1、选修 2-2 1.3.3 函数的最值与导数一、选择题1函数 yf(x)在区间 a，b 上的最大值是 M，最小值是 m，若 Mm，则 f(x)( )A等于 0 B大于 0C小于 0 D以上都有可能答案 A解析 M m，y f(x)是常数函数f(x )0，故应选 A.2设 f(x) x4 x3 x2 在1,1上的最小值为( )14 13 12A0 B2 C1 D.1312答案 A解析 yx 3x 2xx (x2x 1)令 y0，解得 x0.f(1) ， f(0)0，f(1)512 1312f(x)在1,1上最小值为 0.故应选 A.3函数 yx 3x 2x1 在区间2,1 上的最小值为( )A.
2、B2 2227C1 D4答案 C解析 y3x 22x1(3x1)(x1)令 y0 解得 x 或 x 113当 x2 时，y 1；当 x 1 时，y2；当 x 时，y ；当 x1 时， y2.13 2227所以函数的最小值为1，故应选 C.4函数 f(x)x 2x 1 在区间 3,0上的最值为( )A最大值为 13，最小值为34B最大值为 1，最小值为 4C最大值为 13，最小值为 1D最大值为1，最小值为 7答案 A解析 yx 2x1，y2x1，令 y0，x ，f(3)13，f ，f(0)1.12 (12) 345函数 y 在(0,1)上的最大值为( )x 1 xA. B1 2C0 D不存在答
3、案 A解析 y 12x 121 x 12 1 x xx 1 x由 y0 得 x ，在 上 y0，在 上12 (0，12) (12，1)y0 得函数的增区间是(，2)和(2 ，)，由y0 得 x ，由 y 时，函数为增函数，当 2x 时，函数为减函32 32 32数，所以无最大值，又因为 f(2)57，f 28 ，所以最小值为28 .(32) 34 3413若函数 f(x) (a0)在1 ，)上的最大值为 ，则 a 的值为_xx2 a 33答案 13解析 f(x) x2 a 2x2(x2 a)2 a x2(x2 a)2令 f(x )0，解得 x 或 x (舍去)a a当 x 时，f(x)0；a
4、a当 x 时，f(x) ， 0 得 x2 或 x0；32当1 时，f(x )0，12所以 f(x)在 上的最小值为 34，14f ln2 .( 12) 14又 f f ln ln ln ln21 且 x0 时，e xx22ax1.分析 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值 (2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明解析 (1)解：由 f(x)e x2x2a，xR 知 f(x)e x 2，xR .令 f(x )0，得 xln2.于是当 x 变
5、化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x (，ln2) ln2 (ln2，)f(x) 0 f(x) 单调递减 2(1ln2a) 单调递增 故 f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在 xln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2)e ln22ln2 2a2(1 ln2 a) (2)证明：设 g(x)e xx 22ax1，xR ，于是 g(x) ex2x2a，x R.由(1)知当 aln21 时，g(x)最小值为 g(ln2)2(1 ln2a)0.于是对任意 xR ，都有 g( x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增于是当 aln2 1 时，对任意 x(
6、0 ，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，) ，g(x)0.即 exx 22ax10，故 exx22ax1.18已知函数 f(x) ，x0,14x2 72 x(1)求 f(x)的单调区间和值域；(2)设 a1，函数 g(x)x 33a 2x2a，x0,1若对于任意 x10,1，总存在 x00,1 ，使得 g(x0)f(x 1)成立，求 a 的取值范围解析 (1)对函数 f(x)求导，得f(x) 4x2 16x 7(2 x)2 (2x 1)(2x 7)(2 x)2令 f(x )0 解得 x 或 x .12 72当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x
7、0 (0， )12 12( ，1)121f(x) 0 f(x) 72 4 3所以，当 x(0， )时，f(x)是减函数；12当 x 时，f(x )是增函数(12，1)当 x0,1时，f(x )的值域为4，3 (2)g(x) 3( x2a 2)因为 a1，当 x(0,1)时，g(x)0.因此当 x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当 x0,1 时有 g(x) g(1)，g(0)又 g(1)12a3a 2，g(0) 2a，即 x0,1 时有 g(x)12a3a 2，2a 任给 x10,1，f(x 1)4， 3，存在 x00,1使得 g(x0)f(x 1)成立，则12a3a 2，2a 4，3 即Error!解式得 a1 或 a ；解式得 a .53 32又 a1，故 a 的取值范围为 1a .32
