题 q：不等式 ax2ax+10 对x R 恒成立，a=0（舍去） ，或 a0 且 =a24a0，解得 0a40 a4“pq”为假， “pq”为真，p、 q 中必有一真一假 当 p 真，q 假时， ，得 a4当 p 假，q 真时， ，得 0a 1故 a 的取值范围为（0，1 4，+） 【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19记函数 f（x）= 的定义域为 A，g（x）=lg（xa1
20、） （2a x）（a1）的定义域为 B（1）求 A；（2）若 BA，求实数 a 的取值范围【考点】函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域 【专题】综合题【分析】 （1）令被开方数大于等于零，列出不等式进行求解，最后需要用集合或区间的形式表示出来；（2）先根据真数大于零，求出函数 g（x）的定义域，再由 BA 和 a1 求出 a 的范围【解答】解：（1）由 2 0，得 0，解得，x1 或 x1，即 A=（ ，1）1 ，+） ，（2）由（xa 1） （2ax）0，得（x a1） （x 2a）0，a1，a+1 2aB=（2a，a+1） ，BA， 2a1 或 a+11，即 a
21、 或 a2，a1， a 1 或 a2，故当 BA 时，实数 a 的取值范围是（，2 ，1） 【点评】本题是有关集合和函数的综合题，涉及了集合子集的运算，函数定义域求法的法则，如：被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等20已知向量 =（x，a3） ， =（x，x+a）f（x）= ，且 m，n 是方程 f（x）=0 的两个实根（1）求实数 a 的取值范围；（2）设 g（a）=m 3+n3+a3，求 g（a ）的最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；函数的零点；平面向量数量积的运算 【专题】综合题；导数的概念及应用；平面向量及应用【分析】 （1）利用向
22、量的数量积运算和一元二次方程实数根与的关系即可得出；（2）利用根与系数的关系，g（a）转化为关于 a 的函数，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：（1）由题意知：f（x）= =x2+（a 3）x+a 23a，m、n 是方程 f（x）=0 的两个实根，=（a 3） 24（a 23a）0，1a3（2）由题意知：m+n=3a，mn=a 23a，g（ a）=m 3+n3+a3=（m+n ） （m+n） 23mn+a3=（3a） （3a） 23（a 23a）+a3=3a39a2+27，a 1，3 ，故 g（a ）=9a 218a，令 g（a ）=0，a=0 或 a=2，从而在 1，0） ， （2
23、，3上 g（ a）0，g（a）为增函数，在（0，2）上 g（a）0，g（a）为减函数，a=2 为极小值点， g（2）=15，又 g（ 1）=15g（ a）的最小值为 15【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、一次函数的单调性、一元二次方程的解集与根与系数的关系是解题的关键21f（x）=x a（x+1）ln（x+1） （）求 f（x）的极值点；（）当 a=1 时，若方程 f（ x）=t 在 ，1上有两个实数解，求实数 t 的取值范围；（）证明：当 mn0 时， （1+m ） n（1+n） m【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】导数的综合应用【分析
24、】 （）f（x）=1aln（x+1）a，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数的极值点（）由（）知，f（x）在 ，0 上单调递增，在0， 1上单调递减，由此能求出实数 t 的取值范围（）要证（1+m ） n（1+n） m，只须证： ，设 g（x）=，利用导数性质能证明当 mn0 时， （1+m ） n（1+n） m【解答】 （）解：f（x）=1 aln（x+1）aa=0 时，f （x）0，f（x）在（1，+）上是增函数，函数既无极大值点，也无极小值点当 a0 时， f（x）在（ 1， 上递增，在 ，+）单调递减，函数的极大值点为 1，无极小值点当 a0 时， f（x）在（ 1， 上递减，在
25、，+）单调递增，函数的极小值点为 1，无极大值点（）解：由（）知，f（ x）在 ，0 上单调递增，在0，1上单调递减，又 f（0）=0 ，f（1）=1 ln4，f （ ）= ，f（ 1）f（ ） 0，当 t ，0）时，方程 f（ x）=t 有两解（）证明：要证（1+m ） n（1+n） m，只须证明 nln（1+n）mln （1+n） ，只须证： ，设 g（x）= ，则 = ，由（1）知 x（ 1+x）ln（1+x）在（0，+）单调递减，x（1+x）ln（1+x）0，即 g（x）是减函数，而 mn，g（ m）g（ n） ，当 mn0 时， （1+m ） n（1+n ） m【点评】本题重点考查利
26、用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题重点考查学生的代数推理论证能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用请修改新增的标题22已知函数 f（x）是（，+）上的奇函数，且 f（x）的图象关于 x=1 对称，当 x0，1时，f（x）=2 x1，（1）当 x1，2 时，求 f（x）的解析式；（2）计算 f（0）+f（1）+f（ 2）+ +f 的值【考点】函数解析式的求解及常用方法 【专题】函数的性质及应用【分析】 （1）根据函数的对称性，即可求出当 x1，2时的 f（x）的解析式；（2） （根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到 f（x）是周期函数，根据函数的周期性先计算 f（
27、0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，然后可得 f（0） +f（1）+f（2）+f 的值【解答】解：（1）f（x）的图象关于 x=1 对称，f（ 1+x）=f（1x） ，即 f（x）=f（2x）当 x1，2时，2 x0，1 ，当 x0，1 时，f（x）=2 x1f（ x）=f（2x ）=2 2x1，x 1，2（2）f （x）的图象关于 x=1 对称，f（ 1+x）=f（1x） ，f（ x）是 R 上的奇函数，f（ 1+x）=f（1x）= f（x 1） ，即 f（2+x）=f（x） ，f（ x+4）=f （x+2）=f （x） ，即 f（x）是周期为 4 的周期函数；当 x0，1 时，f（x）=2 x1f（ 0）=0，f（1）=2 1=1，f （2）=f（0）=0，f（3）=f（1）= f（1）=1，f（4）=f（0）=0，f（ 0）+f（1）+f（2）+f（3 ）=0，即 f（0）+f（1）+f（2）+f=5040=0【点评】本题考查的知识点是函数的值，奇函数，函数的周期性，其中根据已知条件求出函数是为 4 的周期函数，是解答本题的关键
