1、9.4.4三垂线定理及逆定理(2),岁月如水 流到什么地方 就有什么样的时尚 我们怎能苛求 世事与沧桑,高2012级15班,曹新田,三垂线定理的逆理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,定 理,逆 定 理,三垂线定理及逆定理涉及的几何元素：,(1)一个平面;,(2)四条直线:,平面的垂线;,平面的斜线;,斜线在平面内的射影;,平面内的一条直线.,(3)三个垂直:,直线与平面垂直;,平面内的一条直线与斜线垂直.,1、两平行直线在一平面内的射影不可能是
2、（ ） A、 两平行直线 B、两点,2、两直线在平面内的射影是两相交直线，则这 两直线的位置关系不是（ ） A、两异面直线; B、两平行直线 C、两相交直线 ; D、以上都不对,巩固练习：,D,B,3、斜线b在面内的射影为c，直线a c， 则a与b （ ）,A垂直 B不一定垂直 C共面或垂直 D以上都有可能,C、一条直线 D、两相交直线,D,例1：在空间四边形ABCD中ABCD,AH平面BCD,垂足为H,求证:BHCD.,A,B,BHCD.,ABCD.,证明:AH平面BCD，BH为斜线AB在平面BCD上的射影.,D,C,H,应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:,“一垂”:找平面及平面的垂
3、线,“一垂二射三证明”,“二射”:找斜线在平面上的射影,“三证明”:用定理证明直线垂直,例2：如图所示，已知PA 平面ABC，ACB= 90， AQPC，ARPB，试证PBC、 PQR为直角三角形。,证明：PA平面ABC，ACB= 90， ACBC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，BCPC（三垂线定理）， PBC是直角三角形；,BC平面PAC，AQ在平面PAC内，BCAQ，又PCAQ，AQ平面PBC，QR是AR在平面PBC的射影，又ARPB，QRPB（三垂线逆定理）， PQR是直角三角形。,小结：凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明，而我们的目标应该是能够熟悉
4、这两个定理的直接应用。,例3：道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解：在道边取一点C，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20m,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20m BC=20m，,在直角三角形ABC中,AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m),答：电塔顶与道路的距离是25m。,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,例4：直角三角形ABC中，B= 90， C= 30， D是BC的中点，AC=2，DE平面ABC且DE=1， 求E到斜线A
5、C的距离？,解：,过点D作DF AC于F，连结EF， DE平面ABC，由三垂线定理知EFAC，即E到斜线AC的距离为EF，在Rt ABC中， B= 90，C= 30，AC=2， BC= DFAC， 在Rt EDF中为所求,练习：PAABC所在平面，ABAC13， BC10，PA5，求点P到直线BC的距离,解：设BC的中点为D，连结PD ABAC13，BC10， ADBC 且AD12 又PA平面ABC， PDBC 即 PD的长度就是P到直线BC的 距离 而 PD13,小结：求点到直线的距离，常运用三垂线定理（或逆定理）把垂线段作出，按“一作、二证、三计算”的步骤求解。,方法规律：,三垂线定理及其
6、逆定理的应用： （1）证明两条异面直线垂直； （2）确定二面角的平面角； （3）确定点到直线的垂线段。,运用定理时要习惯非常规位置图形上的应用，不能只习惯于水平放置的平面上运用。,能力拓展：,1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ACB= 90，BAC=30，BC=1， ，M是CF的中点，求证AEDM。,证明：连结AF， Rt AFC Rt MDF， AFC= MDF ， DMF+AFC=DMF+MDF= 90， DM AF，又ABC-DEF为直三棱柱， CFEF，又EFDF， EF平面AF，由三垂线定理知AEDM,能力拓展：,2、过Rt BPC的直角顶点P作线段PA 平面BPC，求证： ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。,证明：H是ABC的垂心， 连结AH延长交BC于D， 连结BH延长交AC于E， ADBC，BEAC，AP平面PBC，BCPD，ADPD=D，BC平面ADP，BCPH，又AP面PBC，APPB， 已知BPPC，PB面APC，又BEAC，PEAC，AC面PBE， PHAC，ACBC=C， PH面ABC， H是P点在平面ABC的射影。,线面垂直最重要 万丈高楼平地起,
