1、2.3.3一、选择题1如图，椭圆 C1，C 2 与双曲线 C3，C 4 的离心率分别是 e1，e 2，e 3 与 e4，则e1，e 2，e 3，e 4 的大小关系是( )Ae 20，b0)，依题意 c ，x2a2 y2b2 7方程可化为 1.x2a2 y27 a2由Error! 得，(72a 2)x22a 2x8a 2a 40.设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 x1x 2 . 2a27 2a2 ， ，解得 a22.x1 x22 23 a27 2a2 23故所求双曲线方程为 1，故选 D.x22 y253若 ab0，则 axy b0 和 bx2ay 2ab 所表示的曲线只可能是下
2、图中的( )答案 C解析 方程可化为 yax b 和 1.从 B，D 中的两椭圆看 a，b(0，) ，但x2a y2bB 中直线有 a0 矛盾，应排除；再看 A 中双曲线的 a0，但直线有 a0，b0，也矛盾，应排除； C 中双曲线的 a0，b0，b0)的左、右焦点分别是 F1、F 2，过 F1 作x2a2 y2b2倾斜角为 30的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.6 3 233答案 B解析 在直角MF 1F2 中，F 1F2M90 ，MF 1F2 30，| F1F2|2c，于是 cos30 ， tan30 ，从而有|MF 1
3、| c，|MF 2| c，代入2c|MF1| 32 |MF2|2c 33 433 233|MF1| |MF2| 2a，得 c 2a，故 e ，故选 B.233 ca 35双曲线 1(a0，b0)的两个焦点为 F1、F 2，若 P 为其上一点，且x2a2 y2b2|PF1|2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案 B解析 由双曲线的定义得，|PF1| PF2|PF 2|2a，|PF 1|2| PF2|4a，| PF1|PF 2|F 1F2|，6a2c， 3，故离心率的范围是(1,3，选 B.ca6已知 F1、F 2 是两个定点，点 P 是以
4、 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1PF 2，e 1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有( )A. 4 Be e 41e21 1e2 21 2C. 2 De e 21e21 1e2 21 2答案 C解析 设椭圆长半轴长为 a，双曲线实半轴长为 m，则Error! 2 2 得：2(|PF 1|2|PF 2|2)4a 24m 2，又|PF 1|2| PF2|24c 2 代入上式得 4c22a 22m 2，两边同除以 2c2 得 2 ，故选 C.1e21 1e27(08山东)设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到
5、513椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为( )A. 1 B. 1x242 y232 x2132 y252C. 1 D. 1x232 y242 x2132 y2122答案 A解析 由已知得椭圆中 a13，c5，曲线 C2 为双曲线，由此知道在双曲线中a4，c5，故双曲线中 b3，双曲线方程为 1.x242 y2328已知 ab0，e 1，e 2 分别为圆锥曲线 1 和 1 的离心率，则x2a2 y2b2 x2a2 y2b2lge1lge 2 的值( )A大于 0 且小于 1 B大于 1C小于 0 D等于 0答案 C解析 lge 1lge 2lg lg l
6、g 0，b0)的左、右焦点若x2a2 y2b2在双曲线右支上存在点 P，满足| PF2|F 1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )A3x4y0 B3x 5y0C4x3y0 D5x4y0答案 C解析 如图：由条件|F 2A|2a，| F1F2|2c又知|PF 2| F1F2|，知 A 为 PF1 中点，由 a2b 2c 2，有| PF1|4b 由双曲线定义：|PF1|PF 2|2 a，则 4b2c2a2bca，又有 c2a 2b 2，(2ba) 2a 2b 2，4b 24aba 2a 2b 23b24ab， ，ba 43渐近线方程：y x.故选
7、 C.43二、填空题11设中心在原点的椭圆与双曲线 2x22y 21 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_答案 y 21x22解析 双曲线为 1.x212y212双曲线的焦点为(1,0)和( 1,0)，离心率为 .则椭圆的离心率为 ，又222e ，c1，ca 22a ，b1.椭圆的方程是 y 21.2x2212过双曲线 1(a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于x2a2 y2b2M、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_答案 2解析 由题意得，ac ，b2a即 a2acb 2，a 2ac c 2 a2，c 2ac2a 2
8、0，e 2e20.解得 e2 或 e1(舍去)13双曲线 1 的两个焦点为 F1、F 2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF 2，则点 Px29 y216到 x 轴的距离为 _答案 3.2解析 设|PF 1|m，|PF 2| n(mn)，a3，b4，c5.由双曲线的定义知，mn2a6，又 PF1PF 2.PF 1F2 为直角三角形即 m2n 2(2c )2100.由 mn6，得 m2n 22mn36，2mnm 2n 23664，mn32.设点 P 到 x 轴的距离为 d，SPF 1F2 d|F1F2| |PF1|PF2|，12 12即 d2c mn.d 3.2，12 12 mn2c 3210即
9、点 P 到 x 轴的距离为 3.2.14(2010北京理，13)已知双曲线 1 的离心率为 2，焦点与椭圆 1 的x2a2 y2b2 x225 y29焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_答案 (4,0) y x3解析 双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为(4,0)，又双曲线离心率为 2，即2，c4，故 a2，b2 ，渐近线为 y x x.ca 3 ba 3三、解答题15求以椭圆 1 的长轴端点为焦点，且经过点 P(4 ，3)的双曲线的标准方x225 y29 2程解析 椭圆 1 长轴的顶点为 A1(5,0)，A 2(5,0)，则双曲线的焦点为 F1(5,0)，x225 y29F2(5
10、,0)，由双曲线的定义知，|PF1|PF 2| (4r(2) 5)2 (3 0)2 (4r(2) 5)2 (3 0)2 8，(5r(2) 4)2 (5r(2) 4)2即 2a8，a4，c5，b 2c 2a 29.所以双曲线的方程为 1.x216 y2916直线 l 被双曲线 1 截得弦长为 4，其斜率为 2，求直线 l 在 y 轴上的截距x23 y22解析 设直线 l 的方程为 y2xm，由Error! 得 10x212mx3( m22)0.设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，由韦达定理，得 x1x 2 m，x 1x2 (m22) 65 310又 y12x
11、1m，y 22x 2m，y 1y 22(x 1x 2)，|AB| 2 (x1x 2)2(y 1y 2)25(x 1x 2)25(x 1x 2)24x 1x25 m24 (m22)3625 310|AB| 4， m26(m 22)16.3653m 270，m .210317设 P 点是双曲线 1 上除顶点外的任意一 点， F1，F 2 分别为左、右焦点，x2a2 y2b2c 为半焦距， PF1F2 的内切圆与边 F1F2 切于点 M，求| F1M|F2M|之值解析 如图所示P 是双曲线上任一点 (顶点除外)，由双曲 线定义得|PF 1|PF 2|2a，根据切线定理，可得|F 1M|F 2M|PF
12、 1|PF 2|2a. 又|F 1M| F2M|2c，当 P 在双曲线左支上时，|F 1M|c a，|F 2M|ca.当 P 在双曲线右支上时，|F 1M|c a，|F 2M|ca.故|F 1M|F2M| c2a 2b 2.18已知直线 yax 1 与双曲线 3x2y 21 交于 A、B 两点(1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值，(2)是否存在这样的实数 a，使 A、B 两点关于直线 y x 对称？若存在，请求出 a 的值；12若不存在，请说明理由解析 (1)由Error!消去 y 得，(3a 2)x22ax 20依题意Error!即 a 且 a 6 6 3设 A(x1，y
13、 1)，B(x 2，y 2)，则Error!以 AB 为直径的圆过原点，OAOB .x 1x2y 1y20，但 y1y2a 2x1x2a(x 1x 2)1，由知，x 1x 2 ，x 1x2 .2a3 a2 23 a2(a 21) a 10. 23 a2 2a3 a2解得 a1 且满足.(2)假设存在实数 a，使 A、B 关于 y x 对称，则直线 yax1 与 y x 垂直，12 12a2.直线 l 的方程为 y2x1.将 a2 代入得 x1x 24.AB 中点横坐标为 2，纵坐标为 y2213.但 AB 中点(2 ，3)不在直线 y x 上12即不存在实数 a，使 A、B 关于直线 y x 对称12高.考;试。题库
