1、吉林省实验中学 2015 届高三年级第四次模拟考试本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷【题文】一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分）【题文】1 设全集 U=R，集合 A= ，B= 则集合 =( )21x1xABA B C D 0x1x0【知识点】集合及其运算 A1【答案】B【解析】A=x = ,则 =
2、20x2xAB12x【思路点拨】先求出集合 A 再求结果。【题文】2 已知扇形的半径是 2，面积为 8，则此扇形的圆心角的弧度数是A.4 B.2 C.8 D.1【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1【答案】A【解析】由扇形的面积公式得：S= lR，因为扇形的半径长为 2cm，面积为 8cm212所以扇形的弧长 l=8设扇形的圆心角的弧度数为 ，由扇形的弧长公式得：l=|R，且 R=2所以扇形的圆心角的弧度数是 4【思路点拨】扇形的圆心角的弧度数为 ，半径为 r，弧长为 l，面积为 s，由面积公式和弧长公式可得到关于 l 和 r 的方程，进而得到答案【题文】3.已知 1mnii，其中 ,R，
3、 i为虚数单位，则 ni A. 2 B. 2i C. D.【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案】A【解析】 = = =1-ni， ，解得 m+ni=2+i1mi()i2mi12n21m【思路点拨】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求得 m，n 的值，则答案可求【题文】4.执行如图所示的程序框图，则输出的 b 值等于A. B. 2415C. D. 83a=1,b=1a7？开始结束是否a=a+2输出bb=b-a第 4 题图【知识点】算法与程序框图 L1【答案】C【解析】执行程序框图，有 a=1，b=1 满足条件 a7，有 b=0，a=3满足条件 a7，有 b=-3，a
4、=5 满足条件 a7，有 b=-8，a=8不满足条件 a7 ，输出 b 的值为 -8【思路点拨】执行程序框图，依次写出 b，a 的值，当 a=8 时不满足条件 a7，输出 b 的值为-8【题文】5 等差数列a n中，a 1+a4 +a7 =39，a 2 +a5+a8 =33，则 a6 的值为A.10 B.9 C.8 D.7【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2【答案】B【解析】等差数列a n中，a 1+a4+a7=39，a 2+a5+a8=33，a 3+a6+a9=27，3a 6=27， a6=9，【思路点拨】依题意，利用等差数列的性质，可知 a3+a6+a9=27，再利用等差中项的性
5、质可得答案【题文】6 已知命题 ；命题 :在曲线 上存在斜率为 的切线，:,0xpRqcosyx2则下列判断正确的是A 是假命题 B 是真命题pC 是真命题 D 是真命题()q()p【知识点】命题及其关系 A2【答案】C【解析】根据指数函数的值域知，命题 p 是真命题；根据“在切点处的导数值即为切线斜率” ，设切点为（x 0，cosx 0），过该点的切线斜率为 k；y=-sinx；k=-sinx 0 ，即：不存在 x0R，使-s inx0= ；命题 q 为假命题；22q 为真命题，；p （q ）是真命题。【思路点拨】根据指数函数的值域，函数在切点处的导数等于过该点的切线斜率即可判断出 p 是真
6、命题，q 是假命题，所以 C 正确【题文】7.在三角形 ABC 中，若 ，则 的值是1tanttanBACcosA. B. C. D. 2-22121-【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5【答案】B【解析】tanAtanB=tanA+tanB+1 ，即 tanA+tanB=tanAtanB-1，tan（A+B）= =-1，即 tan（A+B）=-tanC=-1，tanAB1ttanC=1，即 C= ，则 cosC=cos = 442【思路点拨】利用两角和与差的正切函数公式化简 tan（A+B ） ，将已知等式变形后代入求出 tan（A+B）的值，进而确定出 tanC 的值，利用特殊角的
7、三角函数值求出 C 的度数，即可确定出 cosC 的值.【题文】8.已知函数 ，则 的值为1log)(2xxf )21()ffA B C D 2 02log3【知识点】函数的奇偶性 B4【答案】A【解析】由 f(x)-1=1-f(x)为奇函数 ,则 f( )-1+f(- )-1=0,所以 =2.12)21()ff【思路点拨】先判断函数的奇偶性，再求结果。【题文】9.若 是幂函数，且满足 ，则 =fx93f19fA. B. C.2 D. 41214【知识点】幂函数 B8【答案】B【解析】设 f（x）=x ，由 =2，得 =log32，f ( )=( )log32= (9)3af1914【思路点拨
8、】由待定系数法求得幂函数解析式，从而求出 f( )【题文】10.已知两条不重合的直线 和两个不重合的平面 有下列命题：,mn,若 ，则 ； 若 则,mn/n,/mn/;若 是两条异面直线， 则,/;若 则 . 其中正确命题的个数是,nA1 B2 C3 D4【知识点】空间中的平行关系垂直关系 G4 G5【答案】C【解析】若 mn ，m，则 n 可能在平面 内，故错误m，mn ，n，又n ，故正确过直线 m 作平面 交平面 与直线 c，m、n 是两条异面直线， 设 nc=O，m ，m ，=cmc，m，c，c，n ，c，nc=O，c，n；故正确由面面垂直的性质定理：，=m，n，n m，n故正确故正确
9、命题有三个，【思路点拨】直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此命题中 n 可能在平面 内，故错误；利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断正确；利用线面垂直的判定定理，先证明平面 内有两条相交直线与平面 平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，正确；若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断正确【题文】11 已知 ，实数 a、b、c 满足 0，且xxfx3log1fabfc0abc，若实数 是函数 的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是 0fA a B b C c D c x 0x0x【知识点】函数与方程 B9【答案】D【解析】因
10、为 f（x）= （ ） x-log3x，在定义域上是减函数，1所以 0ab c 时，f（a ） f（b）f（c）又因为 f（a）f（b ）f（c）0，所以一种情况是 f（a），f（ b），f （c）都为负值，另一种情况是 f（a）0，f（b）0，f （c）0 在同一坐标系内画函数 y=（ ） x 与 y=log3x 的图象如下，1对于要求 a，b ，c 都大于 x0，对于要求 a，b 都小于 x0 是，c 大于 x0两种情况综合可得 x0c 不可能成立【思路点拨】有 f（a）f（b ）f （c）0 可得f（a） ，f（b） ，f（c）都为负值；（a）0，f （b）0，f（c）0，对这两种情况利
11、用图象分别研究可得结论【题文】12.若 xfln)(,3，则下列各结论中正确的是 A B()2abfa()()(2abfffC )(ffbD b 【知识点】导数的应用 B12【答案】D【解析】f（x）= ，f（x）= ，令 f（x）=0，解得 x=e，ln21ln当 xe 时，f （x）0，为减函数，当 0xe 时，f（x ）0，为增函数，ba3e，abb a e，bf（a）f（ ）f（ ）f （b ）f （ab），a2【思路点拨】对 f（x）= 进行求导，求出其单调区间，再根据均值不等式判断 ，ab ，a，lnx b的大小，从而判断其函数值的大小；2b第卷（非选择题）【题文】二填空题：本大题
12、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。【题文】13.已知 为第二象限角， ，则 =_；3sincocos2【知识点】二倍角公式 C6【答案】- 53【解析】由 得 sin =- ，因为 为第二象限角，所以 cos 03sinco22=-co253【思路点拨】先根据已知求出 sin 再根据范围求出结果。2【题文】14 已知向量 与 的夹角为 120，且 ，那么 的值为_.ab4ab(2)ab【知识点】平面向量的数量积及应用 F3【答案】0【解析】由题意知 =2 + 2=244cos120+42=0(2)【思路点拨】由向量数量积公式进行计算即可【题文】15.已知实数 满足约束条件 若 恒成立
13、，则实数 的取值范围为 .yx,.02,yxmxm【知识点】简单的线性规划问题 E5【答案】-1m2【解析】由题意作出其平面区域，y-mx=2 恒过点（0 ，2 ） ，且 m 是 y-mx=2 斜率，则由上图可知，若使 y-mx2 恒成立，则-1m2，【思路点拨】由题意作出其平面区域，y-mx=2 恒过点（0，2） ，且 m 是 y-mx=2 斜率，由图可知斜率 m的取值范围【题文】16.已知关于 的方程 有两个不同的实根 ，且 ，则实数 = .x|210|xa12x、 1xa【知识点】函数与方程 B9【答案】6【解析】关于 x 的方程|2 x-10|=a 有两个不同的实根 x1、 x2，且
14、x2=2x1，2 x2-10=a，10-2 x1=a，2 x2=22x1=10+a，2 x1=10-a，10+a=（10-a） 2，求得 a=6，【思路点拨】由题意可得 2x2-10=a，10-2 x1=a，即 2x2=22x1=10+a，2 x1=10-a，可得 10+a=（10-a） 2，由此求得 a 的值【题文】三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。【题文】17（本小题满分 12 分）在锐角 中，内角 所对的边分别为 .ABC, cb,已知 )4sin()si(2inB（）求角 的大小；（）若 ，求 的面积的最大值 .1b【知识点】解三角形
15、C8【答案】 （） （）6234【解析】 （）由条件得 sinB=2（ cosB+ sinB）（ cosB- sinB），22即 sinB=cos2B-sin2B，由 sin2B+cos2B=1 得，2sin 2B+sinB-1=0，解得 sinB= 或 sinB=-11因为ABC 是锐角三角形，所以 B= 6（）由余弦定理：b 2=a2+c2-2accosB，把 b=1，B= 代入可以得到：61=a2+c2- ac(2- )ac，所以 ac2+ 所以 S ABC= acsinB= ac3312423当且仅当 a=c 时取等号，此时 ABC 的面积的最大值是 3【思路点拨】 （）利用两角和与差
16、的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角 B 的值；（）利用余弦定理得：b 2=a2+c2-2accosB，把数据代入利用不等式求出 ac 的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值【题文】18.（本小题满分 12 分）某市统计局就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1 000,1500） ） （I）求居民收入在 3 000,3 500）的频率；（II）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（III）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10 000 人按分层抽样
17、方法抽出 100 人作进一步分析，则月收入在2 500,3 000）的这段应抽取多人？【知识点】用样本估计总体 I2【答案】 （）0.15（）2400（III）25【解析】 （） 0.350.1（） ， ， .2.450.250.2设中位数为 x,则 ，解得： 1(2)x4x中位数为 2400 元（III） Z#X#X#K0.05.110.250【思路点拨】根据频率分布直方图求出频率，然后根据比例关系求出人数。【题文】19（本小题满分 12 分）如图，底面是正三角形的直三棱柱 中，D 是 BC 的中点， .1ABC12AB（）求证： 平面 ； 1/AC1（）求点 A1 到平面 的距离.D学科C
18、BAD1B1A1C【知识点】空间中的平行关系垂直关系 G4 G5【答案】 （）略（） 25h【解析】 （）连接 交 于 O，连接 OD，在 中，O 为 中点，D 为 BC 中点 1AB1 1BAC1 1/ODAC1,ODCD面 面 /D平 面（）由可知 点 到平面 的距离等于点 C 到平面 的距 为1/平 面 11 1AB1BRt152ADBS32ADCABS设点 C 到面 的距离为 h 即 解得 111ABADCV5132h25h【思路点拨】利用线线平行证明线面平行，根据等体积法求出高。【题文】20（本小题满分 12 分）已知圆 M 过 C(1，1)，D( 1,1)两点，且圆心 M 在 xy
19、20 上()求圆 M 的方程；()设 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA，PB 是圆 M 的两条切线，A，B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系 H4【答案】 （1）（x-1 ） 2+（y-1） 2=4（2）2 5【解析】 （1）设圆 M 的方程为：（x-a） 2+（y-b） 2=r2（r0），根据题意得 ，解得：a=b=1，r=2，22()(1)0abr故所求圆 M 的方程为：（x-1 ） 2+（y-1） 2=4；（2）由题知，四边形 PAMB 的面积为 S=SPAM +SPBM = （|AM|PA|+|BM|PB|）12又|AM|=|BM|=
20、2，|PA|=|PB|，所以 S=2|PA|，而|PA| 2=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4，即 S=2 因此要求 S 的最小值，只需求|PM| 的最小值即可，即在直线 3x+4y+8=0 上找一点24PP，使得|PM|的值最小，所以 |PM|min=3，所以四边形 PAMB 面积的最小值为 2 =2 24PM5【思路点拨】 （1）设出圆的标准方程，利用圆 M 过两点 C（1，-1）、D （-1 ，1）且圆心 M 在直线 x+y-2=0 上，建立方程组，即可求圆 M 的方程；（2）四边形 PAMB 的面积为 S=2 ，因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在24P直线
21、3x+4y+8=0 上找一点 P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论【题文】21（本小题满分 12 分）已知函数 ()ln()fxmxR（I）若曲线 过点 P(1,1)，求曲线 在点 P 处的切线方程；y ()yfx（）若 对 恒成立,求实数 m 的取值范围;()0f()（III）求函数 在区间1，e 上的最大值.()fx【知识点】导数的应用 B12【答案】 （1） （2） （3 ）当 m 时，f（x） max=f（e）=1-me，y11e当 m1 时，f (x)max=f( )=-lnm-1 当 m1 时，f（x） max=f（1）=-me【解析】 （1） 过点 ，
22、,Pl()lnfx()fx()0f过点 的切线方程为 ,P1y（2 ） 恒成立，即 恒成立，()0fxlnxmlnx又 定义域为 ， 恒成立设(,)()g当 x=e 时，21ln()gx()0ge当 时， 为单调增函数0e()0,gx当 时， 为单调减函数x当 时， 恒成立ma1()()geme()0fx（3 ） fxx当 时， 在 为单增函数0()0f()f,)在 上， 1,xemax1e当 时，即 时时， ， 为单增函数(0,)x()0fx()f时， ， 为单减函数1mx上 ,xemax1()()lnff当 时， 在 为单减函数10,)上，,xemax()(1)ff当 0 m ，即 e 时
23、，f （x）在( 0， )为单增函数，1mx1，e时，f（x） max=f（ e）=1-me；综上所述，当 m 时，f（x） max=f（e）=1-me，1e当 m1 时，f (x)max=f( )=-lnm-1e当 m1 时，f （x） max=f（1）=-m【思路点拨】 （1）由 f（x）过点 P（1 ，-1）可得-1=ln1-m，从而解出 m=1，进而求曲线 y=f（x）在点 P的切线方程；（2）原式可化为 lnx-mx0 恒成立，结合 x0 可化为 m 恒成立，从而化为求 g(x)= 的最大值，lnxln利用导数求最值；（3）由 f(x)= -m= 讨论，m 的取值，以确定函数函数 f
24、（x）在区间1 ，e上的单调性，从而求函1x数在区间1，e上的最大值【题文】请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【题文】22（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图, 已知四边形 内接于圆 O,且 是圆 O 的直径, 以点 为切点的圆 O 的切线与 的延长线交ABCDABDBA于点 .M（I）若 ， ，求 的长；612（II）若 ，求 的大小.【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1【答案】() 9（）120【解析】() 因为 MD 为 的切线,由切割线定理知,OAMD2=MA MB，又 MD=6，MB=12，MB=MA+AB ,
25、 所以 MA=3，AB=123=9. （）因为 AM=AD，所以AMD=ADM,连接 DB，又 MD 为圆 O 的切线,由弦切角定理知, ADM=ABD， 又因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ADB 为直角，即BAD=90- ABD. 又 BAD=AMD+ ADM=2 ABD,于是 90-ABD=2 ABD, 所以ABD=30,所以BAD=60. 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以BAD+DCB=180,所以DCB=120【思路点拨】由切割线定理求出 AB, 圆内接四边形性质求出角度。【题文】23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系和参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为
26、 （ 为参数）.xoyltyx253在极坐标系（与直角坐标系 取相同的单位长度，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的xyOxC方程为 .25sin（I）求圆 的直角坐标方程；C（II）设圆 与直线 交于点 ，若点 的坐标为 ，求 .lBA,P(3,5）|+|PAB【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3【答案】 （） （）5)(22yx 23| BAtP【解析】 （） - cosxy5)(22yx（） , 5)25()23( 2tt 043tt， AtBt 2|BAtP【思路点拨】由极坐标方程转化为普通方程求出结果。【题文】24（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函
27、数 ()|21|fxx（I）求不等式 的解集；3（II）若关于 的不等式 在 上无解，求实数 的取值范围x2()fxt0,1t【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4【答案】 （1）（-，- 6，+）（2）（- ， ）（ ，+）43352352【解析】 （1）f （x）= ，1,3,2x原不等式转化为 或 或 ，123x123xx解得：x6 或-2x- 或 x -2，原不等式的解集为：（ -，- 6 ，+）；4 43（2）只要 f（x） maxt 2-3t，由（1）知，当 x0，1 时，f （x） max=-1，t 2-3t-1 ，解得：t 或 t 352实数 t 的取值范围为（-， ）（ ，+）35【思路点拨】 （1）通过对 x 范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得 f（x）= ，再解13,2,x不等式 f（x）3 即可求得其解集；（2）当 x0，1 时，易求 f（x） max=-1，从而解不等式 t2-3t-1 即可求得实数 t 的取值范围
