1、第 1 页 共 12 页高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一 章 集合 与函数概 念一、 集合有 关概念1 . 集合 的含义2 . 集合 的中元 素的三 个特性 ：( 1 ) 元素 的确定 性( 2 ) 元素 的 互异 性( 3 ) 元素 的无序 性3 . 集合 的表示 ： 注意 ：常用 数集及 其记法 ：非负 整数集 （即自 然数集 ） 记作 ： N正整 数集 N * 或 N + 整数 集 Z 有理 数集 Q 实数 集 R1 ） 列举 法： a , b , c 2 ） 描述 法 ： 将集 合中的 元素的 公共属 性描述 出来 ，写 在 大 括 号 内 表 示 集 合 的
2、 方 法 。 x R | x - 3 2 , x |x - 3 2 3 ） 语言 描述法 ：例： 不是 直角三 角形的 三角形 4 ） V e n n 图 :4 、集 合的分 类：( 1 ) 有限 集 含有 有限个 元素的 集合( 2 ) 无限 集 含有 无限个 元素的 集合( 3 ) 空集 不含 任何元 素的集 合 例 ： x | x2 = 5 二、 集合间 的基本 关系1 . “ 包含 ” 关系 子集注意： BA 有两种 可能（ 1 ） A 是 B 的一部 分 ， ； （ 2 ） A 与 B是同 一集合 。反之 : 集合 A 不包 含于 集合 B , 或集 合 B 不包 含集 合 A ,
3、记 作A / B 或 B / A2 “ 相等 ” 关系 ： A = B ( 5 5 ，且 5 5 ，则 5 = 5 )实例：设 A = x | x2 - 1 = 0 B = - 1 , 1 “ 元素相同 则两集合相等 ”即： 任何 一个集 合是它 本身的 子集。 A A 真子 集 : 如 果 A B , 且 A B 那就 说集 合 A 是集 合 B 的真 子集 ，记作 A B ( 或 B A ) 如果 A B , B C , 那么 A C第 2 页 共 12 页 如果 A B 同时 B A 那么 A = B3 . 不含 任何元 素的集 合叫做 空集， 记为 规定 : 空集 是任何 集合的 子集
4、 ， 空集 是任何 非空集 合的真 子集。 有 n 个元 素的集 合，含 有 2n 个子 集， 2n - 1 个真 子集三、 集合的 运算运算类型交 集 并 集 补 集定义由 所 有 属 于 A且 属 于 B 的 元素 所 组成 的 集合 , 叫 做 A , B 的交 集 记 作A B （ 读作 A交 B ） ， 即A B = x | x A ，且 x B 由 所 有 属 于 集合 A 或属 于集 合B 的元 素所组成的 集 合 ， 叫 做A , B 的 并集 记作： A B （读作 A 并 B ） ， 即A B = x | x A ，或 x B ) 设 S 是一 个集合 ，A 是 S 的 一
5、 个 子集 ， 由 S 中 所 有不 属 于 A 的 元 素组 成 的集 合 ，叫做 S 中 子 集 A 的补集 （或 余集）记作 ACS ，即CS A = ,| AxSxx 且韦恩图示A B1A B2S AS A第 3 页 共 12 页性质A A = AA = A B = B AA B AA B BA A = AA = AA B = B AA B A B B( Cu A ) ( Cu B )= Cu ( A B )( Cu A ) ( Cu B )= Cu ( A B )A ( Cu A ) = UA ( Cu A ) = 例题 ：1 . 下列 四组对象 ，能构成 集合的是（ ）A 某班 所
6、有高 个子的 学生 B 著名 的艺术 家 C 一切 很大的 书 D 倒数 等于它 自身的 实数2 . 集合 a ， b ， c 的真 子集共 有 个3 . 若集 合 M = y | y = x2 - 2 x + 1 , x R , N = x | x 0 ，则 M 与 N 的关 系是 .4 . 设集 合 A = 1 2x x 1 ，且 n N * 负数 没有偶 次方根 ； 0 的任 何次方 根都是 0 ，记 作 00 =n 。当 n 是奇 数时， aan n = ，当 n 是偶 数时， = nNnmaaa n mnm ，*1 1 ( 0, , , 1)mn mn mna a m n N naa
7、 = = 0 的正 分数指 数幂等 于 0 ， 0 的负 分数指 数幂没 有意义3 实 数指数 幂的运 算性质（ 1 ） ra srr aa +=),0( Rsra ；（ 2 ） r ssr aa =)(),0( Rsra ；（ 3 ） srr aaab =)(),0( Rsra （二 ）指数 函数及 其性质1 、指数函数 的概念：一般地 ，函数 )1,0( = aaay x 且 叫做指数函 数，其 中 x 是自 变量， 函数的 定义域 为 R 注意 ： 指数 函数的 底数的 取值范 围 ， 底数 不能是 负数 、 零和 1 2 、指 数函数 的图象 和性质a 1 0 = 且 值 域 是 )
8、b(f) ,a(f 或) a(f) ,b(f ；（ 2 ）若 0x ，则 1)x(f ； )x(f 取遍 所有 正数当 且仅当 Rx ；（ 3 ）对 于指数 函数 )1a0a(a)x(f x = 且 ，总 有 a)1(f = ；二、 对数函 数（一 ）对数1 对数 的概念 ： 一般 地 ， 如果 Na x = )1,0( aa ， 那么 数 x 叫做 以 . a 为底 . . N 的对 数，记 作： Nx al o g= （ a 底数 ， N 真数， Nal o g 对数 式）说明 ： 1 注意 底数的 限制 0a ，且 1a ； 2 xNNa ax = l o g ； 3 注意 对数的 书写
9、格 式 两个 重要对 数： 1 常用 对数： 以 1 0 为底 的对数 Nl g ； 2 自然 对数： 以无理 数 7 1 8 2 8.2=e 为底 的对数 的对数 Nl n 指数 式与对 数式的 互化幂值 真数ba N l oga N b底数指数 对数（二 ）对数 的运算 性质如果 0a ，且 1a ， 0M ， 0N ，那 么： 1 Ma (l o g =)N Mal o g Nal o g ； 2 =NMal o g Mal o g Nal o g ；Nal o g第 10 页 共 12 页 3 na Ml o g n= Mal o g )( Rn 注意 ：换底 公式abbcca l o
10、 gl o gl o g = （ 0a ，且 1a ； 0c ，且 1c ； 0b ） 利用 换底公 式推导 下面的 结论（ 1 ） bmnb ana m l o gl o g = ； （ 2 ） abba l o g1l o g = （二 ）对数 函数1 、 对数 函数的 概念 ： 函数 0(l o g = axy a ， 且 )1a 叫做 对数函数， 其中 x 是自 变量， 函数的 定义域 是（ 0 ， + ） 注意 ： 1 对数 函数的 定义与 指数函 数类似 ，都是 形式定 义 ，注意辨别。如： xy 2l o g2= ， 5l o g 5 xy = 都不是对数函数，而只能称 其为对
11、数型函 数 2 对数 函数对 底数的 限制： 0( a ，且 )1a 2 、对 数函数 的性质 ：a 1 0 时，幂函数的图象 通过原点，并且在区间 ),0 + 上是增 函数 特别 地 ， 当 1 时 ， 幂函 数的图 象下凸 ； 当 10 0 ， a 0 ，函 数 y = ax 与 y = l o ga ( - x ) 的图 象只能 是( )2 . 计算 ： =64l o g2l o g2 73 ; 3l og4 22 + = ； 2l og227l og 553125 + = ; 213431 0 1.01 6)2 ()87(0 6 4.0 7 5.030 + =3 . 函数 y = l
12、o g21 ( 2 x2 - 3 x + 1 ) 的递 减区间 为4 . 若函 数 )10(l o g)( 且 ， （ 1 ） 求 ( )f x 的定 义域 （ 2 ） 求使 ( ) 0f x 的 x 的取 值范围第三 章 函数 的应用一、 方程的 根与函 数的零 点1 、 函数 零点的 概念 ： 对于 函数 ) ( Dxxfy = ， 把使 0)( =xf 成立的 实数 x 叫做 函数 ) ( Dxxfy = 的零 点。2 、函数零点的意义 ：函数 )( xfy = 的零点就是方程 0)( =xf 实数根 ，亦即 函数 )( xfy = 的图 象与 x 轴交 点的横 坐标。即： 方程 0)(
13、 =xf 有实 数根 函数 )( xfy = 的图 象与 x 轴有 交点 函数 )( xfy = 有零 点3 、函 数零点 的求法 ： 1 （代 数法） 求方程 0)( =xf 的实 数根； 2 （ 几何 法 ） 对于 不能用 求根公 式的方 程 ， 可以 将它与 函数第 12 页 共 12 页)( xfy = 的图 象联系 起来， 并利用 函数的 性质找 出零点 4 、二 次函数 的零点 ：二次 函数 )0(2 += acbxaxy （ 1 ） ，方程 02 =+ cbxax 有两不等实 根，二次函数的图象 与 x 轴有 两个交 点，二 次函数 有两个 零点（ 2 ） ，方程 02 =+ cbxax 有两相等实 根，二次函数的图象与 x 轴有一 个交点，二 次函数有一 个二重零点 或二阶零点（ 3 ） ， 方程 02 =+ cbxax 无实 根 ， 二次 函数的 图象与 x轴无 交点， 二次函 数无零 点
