1、教学设计12.2 组合整 体 设 计教材分析 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按
2、以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程据笔者观察，有些同学之所以在学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常
3、规的做法) 要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高课时分配 3 课时第一课时教学目标 知识与技能理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题过程与方法通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数 A 与组合数 C 之间的联系，掌握mn mn组合数公式，能运用组合数公式进行计算情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力重点难点 教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和
4、组合数公式教 学 过 程Error!提出问题 1：回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列的概念和排列数公式活动设计：教师提问活动成果：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法， ，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法那么完成这件事共有 Nm 1m 2m n 种不同的方法2分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法， ，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有 Nm 1m2mn 种不同的方法3排列的概念：从
5、n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列4排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A 表示mn5排列数公式：A n(n 1)(n2)(nm1)(m，nN ，mn)mn6阶乘：n！表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘规定 0！1.7排列数的另一个计算公式：A .mnn！(n m)！设计意图：检查学生的掌握情况，为新知识的学习奠定基础提出问题 2：分析下列两个问题是不是排列问题，为什么？问题
6、(1)：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题(2)：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？活动设计：学生自己分析，教师提问活动成果：问题(1)中不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序 “排列” ，而问题(2)只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的，不是排列我们把这样的问题称为组合问题设计意图：引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念Error!提出问题 1：结合上述问题(2)，试总结组合和组合数的概念活动设计：学生小组讨论，
7、总结概念活动成果：1组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合2组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号 C 表示mn设计意图：培养学生的类比和概括能力Error!提出问题 1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有
8、多少种不同的选法？(4)10 个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10 个人互通电话一次，共打了多少个电话？活动设计：小组交流，共同分析活动成果：(1)(3)(4) 是排列；(2)(5)是组合设计意图：通过具体实例比较排列和组合，加深对组合的理解提出问题 2：试找出排列和组合的区别和联系活动设计：小组交流，教师提问，学生补充活动成果：1区别：(1)排列有顺序，组合无顺序(2)相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同2联系：(1)都是从 n 个不同的元素中选出 m(mn)个元素；(2)排列可以看成先组合再全排列设计意图：加深对排列组合的理解，为推导组
9、合数公式奠定基础提出问题 2：你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从 4 个不同元素a，b，c，d 中取出 3 个元素的组合数 C 是多少吗？34活动设计：小组交流，共同推导活动成果：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A 可以求得，34故我们可以考察一下 C 和 A 的关系，如下：34 34组合 排列abcabc，bac，cab，acb ，bca ，cbaabdabd，bad，dab ，adb ，bda，dbaacdacd，cad，dac，adc ，cda ，dcabcdbcd，cbd，dbc ，bdc ，cdb，dcb由此可知，每一个组合都对
10、应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3个元素的排列数 A ，可以分如下两步： 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，34共有 C 个；对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有 A 种方法由分步乘法34 3计数原理得：A C A ，所以， C .34 34 3 34A34A3设计意图：从具体实例出发，探索组合数的求法提出问题 3：你能想出求 C 的方法吗？mn活动设计：小组交流，共同推导活动成果：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C ，可以分如下两步：mn先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 A ；mn求每一个组合中 m 个
11、元素的全排列数 A ，根据分步乘法计数原理得：A C Am mn mn.m得到组合数的公式：C mnAmnAm n(n 1)(n 2)(n m 1)m！或 C (n，m N，且 mn)mnn！m！ (n m)！规定：C 1.0n设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式Error!类型一：组合数公式的应用1 计算：(1)C ； (2)C .47 710解：(1)C 35；4776544！(2)解法 1：C 120.710109876547！解法 2：C 120.71010！7！ 3！ 10983！【巩固练习】求证：C C .mnm 1n m m 1n证明：C ，mnn！m！ (
12、n m)！C m 1n m m 1n m 1n m n！(m 1)！ (n m 1)！ m 1(m 1)！ n！(n m)(n m 1)！，n！m！ (n m)！C C .mnm 1n m m 1n【变练演编】设 xN*，求 C C 的值x 12 3 2x 3 1解：由题意可得：Error!解得 2x4，xN*， x2 或 x3 或 x4.当 x2 时原式的值为 4；当 x3 时原式的值为 7；当 x4 时原式的值为 11.所求的值为 4 或 7 或 11.类型二：简单的组合问题例 2 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场
13、队员是 11 人问：(1)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？思路分析：对于(1)，根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题；对于(2) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为 C 12 117376.(2)教练员可以分两步完成这件事情：第 1 步，从 17 名学员中选出 11 人组成上场小组，共有
14、C 种选法；117第 2 步，从选出的 11 人中选出 1 名守门员，共有 C 种选法1所以教练员做这件事情的方式种数为C C 136 136.117 1【巩固练习】(1)平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即线段条数为C 45.21010912(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内 10 个点中每 2个点为端点的有向线段的条数，就是从 10 个不同元
15、素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段条数为A 10990.210【变练演编】(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸 n(n3)边形有多少条对角线？解答：(1)凸五边形的五个顶点中，任意两个顶点的连线是凸五边形的一条对角线或是一条边，所以，凸五边形的对角线条数为 C 55.25(2)凸 n 边形的 n 个顶点中，任意两个顶点的连线是凸 n 边形的一条对角线或是一条边，所以，凸 n 边形的对角线条数为 C n .2nn(n 3)2【达标检测】1判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：(1)从 4 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？(2)从 4 个风景点中选出 2 个，并确
16、定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？27 名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为( )A42 B21 C7 D63如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有( )A15 对 B25 对 C30 对 D20 对答案：1.(1)是组合问题 (2) 是排列问题 2.B 3.AError!1知识收获：组合概念、组合数公式2方法收获：化归3思维收获：分类讨论、化归思想Error!【基础练习】1A，B，C ， D，E 5 个足球队进行单循环比赛，(1) 共需比赛多少场？(2) 若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？2空间有 1
17、0 个点，其中任何 4 点不共面，(1)过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？(2)以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？3壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？4写出从 a，b，c ，d，e 这 5 个元素中每次取出 4 个的所有不同的组合答案：1.(1)10 (2)20 2.(1)C 120 (2)C 210 3.C C C C 2 4115.310 410 14 24 34 44a，b，c，d a ，b，c，e a，b，d，e a，c，d，e b，c，d，e.【拓展练习】5第 19 届世界杯足球赛于 2010 年夏季在南非举办，共 32
18、支球队有幸参加，他们先分成 8 个小组进行循环赛，决出 16 强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16强)，这 16 支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有 C 6 场，8 个小组共有 48 场；24(2)八分之一淘汰赛：8 个小组的第一、二名组成 16 强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出 8 强，共有 8 场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8 强中每两个队比赛一次，可以决出 4 强，共有4 场；(4)半决赛：根据赛制规则，4 强每两个队比赛一场，可
19、以决出 2 强，共有 2 场；(5)决赛：2 强比赛 1 场确定冠亚军，4 强中的另两支队比赛 1 场决出第三、四名，共有 2 场综上，共有 8C 842 264 场比赛24设 计 说 明本节课是组合的第一课时，主要目标是学习组合的概念，探究组合数公式，并利用组合数公式解决简单的计数问题主要特点是：类比排列数公式的推导方法，抓住排列和组合的区别和联系，利用排列数公式推导出组合数公式本节课的设计充分体现教师所提问题的主导作用和学生根据问题自主探究的主体地位，学生在与教师和与同学的思维碰撞中自主学习、自主探究备 课 资 料在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是
20、排列，无顺序的是组合有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是 8 个小球的全排列，所以共有 A 种方法8错因分析：误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的，5 个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法正解：8 个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这 3 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题这样共有：C 56 种排法38(设计者：殷贺)第二课时教学目标 知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合
21、问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力重点难点 教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题教 学 过 程Error!提出问题 1：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系(1)从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部书记活动设计：教师提问活动成果：(1)是组合问题，(2)是排
22、列问题1组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合2组合与排列的区别和联系：(1)区别：排列有顺序，组合无顺序相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同(2)联系：都是从 n 个不同的元素中选出 m(mn)个元素；排列可以看成先组合再全排列设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况提出问题 2：利用上节课所学组合数公式，完成下列两个练习：练习 1：求证：C C .(本式也可变形为：mC nC )mnnmm 1n mn m 1n练习 2：计算：C 和 C ；C C 与 C ；C
23、 C .310 710 37 26 36 411 511活动设计：学生板演活动成果：练习 2 答案：120,120 20,20 792.1组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号 C 表示mn2组合数的公式：C mnAmnAm n(n 1)(n 2)(n m 1)m！或 C (n，m N，且 mn)mnn！m！ (n m)！设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础Error!提出问题 1：由问题 2 练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充活动成果：1性质：(1)C C ；(2)C C C .mn n mn mn 1 mn m 1n2证明：(1)C ，n mnn！(n m)！ n (n m)！ n！m！ (n m)！又 C ， C C .mnn！m！ (n m)！ mn n mn(2)C C mn m 1nn！m！ (n m)！ n！(m 1)！ n (m 1)！ n！ (n m 1) n！ mm！ (n m 1)！ C ，(n m 1 m)n！m！ (n m 1)！ (n 1)！m！ (n m 1)！ mn 1C C C .mn 1 mn m 1n设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质Error!
