1、1.2.2 空间中的平行关系(1) 平行直线自主学习学习目标能认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理自学导引1_的两条直线叫做平行线，过直线外一点有且只有_直线与这条直线平行2基本性质 4：_，用符号表述为_3等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边_，那么这两个角相等4顺次连接不共面的四点 A、B、C、D 所构成的图形叫做_，四个点叫做空间四边形的_，所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的_，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的_对点讲练知识点一 理解有关概念及性质例 1 下列叙述是否正确，请说明理由空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边两条对角线空间四边形不是平面图形，可以
2、把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边适当翻折而成的空间图形顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形四边都相等的四边形都是菱形有三个角都是直角的四边形是矩形点评 空间四边形是立体几何中的一个重要模型，应掌握其画法及特征变式训练 1 在空间四边形 ABCD 中，若 ACBD，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形 EFGH 是( )A菱形 B矩形 C梯形 D正方形知识点二 平行公理的应用例 2 如图所示，P 是ABC 所在平面外一点，D、E 分别是PAB、PBC 的重心求证：DEAC，DE AC.13点评 空间图形中的平行，往往转化到某一个平面
3、中去，利用平面性质：如中位线、平行截割定理等变式训练 2 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，且 1，那么四边形 EFGH 是什么图形？AEEB AHHD CFFB CGGD知识点三 等角定理的应用例 3 如图所示，两个三角形 ABC 和 ABC的对应顶点的连线 AA、BB、CC交于同一点 O，且 .AOOA BOOB COOC 23(1)求证：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求 的值S ABCS A B C点评 本题考查了等角定理，等角定理的实质是由两个结论合成的：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等
4、；若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且一组边的方向相反，那么这两个角互补变式训练 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、E 1、F 1分别为所在边中点求证：(1)EF E1F1；(2)EA 1FE 1CF1.1.空间两条直线的位置关系Error!2注意：等角定理的逆命题不成立. 【答案解析】自学导引1在同一平面内不相交 一条2平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果 ab，cb，那么 ac3分别对应平行，并且方向相同4空间四边形 顶点 边 对角线对点讲练例 1 解 由空间四边形的定义知命题都是真命题空间四边形的四条边可相等，故命题为假命题关于命题可构造正方体 ABCD
5、A1B1C1D1，如图，D 1ABABCBCD 190，但AD 1C60，四边形 ABCD1不是矩形，故为假命题变式训练 1 A例 2 证明 连接 PD 并延长交 AB 于 M，连接 PE 并延长交 BC 于 N，则 M 为 AB 的中点，N 为 BC 的中点，MNAC，又 ，PDDM PEEN 21DEMN，DEAC.又 ，DEMN PDPM 23DE MN，又因 MN AC，23 12DE AC.13变式训练 2 解 四边形 EFGH 是平行四边形因为 ，AEEB AHHD CFFB CGGD所以AEHABD，CFGCBD.设 k(k1)，则利用相似三角形的性质，知 EH BD，FG BD
6、，且AEEB AHHD CFFB CGGD kk 1 kk 1EHBD，FGBD，所以 EH FG，所以四边形 EFGH 是平行四边形例 3 (1)证明 AA与 BB交于点 O，且 ，ABAB.AOOA BOOB 23同理 ACAC，BCBC.(2)解 ABAB，ACAC且 AB 和 AB、AC 和 AC方向相反，BACBAC.同理ABCABC.因此ABCABC，且 .ABA B AOOA 23 2 .S ABCS A B C (23) 49变式训练 3 证明 (1)连接 BD、B 1D1.E、F 分别为 AD、AB 的中点，则在ABD 中有 EFBD 且 EF BD.12同理，E 1、F 1
7、分别为 B1C1、C 1D1的中点，则在C 1D1B1中有 E1F1B 1D1且 E1F1 B1D1.12而在正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB 1 DD1.四边形 BB1D1D 为平行四边形，BDB 1D1且 BDB 1D1，EF E1F1.(2)取 A1B1的中点 M，连接 BM，则 BFA 1M AB，12又 BFA 1M，BF A1M，四边形 A1FBM 为平行四边形A 1FBM，而 M、F 1分别为 A1B1、C 1D1的中点，则 F1M C1B1，而 C1B1 BC.F 1MBC 且 F1MBC.四边形 F1MBC 为平行四边形，BMF 1C，又 BMA 1F，A 1FCF 1.同理取 A1D1的中点 N，连接 DN，则 A1N DE，所以四边形 A1NDE 为平行四边形A 1EDN，又 E1NCD 且 E1NCD.E 1NDC 为平行四边形，DNCE 1.由基本性质 4，A 1ECE 1.EA 1F 与E 1CF1的两边分别对应平行，即 A1ECE 1，A 1FCF 1且方向都相反EA 1FE 1CF1.高考.试 题!库
