1、- 1 -高中数学必修 1 知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性3、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列举法与描述法。非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说a 属于集合 A
2、记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 a A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x?R| x-32或x| x-324、集合的分类：（1） 有限集 含有有限个元素的集合（2） 无限集 含有无限个元素的集合（3） 空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一集
3、合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2 “相等”关系(55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A等于集合 B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。A A真子集:如果 A B,且 B A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 B A)如果 A B, B C ,那么 A C如果 A B 同时 B A 那么 A=B3. 不含任何元素的集
4、合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算- 2 -1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：AB(读作”A 并 B”)，即AB=x|xA，或 xB3、交集与并集的性质：AA = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集与补集（1）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 ）
5、，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）（2）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。四、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注
6、意：如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：
7、求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数
8、的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图- 3 -象集合 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA ,图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A
9、、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都
10、有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集
11、合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.补充一：分段函数 （参见课本 P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相
12、应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认- 4 -为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为f、g 的复合函数。例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)7函数单调性（1） 增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a，b，当 a1，且 *nN当 是
13、奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此时， 的 次方根用符号 表示式子 叫做根式（radical） ，ann这里 叫做根指数（radical exponent） ， 叫做被开方数（radicand） a当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正n数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示正nana的 次方根与负的 次方根可以合并成 （ 0） 由此可得：负数没n有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，nn)0(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm- 6 -)
14、1,0(1* nNmaanmn0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） ra sr；（2） rsra)( ；),0(Rsa ),0(Rs（3） b)( （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数)1,(yx且（exponential function） ，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 0 lAB公理 1
15、作用：判断直线是否在平面内.（2） 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3） 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过LACBAP L- 11 -该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理
16、4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所
17、成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=A a共面直线=ac2- 12 -2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1
18、、 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：ab = pab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a a ab- 13 -= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、 两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= ab=作用：可
19、以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。PaL2、 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从
20、空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3、 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质- 14 -1、 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、 两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向 与直线向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 01
21、80（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 表示。即 tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。k当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.当 90时， ； 当 180,9时， k； 当 90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式： )(212xxyk （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当 1x时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直
22、线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程 点斜式： )(11xky直线斜率 k，且过点 1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式： bkxy，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b 两点式： 1122（ 212,y）直线两点 1,， 2,y 截矩式： ab其中直线 l与 x轴交于点 (,0)a,与 y轴交于点 (0,),即 l与 x轴、y轴的截距分别为 ,ab。 一般式：
23、 0CBAx（A，B 不全为 0）注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2- 15 -平行于 x 轴的直线： by（b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： ax（a 为常数） ； （4）两直线平行与垂直当 11:bxkyl， 22:bxkyl时，2,/；2l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（5）两条直线的交点 0:11CyBxAl0:22CyBxAl相交交点坐标即方程组 11的一组解。方程组无解 2/l ； 方程组有无数解 1l与 2重合（6） 两点间距离公式 ：设 12(,),xy， （ ） 是平面直角坐标系中的两个点，则 212|()ABx （7） 点到
24、直线距离公式 ：一点 0,P到直线 0:1CByAxl的距离20Cyxd（8） 两平行直线距离公式已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l01yx： ，则 与 的距离为2l02CByAx1l2 2BACd第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1） 标准方程 22rbyax，圆心 ba,，半径为 r；点 与圆 的位置关系：0(,)My()()当 ，点在圆外220r当 = ，点在圆上0()()xayb当 ，点在圆内220r（2） 一般方程 0FEyDxy当 42FED时，方程表示圆，此时圆心为 2,ED，
25、半径为- 16 -FEDr4212当 0时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b， r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线 0:CByAxl，圆 22:rbyax，圆心 baC,到 l 的距离为 2bad，则有 相 离与lrd； 相 切与ld；相 交与lr（2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设
26、点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线 方程：圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0， y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 2121:rbyaxC， 222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 r时，两圆内含； 当 0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
