1、 合情推理与演绎推理1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性(2013高考陕西卷) 观察下列等式：121，122 23，122 23 26，122 23 24 210，照此规律，第 n 个等式可为_解析 左边为平方项的( 1) n1 倍的和，右边为(123n)的(1) n1 倍，用数
2、学归纳法证明成立答案 1 22 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 nn 12一直线与ABC 的边 AB，AC 分别相交于 E，F，则 .将平面S AEFS ABC AEAFABAC上的三角形与空间中的三棱锥进行类比，试推理三棱锥的性质，并给出证明解 在三棱锥 SABC 中，平面 与侧棱 SA，SB，SC 分别相交于 D，E，F.则 .VSDEFVSABC SDSESFSASBSC证明如下：设BSC，SA 和平面 SBC 所成的角为 .则 VSDEF SDsin SSEF SDsin SESFsin SDSESFsin sin ，13 16 16同理，V SABC SASBSCsin
3、 sin ，16 .VSDEFVSABC SDSESFSASBSC直接证明的常用方法综合法和分析法是直接证明的两种基本方法综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法综合法可以形象地称为“顺推证法”或“由因导果法” 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) 为止的证明方法分析法可以形象地称为 “逆推证法”或“执果索因法” 在ABC 中，已知(a 2 b2)sin(AB)(a 2b 2)sin(AB)，求证ABC 为等腰三角形或直角
4、三角形证明 法一：由条件可得a2sin(AB) sin(AB) b 2sin(AB)sin(AB)0，即 a2cos Asin Bb 2sin Acos B.由正弦定理可得 sin2Acos Asin Bsin 2Bsin Acos B.sin Asin B0，sin 2Asin 2B，2A2B 或 2A2B，AB 或 A B .2ABC 为等腰三角形或直角三角形法二：由条件可得a2sin(AB) sin(AB) b 2sin(AB)sin(AB)0，即 a2cos Asin Bb 2sin Acos B.由余弦定理和正弦定理得a2 bb 2a ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac
5、整理得 a4a 2c2b 2c2b 40，(a 2b 2)(a2 b2c 2)0，ab 或 a2b 2c 2，ABC 为等腰三角形或直角三角形间接证明的常用方法间接证明有两种常用方法：反证法和逆否证法逆否证法的逻辑原理是一个命题与其逆否命题同真假；反证法的逻辑原理是命题与其非命题( 即命题的否定) 一真一假在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多” “至少”等字样的命题时，正面证明往往较难，此时可考虑反证法，即“正难则反” 已知 abc 0，abc0，abbcca0，求证：a，b，c 都大于 0.证明 假设 a0 不成立，则 a0.分两种情况证明当 a0 时，abc0，bc0.又 abc0
6、，bc a0，a(bc)0，从而 abbcca a(bc )bc0，与已知矛盾当 a0 时，abc0，与 abc0 矛盾，由以上分析可知假设不成立，因此 a0.同理可得，b0，c0.数学归纳法的应用数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步证明“当 nk1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设” ，否则就是错误的(2014盐城高二检测) 设关于正整数 n 的函数 f(n)12 223 2n(n1) 2.(1)求 f(1)，f
7、(2)，f(3) (2)是否存在常数 a，b，c 使得 f(n) (an2bnc)对一切自然数 n 都成立？并证nn 112明你的结论解 (1)f(1)4，f(2) 22，f (3)70.(2)假设存在 a，b，c 使题设的等式成立，这时令 n1,2,3 得Error!解得 a3，b11，c10.于是，对 n1,2,3 下面等式成立：12223 2n( n1) 2 (3n211n10) nn 112记 Sn12 223 2n( n1) 2.假设 nk 时上式成立，即 Sk (3k211k 10)，kk 112那么 Sk 1S k (k1)(k2) 2 (3k211k10)(k1)(k2) 2kk 112 (k2)(3 k5)( k1)(k2) 2kk 112 (3k25k 12k24)k 1k 212 3(k1) 211(k1)10 ，k 1k 212也就是说，等式对 nk1 也成立，综上所述，当 a3，b11，c10 时，题设的等式对一切自然数 n 都成立
