1、第 1 页 共 5 页 “哥德巴赫猜想”讲义（第五讲）介绍求证“哥德巴赫猜想”新方法（2）主讲 王若仲这一讲我们继续阐述解决“哥德巴赫猜想”最新的基本思想方法，虽然我们在第 4 讲中 阐明了利用埃拉托斯特尼 顺筛和埃拉托斯特尼逆筛配合筛法的妙处。但是对于很大很大的偶数 2m，这种配合筛法的技术难度还是相当大，怎样克服这个技术难题呢？下面我们主要阐述解决这个技术难题巧妙的基本思想方法。我们以偶数 100 为例来阐述解决这个技术难题巧妙的基本思想方法。对于偶数 100 以内的全体奇数组成的集合 A，那么集合A=1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，3
2、3，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71，73，75，77，79，81，83，85，87，89，91，93，95，97，99，集合 A 中元素的总个数为 50 个。因为区间100，100以内的任一奇合数均能被奇素数3，5，7 中的一个奇素数整除，对于偶数 100，我们只需用奇素数3，5，7 来设定集合就能达到目的了。设集合第 2 页 共 5 页 A1=9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99，集合 A1=（100-9） ， （100-15） ， （100-21） ，
3、（100-27） ，（100-33） ， （100-39） ， （100-45） ， （100-51） ， （100-57） ， （100-63） ，（100-69） ， （100-75） ， （100-81） ， （100-87） ， （100-93） ， （100-99）=91，85，79，73，67，61，55，49，43，37，31，25，19，13，7，1 ，集合 A2=15，55，35，45，55，65，75，85，95，集合A2=（100-15） ， （100-55） ， （100-35） ， （100-45） ， （100-55） ，（100-65） ， （100-75） ，
4、（100-85） ， （100-95）=85，75，65，55，45，35，25，15，5，集合A3=21，35，49，63，77，91，集合 A3=（100-21） ， （100-35） ，（100-49） ， （100-63） ， （100-77） ， （100-91）=79，65，51，37，23，9；则集合 A1和集合 A1中元素的总个数均为 16 个，集合 A2和集合 A2中元素的总个数均为 9 个，集合 A3和集合 A3中元素的总个数均为 6 个。（1）因为偶数 100 含有奇素数因子 5，所以我们只考虑集合 B= A2A 2=5，15，55，35，45，55，65，75，85，9
5、5的情形。又因为偶数 100 不含有奇素数因子 3 和 7，所以集合 A1和 A1无公共元素，集合 A3和 A3无公共元素；则集合 B 中元素的总个数为 10 个。（2）集合 A1B=15，45，75，集合 A1B=25，55，85，集合 A1A 3=21，63，集合 A1A 3=49，91，集合A1A 3=9，51，集合 A1A 3=37，79，集合 A3B=35，集合第 3 页 共 5 页 A3B=65，集合 A1A 3B=，集合 A1A 3B=，集合A1A 3B=，集合 A1A 3B=；则集合 A1B 和集合 A1B中元素的总个数均为 3 个，集合 A1A 3和集合 A1A 3中元素以及
6、集合 A1A 3和集合 A1A 3中元素的总个数均为 2 个，集合 A3B 和集合 A3B 中元素的总个数均为 1 个，集合 A1A 3B 和集合A1A 3B 中元素以及集合 A1A 3B 和集合 A1A 3B 中元素的总个数均为 0 个。（3）有了前面的准备工作，我们下面就开始从集合中元素的数量着手，展开阐述解决这个技术难题巧妙的基本思想方法。（4）因为集合 A 中元素的总个数为 50 个，在集合 A 中筛出集合 A1和 A1中的元素，又因为集合 A1和 A1中元素的总个数均为 16个，从集合中元素的数量着手，则集合 A 通过筛出后剩下元素的总个数为：50-16-16=18（个） 。（5）再
7、在集合 A 中筛出集合 B 中的元素，从集合中元素的数量着手，则集合 A 再通过筛出后剩下元素的总个数为：50-16-16-10+3+3=14（个） 。因为在 50-16-16-10 中集合 A1B=15，45，75中元素的总个数与集合 A1B=25，55，85中元素的总个数均被多减了一次，所以要加上 2 个 3；所以为 50-16-16-10+3+3=14（个） 。（6）再在集合 A 中筛出集合 A3和 A3中的元素，从集合中元素的数量着手，则集合 A 再通过筛出后剩下元素的总个数为：50-16-16-10+3+3-6-6+2+2+2+2+1+1=12（个） 。因为在 50-16-16-10
8、+3+3-6-6第 4 页 共 5 页 中集合 A1A 3=21，63中元素的总个数，集合 A1A 3=49，91中元素的总个数，集合 A1A 3=9，51中元素的总个数，集合A1A 3=37，79中元素的总个数，集合 A3B=35中元素的总个数，集合 A3B=65中元素的总个数，均被多减了一次，所以要加上 4 个 2 和 2 个 1，所以为 50-16-16-10+3+3-6-6+2+2+2+2+1+1=12（个） 。（7）所以从前面这个实例，我们不难得出这样一个结论：利用埃拉托斯特尼顺筛和埃拉托斯特尼逆筛配合筛法的妙处，再转换到集合中元素的数量上来处理，对于很大很大的偶数 2m，肯定容易处
9、理多了，这就是解决技术难题巧妙的基本思想方法。以偶数 100 为例巧算验证如下：50-5032-505+50152-5072+50214+50352-501054=50（1-23）-（505） （1-23）+（507）2（1-23）+50352（1-23）=50（1-23） （1-15）-（507）2（1-23） （1-15）=50（1-23） （1-15） （1-27）=50（13） （45）（57）5077。通过偶数 100 为例验算这个例子，说明通过埃拉托斯特尼顺筛和埃拉托斯特尼逆筛配合筛出后，被筛出的集合中至少还有 7 个奇数未被筛出，就是把 1 和 99 再筛出计算在内，被筛出的集合
10、中至少还有 5 个奇数未被筛出，说明偶数 100 能表为两个奇素数之和。由此可知一般化的情形，任意给定一个比较大的偶数2m（m3），第 5 页 共 5 页 5设奇素数p 1，p 2，p 3，p t均为不大于2m的全体奇素数（p i pj ，ij，i、j=1，2，3，t） ，tN，可得筛法公式Y=m（1-d1p1）（1-d2p2）（1-d3p3）（1-dt-1pt-1）（1-dtpt），其中d i=1或2（i=1，2，3，t）。对于这个筛法公式，我们在后面讲解。参考文献1戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版2闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版3刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版4王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983 年 2 月第 1 版二一四年四月十二日
