1、辽宁省五校协作体 2015 届高三上学期期中考试数学（文）试题【试卷综述】这套试题具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新, 适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖, 知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础 ,考方法,考潜能的检测功能.【题文】第卷（选择题，共 60 分）【题文】一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【题文】1.已知集合 A=x|x|1.所以 A
2、B=(1,3)，故选 C.【思路点拨】化简集合 A、B，然后由交集意义得 AB.【题文】2.下列函数中周期为且为偶函数的是Ay=cos(2x- ) By=sin(2x+ ) Cy=sin(x+ ) Dy=cos(x- )2 2 2 2【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；诱导公式. B4 C2 【答案】 【解析】B 解析：因为 y=sin(2x+ )=cos2x 是偶函数，且周期 T= ，2 2故选 B.【思路点拨】先用诱导公式化简函数解析式，再用弦周期公式 ，求相应函数的周期.T【题文】3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“xR, 均有 x2-x+10”的否定是：“xR, 使得 x2-x
3、+10”的否定是：“xR, 使得 x2-x+1 0”故 A 不正确；因为 x=3 时 2x2-7x+3=0 成立，而 2x2-7x+3=0 时 x 不一定等于 3，所以“x=3”是“2x 2-7x+3=0”成立的充分不必要条件是正确的.故选 B.【思路点拨】依次分析各命题，直到得到正确命题为止.【题文】4.已知平面向量 =(2m+1,3), =(2,m)，且 与 反向，则| |等于 a b a b b A. B. 或 2 C. D. 210 27 52 2 52 2【知识点】向量共线的意义；向量的运算. F1 F2 【答案】 【解析】D 解析：因为 与 反向，所以 与 共线，所以a b a b
4、 130m或 ，当 m=-2 时 =（-3,3） ， =（2，-2） ， 与 反向，此时2602m3ma b a b | |=2 ；当 时， =（4,3） ， =（2， ） 与 同向.故选 D.b 2 3a b a b 【思路点拨】由 与 反向，得 与 共线，所以 ，解得 m 值后，代入向量 、a b a b 1230ma 的坐标，分析 与 是否反向，得出使 与 反向得 m 值后，再求| |.b a b a b b 【题文】5.设偶函数 f(x)对任意 xR 都有 f(x+3)=- ,且当 x-3,-2时，f(x)=4x,则 f(107.5)=1f(x)A.10 B. C.-10 D.-110
5、 110【知识点】抽象函数的奇偶性；周期性. B4 【答案】 【解析】B 解析：由 f(x+3)=- ，所以函数 f(x)的周期为1f(x) (6)()(3f fxf6，又 f(x)是偶函数，所以 f(107.5)=f( )=f(5.5)=- 675.1(2.5)f.故选 B.11(2.5)4.0f【思路点拨】由 f(x+3)=- 得函数的周期为 6 ，所以 f(107.5)=f( )=f(5.5)1f(x) 6175.=- ，又函数 f(x)是偶函数，所以 f(107.5) .1(2.5)f 1(2.5)4.0f【题文】6.设 l 为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A若 , ,则
6、 B若 , ,则 /llC若 , ,则 D若 , ,则 l/ l/【知识点】空间平行关系的判定与性质；空间垂直关系的判定与性质. G4 G5 【答案】 【解析】D 解析：若 , ，则,可能平行、可能相交，故 A 不正确；若 , ,则/l /l与 相交都有可能,故 B 不正确；若 , ,则 ，故 C 不正确；只有 D 正确. 所以,llA l/选 D.【思路点拨】根据空间平行关系得判定与性质，空间垂直关系得判定与性质依次分析各选项的正误即可.【题文】7.已知 f(x)=sin(2014x+ )+cos(2014x- )的最大值为 A，若存在实数 x1,x2,使得对任意实数 x 总6 3有 f(x
7、1)f(x)f(x2)成立，则 A|x1-x2|的最小值为（ ）A B C D1007 2014 21007 21007【知识点】函数 的性质. C4 sin()yAx【答案】 【解析】A 解析：f(x)=sin(2014x+ )+cos(2014x- )=2 sin(2014x+ )，所以 A=2，周期 T= ,6 3 6 107而|x 1-x2|的最小值为半周期，所以 A|x1-x2|的最小值=T= ,故选 A.107【思路点拨】由诱导公式得 f(x)= 2 sin(2014x+ ),从而得 A=2，周期 T= ，因为存在实数 x1,x2,使得6 107对任意实数 x 总有 f(x1)f(
8、x)f(x2)成立，所以 f(x1)是函数的最小值，f(x 2)是函数的最大值，所以|x 1-x2|的最小值为半周期，进而得 A|x1-x2|的最小值.【题文】8.已知向量 =（2，1） ， =10，| + |=5 ,则| |=Aa a b a b 2 b A5 B25 C D5 10【知识点】向量数量积的坐标运算；向量模的坐标运算. F2 F3 【答案】 【解析】A 解析：设 ，则 解得： 或 ，(,)bxy2250xy34xy50所以| |=5，故选 A.b 【思路点拨】设 ，根据题意得关于 x、y 的方程组，解得 的坐标，从而求得 .(,)xy bb【题文】9.某三棱锥的三视图如图所示,
9、则该三棱锥的体积是A1 B C D23 16 1321正视图 侧视图1俯视图【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G2 G1【答案】 【解析】D 解析：该几何体的直观图如下 :因此该三棱锥的体积 = .11233故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得该几何体的直观图，从而求得该三棱锥的体积.【题文】10.已知数列a n,定直线 l:(m+3)x-(2m+4)y-m-9=0,若(n,a n)在直线 l 上，则数列a n的前 13 项和为A10 B21 C39 D78【知识点】等差数列及其前 n 项和. D2 【答案】 【解析】C 解析：因为(n,a n)在直线(m+3)x-(2m+4)y-
10、m-9=0 上，所以，即数列a n是等差数列,3924nma所以 =39.故选 C.13639(1)1324mS【思路点拨】由(n,a n)在一条直线上得数列a n是等差数列，然后由等差数列的前 n 项和公式求解.【题文】11.已知a n为等差数列,0f(x)sin2x-f(x),若方程 f(x)+knsecx=0 在0,+)上有 n 个解，则数列 的前 n 项和nk2n为A.(n-1)2n+1 B.(n-1)2n+1+2 C.n2n-1 D.(2n-1)3n+14【知识点】函数性质及应用；导数的综合应用；数列求和. B1 B12 D4【答案】 【解析】A 解析：由 f(0)=-2,f(x+)
11、= f(x)得，f()=-1，f(2)=- ，12 2f(3)= - ， .由当 x0,)时，f(x)cos2xf(x)sin2x-f(x)得141,()2nf 2()cos2si(cos(sincofxfxffxx ()n0f)0所以 时，h(x)=f(x)cosx 是增函数， 时，h(x)=f(x)cosx 是减函数.(0,)2x,2x由于方程 f(x)+knsecx=0 在0,+)上有 n 个解，即 在0,+)上有 n 个解，cosnkfx则 ， ，12310cos,cos1,2kfkf. 则有 .(1)cos()nkfn1122,nnkk令 ，则2314nS 32nS两式相减得 231
12、122nnn则 .故选 A.nS【思路点拨】由 f(0)=-2,f(x+)= f(x)得 .由当 x0,)时，12 1()2nff(x)cos2xf(x)sin2x-f(x)得 时，h(x)=f(x)cosx 是增函数， 时，h(x)=f(x)cosx 是(0,)x,2减函数. 由于方程 f(x)+knsecx=0 在0,+)上有 n 个解，即 在0,+)上有 n 个解.所以cosnkfx， ，12310,cos1,2cos2kfkf则有 .再用错位相减法求数列 的前 n 项()cos(1)nkfn 122,nn nk2n和.【题文】第卷（非选择题，共 90 分）【题文】二、填空题：本大题共
13、4 小题，每小题 5 分。【题文】13.设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最小值时,x+2y-z 的最大值为_zxy【知识点】基本不等式. E6【答案】 【解析】2 解析：x 2-3xy+4y2-z=0，z=x 2-3xy+4y2,又 x,y,z 是正实数， = ，当且仅当 x=2y 时取“=”.zxy 44331xyx+2y-z=4y-( x 2-3xy+4y2 )= ,所以 x+2y-z 的最大值为 2.221y【思路点拨】将 z=x2-3xy+4y2代入 ，利用基本不等式，可得 取得最小值的条件，然后把这些条件代入zxy zxy所求，将所求化为关于 y
14、的二次函数，利用二次函数求最值.【题文】14.平面上三个向量 , , ，满足| |=1,| |= ,| |=1, =0，则 的最大值是OA OB OC OA OB 3 OC OA OB CA CB _。【知识点】向量数量积的坐标运算. F2 F3 【答案】 【解析】3 解析：以 OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(1，0)，,令 C（cost,sint ）则 ，(0)B(1cos,in),(cos,3in)AtCBtt所以 = .所以 的最大值是 3.CA CB 22cossin3i2i6ttttCA CB 【思路点拨】通过建立直角坐标系，得向量的坐标，
15、利用向量的坐标运算，把所求最值转化为三角函数的最值求解.【题文】15.在数列a n中，a 10,a n+1= an，S n为a n的前 n 项和。记 Rn= ,则数列R n的最大382Sn-S2nan+1项为第_项。【知识点】等比数列的性质；数列最大项的求法. D3 【答案】 【解析】4 解析：a 10,a n+1= an， 数列a n是等比数列.322 21183813nnn naR.当且仅当28(3)2811n 641时等号成立.所以数列R n的最大项为第 4 项.214nn【思路点拨】由已知得数列a n是等比数列.把等比数列的通项公式、前 n 项和公式，代入Rn= ，然后利用基本不等式求
16、结论.82Sn-S2nan+1【题文】16.设 f(x)是定义在 R 上的函数，且对任意 x,yR,均有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2014 成立，若函数g(x)=f(x)+2014x2013有最大值 M 和最小值 m，则 M+m=_【知识点】抽象函数的应用；奇函数的性质. B4【答案】 【解析】-4028 解析：由已知得 f(0)=-2014，从而有 f(x)+2014= - f(-x)+2014,令 h(x)=f(x)+2014+2014 ,则 h(-x)=f(-x)+2014-2014 = - f(x)+2014 -2014 2013x2013x2013x=- f(x)+2014
17、+2014 = - h(x),所以 h(x)是奇函数，若 h(x)最大值 N、最小值 n,则N+n=0,又 g(x)=h(x)-2014,所以 M=N-2014，m=n-2014, 所以 M+m=N+n-4028= - 4028.【思路点拨】由已知得抽象函数 f(x)满足 f(x)+2014=-f(-x)+2014,从而得函数 h(x)=g(x)+2014 是奇函数，利用奇函数最大值与最小值的和为零得结论.【典例剖析】本小题是较典型的考题，具有一定的代表性.构造一个奇函数，其最大值 N,最小值 n.则这个奇函数加一个常数 t 后，所得新函数的最大值为 N+t，最小值为 n+t. 由于 N+n=
18、0,所以新函数的最大值与最小值的和为 2t.【题文】三、解答题：本大题共 6 小题，总计 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【题文】17.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，且 a=1，c= ，cosC= 。234（1）求 sinA 的值； （2）求 ABC 的面积。【知识点】正弦定理；余弦定理. C8 【答案】 【解析】 （1） ；（ 2） . 解析：（1）由正弦定理得： = 148 74 asinA csinC即： = sinA= 4 分1sinA 274 148（2）由余弦定理得：c 2=a2+b2-2abcosC即
19、：2=1+b 2-2b 2b2-3b-2=0 (2b+1)(b-2)=034b=28 分S ABC = absinC= 12 = 10 分12 12 74 74【思路点拨】 （1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解；（2 ）根据余弦定理和三角形面积公式求解.【题文】18. (本小题满分 12 分)如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O平面 ABCD, AB= ,AA1=2. 2（1）证明：AA 1BD(2) 证明: 平面 A1BD / 平面 CD1B1; (3) 求三棱柱 ABD-A1B1D1的体积. A BCDA1 B1C1D1O【知
20、识点】线面垂直的判定与性质；面面平行的判定定理；柱体的体积. G4 G5 【答案】 【解析】 （1）证明：见解析；（ 2）证明：见解析；（ 3） .3解析：（1）证明：底面 ABCD 是正方形 BDAC 又 A1O平面 ABCD BD面 ABCD A1OBD 又 A1OAC=O A1O面 A1AC， AC面 A1AC BD面 A1AC AA1面 A1ACAA 1BD4 分(2)A 1B1AB ABCD A 1B1CD 又 A1B1=CD 四边形 A1B1CD 是平行四边形A 1DB 1C 同理 A1BCD 1A 1B平面 A1BD, A1D 平面 A1BD, CD1平面 CD1B1, B1C平
21、面 CD1B且 A1B A1D=A1 CD1 B1C=C平面 A1BD / 平面 CD1B18 分(3) A 1O面 ABCD A 1O 是三棱柱 A1B1D1-ABD 的高. 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . 在 RTA 1OA 中，AA 1=2，AO = 1 A 1O= V 三棱柱 =SABD A1O= (312)2 =2 3 3所以, 三棱柱 ABD-A1B1D1的体积为 . 12 分3【思路点拨】 （1）证明直线 BD面 A1AC 即可；（2）证明 A1DB 1C 、A 1BCD 1即可；（3 ）此三棱柱底面是腰长 2 的等腰直角三角形，所以只需求柱高 A1O 的长，在 Rt
22、A 1OA 中，由勾股定理可求得柱高 A1O 的长，从而求出三棱柱的体积.【题文】19. (本小题满分 12 分)等差数列a n中,a 7=4,a19=2a9， (I)求a n的通项公式;(II)设 bn= ,求数列b n的前 n 项和 Sn1nan【知识点】等差数列；裂项求和法. D2 D4 【答案】 【解析】() () 解析：()设等差数列 的公差为 d,则 ，12na1()nad因为 ,所以 . 7194a11648()ad解得, . 4 分,2d所以 的通项公式为 . 6 分nana() , 12()1nb所以 .12 分22()31n nSn【思路点拨】()利用通项公式求得首项和公差
23、即可； ()利用裂项求和法求得b n的前 n 项和 Sn.【题文】20.(本小题满分 12 分)数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn+an=1,数列b n满足 b1=4,bn+1=3bn-2;(1)求数列a n和b n的通项公式；(2）设数列c n满足 cn=anlog3(b2n-1-1),其前 n 项和为 Tn，求 Tn;【知识点】已知递推公式求通项；错位相减法求数列的前 n 项和. D1 D4【答案】 【解析】 （1） ；（2 ） . ,12nnab2n+32n解析：（1）当 n=1 时，a 1+S1=1 a 1=12当 n2 时，a n=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1
24、)=an-1-an a n= an-112数列a n是以 a1= 为首项，公比为 的等比数列；12 12a n= ( )n-1=( )n3 分12 12 12b n+1=3bn-2 b n+1-1=3(bn-1)又b 1-1=3 b n-1是以 3 为首项，3 为公比的等比数列b n-1=3n b n=3n+16 分(2)cn=( )nlog332n-1=(2n-1)( )n12 12Tn=1 +3( )2+5( )3+(2n-3)( )n-1 +(2n-1)( )n12 12 12 12 12Tn=1( )2+3( )3+5( )4+(2n-3)( )n+(2n-1)( )n+112 12
25、12 12 12 12(1- )Tn =1 +2( )2+( )3+( )n-1 +( )n-(2n-1)( )n+112 12 12 12 12 12 12= +2 -(2n-1)( )n+1= +1-( )n-1-(2n-1)( )n+112 (f(1,2)2(1-(f(1,2)n-1)1-12 12 12 12 12= -4( )n+1-(2n-1)( )n+1 = -(2n+3) ( )n+132 12 12 32 12T n=3- 12 分2n+32n【思路点拨】(1)利用公式 ，把 S n+an=1 化为关于 的递推公式求 ；1,2nnSanana构造等比数列 求 bn；（2）由（
26、1 ）得 ，用错位相减法求此数列的前 n 项和.n1()2nc【题文】21.(本小题满分 12 分)设 f(x)=xlnx,g(x)=x2-1(1)令 h(x)=f(x)-g(x)，求 h(x)的单调区间；（2）若当 x1 时，f(x)-mg(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围；【知识点】利用导数法求函数的单调区间；不等式恒成立问题. B12 E8【答案】 【解析】 （1）h(x)在（ 0，+）上单调递减，无增区间；（ 2） ，+）12解析： (1)h(x)=xlnx-x2+1 ， h(x)=lnx+1-2x令 t(x)=lnx+1-2x t(x)= -2=1x 1-2xxt(x)在(0,
27、1/2)(1/2,+) t(x)t(1/2)=-ln2F(1)=0 即 f(x)-mg(x)0 不合题意当 00 解得：112 1x 12m 1x 12mG(x)在1, 上单调递增，G（x)G(1)=1-2m0 即 F(x)012mF(x)在1, 上单调递增 当 x(0, )时，F(x)F(0)=012m 12m即 f(x)-mg(x)0 不合题意综合可知，m 合题意m 的取值范围是 ，+）12 分12 12【思路点拨】 （1）求定义域上导函数大于 0 的 x 范围为增区间，导函数小于 0 的 x 范围为减区间；（2）要使 x1 时，f(x)-mg(x)0 恒成立，只需使 x1 时，f(x)-
28、mg(x)的最大值小于或等于零.利用导数，通过讨论 m 的取值条件，确定 f(x)-mg(x)的最大值，使此最大值小于或等于零，得 m 的取值范围.【题文】请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分.【题文】22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图,CD 为ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且BCAE=DCAF,B,E,F,C 四点共圆.()证明:CA 是ABC 外接圆的直径; ()若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值.C
29、ABDFE【知识点】几何证明选讲. N1【答案】 【解析】 （1）证明：见解析；（ 2） . 解析：(1)因为 CD 为ABC 外接圆的切线，所以12BCB=A，由题设知： = , 故CDBAEF，所以DBC=EFA。BCFADCEA因为 B，E，F，C 四点共圆，所以CFE=DBC，故EFA=CFE=90所以CBA=90，因此 CA 是ABC 外接圆的直径；5 分ACD B E（2）连结 CE，因为CBE=90，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE，由 DB=BE，有 CE=DC，又 BC2 =DBBA=2DB2，所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2 ，而 DC2=DBDA=3
30、DB2，故 B，E，F，C 四点的圆的面积与ABC 的外接圆面积的比值为 10 分12【思路点拨】 （1）由已知得CDBAEF ，所以DBC=EFA ，因为有外接圆的四边形的外角等于内对角，所以CFE=DBC，进而推得结论；（2）连结 CE，因为CBE=90，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE，由 DB=BE，有 CE=DC，由 Rt 三角形中的射影定理得 BC2 =DBBA=2DB2，所以CA2=4DB2+BC2=6DB2，由切割线定理得 DC2=DBDA=3DB2，故 B，E，F，C 四点的圆的面积与ABC 的外接圆面积的比值为 .12【题文】23.（本小题满分 10 分）选修
31、 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 (为参数） ，M 为 C1上的动点，P 点满足 =2x=2cosy=2+2sin) OP ，点 P 的轨迹为曲线 C2OM （I）求 C2的方程；（II）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线= 与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2的3异于极点的交点为 B，求|AB|.【知识点】坐标系与参数方程. N3 【答案】 【解析】 （I ） （为参数） ；（ ）2 . x=4cosy=4+4sin) 3解析：（I）设 P(x，y)，则由条件知 M( , ).由于 M 点在 C1 上，所以x2y2即 x2=
32、2cosy2=2+2sin) x=4cosy=4+4sin)从而 C2 的参数方程为（为参数）5 分x=4cosy=4+4sin)（）曲线 C1 的极坐标方程为=4sin，曲线 C2 的极坐标方程为=8sin射线= 与 C1 的交点 A 的极径为 1=4sin ，3 3射线= 与 C2 的交点 B 的极径为 2=8sin 3 3所以|AB|=| 2-1|=2 .10 分3【思路点拨】 （I ）设 P(x，y)，则 M( , ).由于 M 点在 C1 上，所以把 M( , )代入 C1 得结论；（）写出x2y2 x2y2C1、 C2 的极坐标方程，分别于射线= 联立， 得 A、B 的极坐标，这两
33、点极径差的绝对值即为所求 . 3【题文】24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x) = |x + a| + |x2|.(1)当 a =3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)| x4|的解集包含1,2，求 a 的取值范围.【知识点】不等式选讲. N4【答案】 【解析】 （1）x|x1x|x 4；（2）-3，0. 解析：(1)当 a=-3 时，f(x)= -2x+5()x21()2x32x-5()x3 )当 x2 时，由 f(x)3 得-2x+53,解得：x1当 2x3 时，f(x)3 无解；当 x3 时，由 f(x)3 得 2x-53，解得 x4；所以 f(x)3 的解集为x|x1x|x45 分(2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2|x+a|.当 x1,2时，|x-4|-|x-2|x+a| (4-x)-(2-x)|x+a| -2-ax2-a由条件得：-2-a1 且 2-a2,即-3a0故满足条件的 a 的取值范围为-3，0 10 分【思路点拨】 （1）把 f(x)写成分段函数形式，在每段上解不等式 f(x)3，最终取每段上解得并集；（2）先在 x1,2时化简不等式 f(x)| x4|，得 2aa此不等式的解集包含1,2得-2-a1 且 2-a2,由此得 a 的取值范围.
