1、1.7 定积分的简单应用教学目标：1、知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功） 。2、过程与方法： 借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分在实际中的应用3、情感、态度与价值观： 通过定积分在几何和物理中的应用，进一步感受极限的思想教学重点：定积分在几何和物理中的应用教学难点：定积分在几何和物理中的应用教学过程：定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例 1计算由两条抛物线 和 2yx
2、所围成的图形的面积.2解： 201yxx及，所以两曲线的交点为（0，0） 、 （1，1） ，面积 S=11200xd，所以 120S=(-)d320x=13例 2计算由直线 4yx，曲线 2yx以及 x 轴所围图形的面积 S.解：作出直线 ，曲线 的草图，所求面积为图阴影部分的面积解方程组 ,4yx得直线 与曲线 2yx的交点的坐标为（8,4) . yxABCDO直线 4yx与 x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为 S=S1+S2 4880442()xdxdx3348822044|()|3xx.例 3.求曲线 与直线 轴所围成的图形面积。 ,sin0y ,320x答案： 2332
3、0oxdS|cssin （二）定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分，即 ()basvtd例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图 1.7 一 3 所示求汽车在这 1 min 行驶的路程解：由速度一时间曲线可知：,01,()4.59,60.tvtt因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：04060143(1.)stdttdt2200403|9|35(m答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .（2） 变力作功一物体在恒力 F（单位：N）的作用下做直线运动，
4、如果物体沿着与 F 相同的方向移（单位：m)，则力 F 所作的功为 W=Fs .探究如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从 x =a 移动到 x=b (ab) ，那么如何计算变力 F(x）所作的功 W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题可以得到 ()baWFxd 例 5如图 17 一 4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 lm 处，求克服弹力所作的功解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常
5、数 k 是比例系数由变力作功公式，得到 22001|()llWxdkJ答：克服弹力所作的功为 2klJ.练习：1、求直线 与抛物线 所围成的图形面积。32xy2xy答案： 323121 |)dS 2、求由抛物线 及其在点 M（0，3）和 N（3，0）处的两条切线所围成4xy的图形的面积。略解： ，切线方程分别为 、 ，则所求图形的面积为2y/4xy62xy493462343420 3 ddxxS )()()()( 3、如果 1N 能拉长弹簧 1cm，为了将弹簧拉长 6cm，需做功（ A ）A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J略解：设 ，则由题可得 ，所以做功就是求定积
6、分kxF01.k 18060.xd总结：1、定积分的几何意义是： 、 轴所围axfyba )(, xb 成的图形的面积的代数和，即 . xxaSdf)(2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：（1） 型区域：由一条曲线 与直线 以及 轴x 0)()(xffy )(,baxx所围成的曲边梯形的面积： （如图（1） ） ；badS 由一条曲线 与直线 以及 轴所围成的曲边梯0)()(xf
7、fy )(,baxx形的面积： （如图（2） ） ；babaddS 由两条曲线 与直线 )()()( xgfxgyf)(,bax所围成的曲边梯形的面积： （如图（3） ） ；badS|图（1） 图（2） 图（3）（2） 型区域：由一条曲线 与直线 以及 轴所围y 0xfy)( )(,bayy成的曲边梯形的面积,可由 得 ，然后利用 求出（如图（4） ） ；yhbadhS 由一条曲线 与直线 以及 轴所围成的曲边梯形的 0xfy)( )(,byay面积，可由 先求出 ，然后利用 求出（如图)(yhbaadhdS)( （5） ） ； y )(xf)(xgyabxy )(xfya bxy )(xfa
8、 b x由两条曲线 与直线 所围成的曲边梯形的面积，可)()(xgyf )(,bay由 先分别求出 ， ，然后利用)(yxf )(h1x2求出（如图（6） ） ；badhS|21 y )(xf)(xgyabxy)(xfyabxy )(xfyabx图（4） 图（5） 图（6）四：课堂小结1、利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。2、定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。五、作业：
