1、2.3.1 双曲线及其标准方程课时演练促提升A 组1.已知方程=1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( )A.-40C.k0 D.k4 或 k0,解得- 40,所以 4-m20,即方程表示焦点在 x 轴上的双曲线,从而 a2=m2+12,b2=4-m2,因此 c=4,故焦距 2c=8.答案:C3.若点 M 在双曲线=1 上,双曲线的焦点为 F1,F2,且|MF 1|=3|MF2|,则|MF 2|等于( )A.2 B.4C.8 D.12解析:双曲线中 a2=16,a=4,2a=8,由双曲线定义知|MF 1|-|MF2|=8,又|MF 1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得
2、|MF 2|=4.答案:B4.已知双曲线 C:=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在直线 y=x 上,则双曲线 C 的方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:若点 P(2,1)在直线 y=x 上 ,则 1=, a=2b. 双曲线的焦距为 10, a2+b2=52.将 代入上式,得 b2=5,从而 a2=20,故双曲线 C 的方程为=1.答案:A5.已知动圆 M 过定点 B(-4,0),且和定圆( x-4)2+y2=16 相切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )A.=1(x0)B.=1(x0,r20),则 r1r2=32,|r1-r2|=2a=6.在F 1PF2 中,由余弦定理 ,得
3、cos =0.故 =90.答案:908.对于曲线 C:=1,给出下面四个命题: 曲线 C 不可能表示椭圆; 当 14; 若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 14,此时方程表示双曲线,故 正确.所以应填 .答案: 9.设双曲线与椭圆=1 有共同的焦点 ,且与椭圆相交,在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4,求此双曲线的方程.解:由椭圆方程=1,得椭圆的两个焦点为 F1(0,-3),F2(0,3).因为椭圆与双曲线在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4,所以这个交点为 A(,4).方法一:设双曲线方程为=1(a0,b0),由题意得解得故所求双曲线方程为=1.方法二: 2a=|AF1|-|AF2
4、|=|=4, a=2.又 c=3, b2=c2-a2=5. 双曲线的焦点在 y 轴上, 双曲线的方程为=1.10.设 P 为双曲线=1 上一点,F 1,F2 是该双曲线的两个焦点,若F 1PF2=60,求PF 1F2 的面积.解:由方程=1,得 a=4,b=3,故 c=5,所以|F 1F2|=2c=10.又由双曲线的定义,得|PF 1|-|PF2|=8,两边平方,得|PF 1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=64.在PF 1F2 中,由余弦定理 ,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60,即|PF 1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=100.
5、 - ,得|PF 1|PF2|=36,所以|PF 1|PF2|sin 60=36=9.B 组1.已知点 P(x,y)的坐标满足= 4,则动点 P 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对解析:依题意,动点 P 到两定点(1,1) 和(-3,- 3)的距离之差的绝对值等于 4,且两定点间距离为4,40,b0).由=0,得 PF1 PF2.根据勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF 1|2+|PF2|2=20,又根据双曲线定义,得|PF 1|-|PF2|=2a,两边平方代入|PF 1|PF2|=2,得20-22=4a2,解得 a2=4,从而 b2=5-4=1
6、,所以双曲线方程为-y 2=1.答案:-y 2=14.已知双曲线过点(3,-2) 且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦点 .(1)求双曲线的标准方程;(2)若点 M 在双曲线上 ,F1,F2 为左、右焦点,且|MF 1|+|MF2|=6,试判别MF 1F2 的形状.解:(1)椭圆方程可化为=1,焦点在 x 轴上,且 c=,故设双曲线方程为=1,则有解得 a2=3,b2=2,所以双曲线的标准方程为=1.(2)不妨设点 M 在右支上,则有 |MF1|-|MF2|=2,又|MF 1|+|MF2|=6,故解得|MF 1|=4,|MF2|=2.又|F 1F2|=2,因此在MF 1F2 中,边 MF
7、1 最长 ,因为 cosMF 2F1=0,所以MF 2F1 为钝角 ,故MF 1F2 为钝角三角形.5.双曲线=1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在双曲线上.若 PF1PF 2,求点 P 到 x 轴的距离.解:设点 P 为( x0,y0),而 F1(-5,0),F2(5,0),则=( -5-x0,-y0),=(5-x0,-y0). PF1PF 2, =0,即(-5-x 0)(5-x0)+(-y0)(-y0)=0,整理,得=25. P(x0,y0)在双曲线上, =1.联立 ,得,即|y 0|=.因此点 P 到 x 轴的距离为 .6.如图,某农场在 M 处有一堆肥料 ,现要把这堆肥料沿道路 M
8、A 或 MB 送到四边形田地 ABCD中去,已知 MA=60 m,MB=80 m,BC=30 m,AMB=90,能否在田地 ABCD 中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿 MA 送肥料较近,另一侧的点沿 MB 送肥料较近?若能,请指出界线是何曲线,并建立坐标系求出其方程.解:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系.由|MA|= 60,|MB|=80,AMB=90,得|AB|=100.设点 P(x,y)是界线上的点.由题意,得|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,即|PA|-|PB|=|MB|-|MA|=20|AB|.所以由双曲线定义可知,点 P 在以 A,B 为焦点,实轴长为 20 的双曲线的右支上.对应方程为=1(x 10,0y 30).
