1、三垂线定理及逆定理,教师:刘中宁,一、复习引入： 1、什么叫平面的斜线、垂线,什么叫射影？,PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面的垂线, A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,三垂线定理,A,二、新课学习:,P,a,A,o,三垂线定理,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,P,a,A,o,证明：,线面垂直定义,判定定理,线面垂直定义,三垂线定理,三垂线定理：,P,a,A,o,提问: 若将条件 aAO与结论中a PO交换位置是否还成立？,线射垂直,线斜垂直,三垂线定理,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条 垂直
2、。,射影,斜线,在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线的 垂直。,P,a,A,o,斜线,射影,三垂线定理,证明:,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线逆定理：,线斜垂直,线射垂直,P,a,A,o,三垂线定理,(1)、三垂线定理及逆定理描述的是PA(垂线)与(平面 )、 AO(射影)与a (直线) 、 PO(斜线)与 a(直线)之间的垂直关系;,(2)、a与PO可以相交，也可以异面;,(3)、三垂线定理实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线 垂直的判定定理;逆定理是平面内一条直线和斜线的射影的垂 直的判定定理.,三
3、垂线定理,使用三垂线定理及逆定理还应注意的问题,P,A,O,a,d,c,b,三、例题分析：,例 1、判定下列命题是否正确?,(1)若b是平面的斜线、直线a垂直于b在平面 内的射影，则ba。 ( ),(2)若b是平面的斜线、平面内的直线a垂直于b在平面内的射影，则ba。( ),三垂线定理,仔细想一想,例 2. 如图；PA面ABC，AB是圆O的直径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则图中直角三角形的个数是( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,三、例题分析:,D,想想有几个？,例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？,解：在路边取
4、一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于a m.,B,A,三垂线定理,三、例题分析：,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=a m BC=a m，,答：电塔顶与道路的距离是,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,三垂线定理,测出仰角ACB=,于是有AC=,(1) 已知:PA正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点. 求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形O为BD的中点,AOBD,又AO是PO在ABCD上的射影,POBD,四、课堂练习:,三垂线定理,(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,BCAM,证明:,PB=PC M是BC的中点,PM BC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,三垂线定理,1、三垂线定理,五、课堂小结,(3)操作程序分三个步骤“一垂,二射,三证.”,(1)定理中四条线均针对同一平面而言,(2)应用定理关键是找“基准面”这个参照系,三垂线定理,2、三垂线逆定理,P,a,A,o,六、课后作业:,书P25的习题9.4的3、4题,并预习后面的内容.,谢谢指导,
