1、1.设椭圆 M： )0(12bayx 的离心率为 2，点 A（ a，0） ， B（0， b） ，原点 O到直线 AB的距离为 3（）求椭圆 的方程；（）设点 C为（ a，0） ，点 P在椭圆 M上（与 A、 C均不重合） ，点 E在直线 PC上，若直线 PA的方程为 4ykx，且 0CBE，试求直线 B的方程2已知某椭圆的焦点是 ，过点 并垂直于 轴的直线与椭圆的一个交12,F、 2Fx点为 ，且 椭圆上不同的两点 满足条件：B1212,yy、成等差数列2F、 、（）求该椭圆的方程；（）求弦 中点的横坐标；A（）设弦 垂直平分线的方程为 ，求 的取值范围ACykxm3 已知定点 C（-1，0）
2、及椭圆 ，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B 两点。532x（1）若线段 AB 中点的横坐标是 ，求直线 AB 的方程；1（2）在 轴上是否存在点 M，使 为常数？若存在，求出点 M 的坐标xBA解：（1）依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，B(1)ykx将 代入 ， 消去 整理得(1)ykx532yy2 分22360.k设 因为点（-1，0 ）在椭圆内部，所以 012() ()AxyB， ， ， ，则 4 分4221231(5) (1)6. 2kkx，由线段 中点的横坐标是 ， 得 ，AB1221231xk解得 ，适合 4 分3k()所以直线 的方程为 ，或 6 分AB310x
3、y310xy（2）解：假设在 轴上存在点 ，使 为常数x(,0)MmBA 当直线 与 轴不垂直时，由（ ）知AB22121635 . (3)3kkx，所以 21212212() )()myxmkx 8 分221() .kxkxk将 代入，整理得 3 222 2114()3(61)53mkmkMAB m224.3()注意到 是与 无关的常数， 从而有 ， BAk 761403，此时 10 分4.9M 当直线 与 轴垂直时，此时点 的坐标分别为 ，xAB， 213， ,，当 时， 亦有 11 分73m4.9综上，在 轴上存在定点 ，使 为常数12 分x703M， 4. 已知抛物线 的焦点为 F，椭
4、圆 C： 的离心率为 ，yx62 )0(12bayx 23e是它们的一个交点，且 P|P（I）求椭圆 C 的方程；（II）若直线 与椭圆 C 交于两点 A、B，点 D 满足 =0，)0,(mkxy BA直线 FD 的斜率为 ，试证明 141（I）设将 ，根据抛物线定义， ， ，（2 分）),(pyxP2py3px ，即 ， ，椭圆是 （4 分）23e23ab2ba,142by把 代入，得 a=2，b=1，椭圆 C 的方程为 ；（6 分）)21,3(P 142yx（II）方法 1： ，点 D 为线段 AB 的中点（8 分）,0BDABA设 ， ， ，),(),(21yx),(G14221yxDk
5、yx由 ，得 ， （10 分）mkyD012kD ， ，)23,0(FDDDyyxy83431 ， （12 分）yk8411k方法 2： ，点 D 为线段 AB 中点，（8 分）,0BABA设 ， ， ，),(),(21yx),(DG14221yxkxD4由 ，得 ， （10 分）mkyD 22,1kmkDD ， ， ，)23,0(FkxyD 418)(34321 418)(321mkk， ， （12 分）m08)42k1方法 3：由 ，得 ，142yx 0)1(48)4(22mkx令 ，得 ， （8 分）0162mkk 2设 ，),(),(21xBA.42kx，即点 D 为线段 AB 的中点
6、， （10 分）0D设 ， ，),(yG 222 4141,14 kmkyk ， ， ，)23,0(FmkxkD8)(343221 18)(31， ， （12 分）m08)4215. 椭圆 中心是坐标原点 O，焦点在 轴上，离心率 ，过椭圆的右焦点且垂直于长Cx2e轴的弦长为 2（I）求椭圆 的标准方程；（II）已知直线 （ 不垂直于 轴）交椭圆 于 P、Q 两点，若 ，求证：点lxC0OQPO 到直线 的距离是 l36解：（I）设椭圆 ，因为 ，（2 分）)0(12bayx ,2ace所 以在椭圆上，则 ，解得 b=1 （4 分）),(c点据 题 意 12，圆的方程为 （6 分）,1,22a
7、ba则 12yx（II）方法 1：设直线 的方程式 ，带入 ，OPky得 ， ， （8 分）221kyxp 2221)(1| kk ，把式子中的 用 换得 ，0OQPk)(|2OQ在直角三角形 中， ， )(1(6| 222 kP（10 分）点 O 到 （直线 ）的距离是PQl 36)2(1(61)| 222kPQO即点 O 到直线 的距离为定值 （12 分）l36方法 2：设 由 ，),(),(21yxQP点 024)12(,22 mkxkmkxy得1,421221 kmx 211 )()( xkxxy= （8 分）222 2因为 ，0OQP ,01312kmk即 （10 分）32,0232
8、2 kmkm所 以点 O 到直线 的距离l 36121|22 kkd即点 O 到直线 的距离为定值 （12366. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，它的一个顶点为 （0， ） ，xA2且离心率等于 ，过点 （0 ，2 ）且斜率为 的直线 与椭圆相交于 ， 不同两点（与32MklPQ点 不重合） ，椭圆与 轴的正半轴相交于点 BxB（）求椭圆的标准方程；（）若 ，求直线 的方程0PQl（）设椭圆的标准方程为 1 分)0(12bayx因为它的一个顶点为 （0， ） ，所以 ，由离心率等于 ，得 ，A2322ab3解得 ，所以椭圆的标准方程为 4 分28a182yx（）由已知设直线 的
9、方程为 ，与椭圆方程联立消去 得lky，依题意有 ，解得2(14)680kx22(16)4()80k或 2 分，设 ， ，则 ，且11(,Pxy2,Q12264kx，由 得 2 分1224xkB1)()k于是 ，整理得 ，286()(04k26850klA P xyoBMQ解得 或 ，又 ，但 时， 此2k56k2122k2yx时点 与点 重合，舍去，所以直线 的方程是 3 分QBl56yx7.已知椭圆 的离心率 ，点 F 为椭圆的右焦点，点 A、B 分2:1(0)xyCab2e别为椭圆的左、右顶点，点 M 为椭圆 的上顶点，且满足 2.FB（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在直线 ，当直
10、线 交椭圆ll 于P、Q 两点时，使点 F 恰为 的垂心. PQ 若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明l 理由.1）根据题意得， (,0),)(,0,)FcAaBMb(,)(,0)McbBac2 分21又 eac212,b椭圆 C 的方程为 4 分.xy（2）假设存在直线 满足条件，使 F 是三角形 MPQ 的垂心. l因为 ，1,MFK且所以 k所以设 PQ 直线 ，yxm且设 12(,)(,PQ由 2xy消 2,340x得 216(),3mm12,.x212121()()yxx8 分2224.33mm又 F 为 的垂心，MPQ,0又 12()(,1)xyxy212112xy4033m
11、，2010 分4,1经检验满足 11 分23m存在满足条件直线 方程为：l12 分10,0xyxy8.已知 是圆 上任意一点，由 点向 轴做垂线段 ,垂足为 ,点 在P,92yxPxPQM上，且 ,点 M 的轨迹为曲线 C.QQ（）求曲线 C 的轨迹方程；（）过点 的直线 与曲线 C 相交于 、 两点，试问在直线 上是否存在)2,0(lAB18y点 N，使得四边形 OANB 为矩形，若存在求出 N 点坐标，若不存在说明理由.（）设 则可设 又 ，所以 ，(,)xy0(,)Pxy(,QMQP203所以 代入圆方程 得曲线 C 的方程为 . 4 分,3P,9219xy（）由已知知直线 l 的斜率存
12、在且不为 0，设直线 l 方程 ，设2k， 由 消 y,),(),(21yxBA1922yxk得 ，,073692k 0)19(74)36(22k， .6 分k，22121 9,9kxkx.7 分,914)(2221121 kxkxy若四边形 OANB 为矩形，则 ，OBA所以 ，9 分319,0914272212 kkyx所以 ，由矩形对角线互相平分，3k得 ，Ny81493164916221 k， 11 分1238Nx所以存在这样的点 或 .使得四边形 OANB 为矩形 . 1,31,8N.12 分9.已知圆 C1的方程为 ,椭圆 C2的方程为 ，53)1()4(22yx 210xyab其
13、离心率为 ，如果 C1与 C2相交于 A、 B 两点，且线段 AB 恰为圆 C1的直径.23（）求直线 AB 的方程和椭圆 C2的方程；（）如果椭圆 C2的左、右焦点分别是 ,椭圆上是否存在点 P, 使得21F、,如果存在，请求出 P 点坐标，如果不存在，请说明理由 .120PF（解法一）：若直线 斜率不存在，则直线 的方程为 ，由椭圆的对称性可知，ABAB4x， 两点关于 轴对称，A,B 的中点为（4，0） ，又线段 AB 恰为圆 的直径，则圆心为ABx 1C（4，0） ，这与已知圆心为（4，1）矛盾，因此直线 斜率存在，.1 分所以可设 AB 直线方程为 ，且设 A(x1,y1)、 B(x
14、2,y2), )(1xky设椭圆方程 ,2 分4,3,222abcae42b将 AB 直线方程为 代入到椭圆方程，得 ，即)4(1xky 1)4(22bkx（1） ，4 分018)41( 22 bxk，解得 ，故直线 AB 的方程为 y= x+5,.6 分)(22 k将 代入方程（1）得 5x240 x+1004 b2=0，k，由 ，得 ， =128,x02105AB，得 ，解得 b2=9.534)(2121x 3281622b故所求椭圆方程为 . .9 分96y（解法二）： 设椭圆方程 ,1 分4,3,222abcae142byx又设 A(x1,y1)、 B(x2,y2),则 ,12128,
15、xy又 ,两式相减，得 ，3 分4,422bb 042121byx即( x1+x2)(x1 x2)+ 4(y1+y2)(y1 y2)=0， .11y若 ，直线 的方程为 ，由椭圆的对称性可知， ， 两点关于 轴对称，AB4xABxA,B 的中点为（4，0） ，又线段 AB 恰为圆 的直径，则圆心为（ 4，0） ，这与已知圆心为1C（4，1）矛盾，所以 .12x因此直线 斜率存在 ,且 =1,故直线 AB 的方程为 , .6 分AB21xy5yx代入椭圆方程得 5x240 x+1004 b2=0 . ，由 ，128,x41022b0得 ， | AB|= ,得 ，2b53)(2121 536解得
16、b2=9.故所求椭圆方程为 . .9 分19362yx（）设点 ，),(0yxP（2）,2102001003,(,)7FFxyPFxy （3）, .11 分9620yx(2),(3)联立得 ， ， ， .12 分),6(P)3,62()3,62(P)3,62(10 已知椭圆 经过点 ，且两焦点与短轴的一个端点构成)0(1:2bayxC)2,1(等腰直角三角形。（1）求椭圆的方程；（2）动直线 交椭圆 C 于 A、B 两点，求证：以 AB 为直径),(03: Rnmnyxl 的动圆恒经过定点（0 ，1） 。解：（1）椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直)(:2baC角三角形， 2ab21xy又椭圆经过点 ，代入可得 ，(,)P1b2a故所求椭圆方程为 3 分.2yx（2）首先求出动直线过（0 ， ）点 5 分13当 L 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：，此圆过点 T（0，1 ）22)4(31(y当 L 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆的方程： ，12yx此圆过点 T（0 ，1） 7 分
