1、 高三数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足 ， 是虚数单位，则 的虚部为（ ）(34)|3|izizA B C D54452.设集合 ， ，则 （ ）|1|3Px1|(),2,)3xQyPQA B C D(4,)9(,29,1(,2)33.已知命题 ： ， ， ，则 是（ ）p1x2R121)()0fxfxpA ， ，1x212()(fB ， ， 21)xfxC ， ，1x2R12()(0fD ， ，21)xfx4.若 ， ，则 的值为（ ）(,)23cosin(
2、4sinA B C D17871818185.在如图所示的程序框图中，若输出的值是 3，则输入 的取值范围是（ ）xA B C D(4,0(2,)(2,4(4,)6.有关以下命题：用相关指数 来刻画回归效果， 越小，说明模型的拟合效果越好；2R2R已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 ；(,)N(4)0.79P(2)0.1P采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动，学号为 5,16,27,38,49 的同学均被选出，则该班学生人数可能为 60；其中正确的命题个数为（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个7. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A B C D25
3、141648248148. 设 ， 满足约束条件 若目标函数 的最大值为 2，则实数 的值为（ ）xy30,2,xyazxyaA B1 C D2 19.已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，na0d1a3 1anSna则 的最小值为（ ）163nSA4 B3 C D22310.过双曲线 （ ， ）的右焦点 作直线 的垂线，垂足为 ，交双曲线的21xyab0abFbyaxA左支于 点，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）BFAA B2 C D3 5711.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似
4、值和过剩近似值分别为 和 （ ， ， ， ） ，则 是 的更为精确的xbadcbc*dNbdacx不足近似值或过剩近似值我们知道 ，若令 ，则第一次用“调日法”后得3.1459314905是 的更为精确的过剩近似值，即 ，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可16560得 的近似分数为（ ）A B C D2763278251093512.已知函数 ， ，当 时，方程 根的根数是（ ()fx()cosingxx,()fxg）A8 B6 C4 D2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 展开式的常数项是 540，则由区县 和 围成的封闭
5、图形的面积为 61()xa 2yx14. 的三个内交为 ， ， ，若 ，则 的最大值为 ABCABC3cosin7ta()1iA2cosinBC15.在平行四边形 中， ， ，若将其沿 折成二面角ABCD0B240CAAC，则三棱锥 的外接球的表面积为 D16.设函数 的图象上存在两点 ， ，使得 是以 为直角顶点的直角三角形32,lnxeyaPQO（其中 为坐标原点） ，且斜边的中点恰好在 轴上，则实数 的取值范围是 Oya三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.数列 的前 项和为 ，且 ，设 ， nanS21na2(log1)nn
6、b*N（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 nbnT18.如图，四边形 与 均为菱形， ，且 ABCDEF60DABFAFC（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 ；/F（3）求二面角 的余弦值19.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用 、 、 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙ABC三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟实验总次数A甲 4 次 6 次 2 次 12 次B乙 3 次 6 次 3 次 12 次C丙 2 次 2 次 8 次 12 次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：（1）
7、求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概念；（2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ，求随机变量 的分布列和数学期望 E20.已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 ，21xyab0a(2,0)M1F的距离之和为 2F43（1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线 ： （ ）与椭圆 交于不同两点 ， ，且 ，若点 满lyxmRAB|320(,2)Px足 ，求 的值|PAB021.已知 ，函数 aR()|1|fxax（1）若 ，求 的单调递增区间；3（
8、2）函数 在 上的值域为 ，求 ， 需要满足的条件()fx2,b,ab请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-1：几何证明选讲如图， 是圆 的直径，弦 于点 ， 是 延长线上一点， ， ，ABOCDABMECD10AB8CD， 切圆 于 ， 交 于 34EDMFFG（1）求证： 为等腰三角形；G（2）求线段 的长23.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标中，已知圆 的圆心 ，半径 C(3,)63r（1）求圆 的极坐标方程；（2）若点 在圆 上运动，点 在 的延长线上，且 ，求动点 的轨迹方程QPOQ|:|3:2OQPP24.选修 4-5
9、：不等式选讲已知函数 ， ()|21|fxxR（1）解不等式 ；（2）若对于 ， ，有 ， ，求证： xyR1|3xy1|2|6y()1fx福州市外国语学校 2017 届高三适应性考试（三）高三数学（理科）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C C A A D D A A C A B二、填空题13. 14. 15. 16. 512341(0,e三、解答题17.解：（1） 21nSan由题意得 ，0121246nnT， (2)n 得 ，121(nn n()2 (2)nT18.（1）证明：设 与 相交于点 ，连接 ，ACBDOF因为四边形 为菱形，所以
10、 ，且 为 中点，AC又 ，所以 ，FPF因为 ，O所以 平面 ACBDE（2）证明：因为四边形 与 均为菱形，ACBEF所以 ， ，所以平面 平面 ，/ /AD又 平面 ，所以 平面 F/（3）解：因为四边形 为菱形，且 ，所以 为等边三角形，D60BF因为 为 中点，所以 ，故 平面 OBFOBC由 ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 A Oxyz设 ，因为四边形 为菱形， ，则 ，所以 ， ，2AC60A2BD13OAF所以 ， ， ， ， (0,)(3,0)(,10)B(3,)(,3)F所以 ， CF设平面 的法向量 ，则有 所以B(,)nxyz,0nCB0,3xzy，取
11、，得 1x(,31易知平面 的法向量为 AFC(0,)v由二面角 是锐角，得 ，B|,|cos,uvn15所以二面角 的余弦值为 AFC1519.解：（1）由人工降雨模拟实验的统计数据，用 、 、 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实ABC施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：方式 实施地点 大雨 中雨 小雨A甲 1()3P21()P31()6PAB乙 4BB4BC丙 1()6C2()6C32()C记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件 ，则E22()()24PEABP（2）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为 、 、 ，1p23则 ， ， ，12()p21()p25()6PC的可
12、能取值为 0,1,2,3，；1233(0)()()468P123123()()pppp；13592462；123123123()()()()P 153214624683468p所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3P34819482148548数学期望 319250482E20.解：（1）由已知 ，得 ，又 ，a3c ，22bac椭圆 的方程为 214xy（2）由 得 2,1ymx226310xm直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，lAB ，得 ，2236(1)0216设 ， ，12mx2134x 212|ABk29(31)m2314m又由 ，得 ，解得 |34据题意知，点 为线段 的中垂心
13、与直线 的交点，PAB2y设 的中点为 ，则 ， ，AB0(,)Exy1034xm04x当 时， ，2m312此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ()2yx1yx令 ，得 y03x当 时， ，2m1(,)E此时，线段 中垂线方程为 ，即 AB13()2yx1yx令 ，得 y01x综上所述， 的值为 或 321.解：（1）因为 ， ，如图3a243,1()xfx所以 的单调递增区间为 ， ()fx,1(,)（2）因为 在 上的值域为 ，2ab1,所以 ，即 ，1()f2a2,1()().xxfa（i）当 时， ，所以 时， ，102xa|()|0fx又 ，2+所以 ，得 ，此时 ，min()(1)
14、fxfa12而 ，01所以 得 ，,()bf2b所以1,0.a（ii）当 时， ，所以 ，212amax()()1ffb当 时， ，1a所以 ，得 ， ；min()(1)fxf1a23当 时， ,22所以 ，1()(3,0)4aaf所以 ，min(21)fxf所以 或 ， 不成立1aa由（i） 、 （ii）可知 或,02b1,23.22.（1）证明：连接 ， ，则 ， ， ， 共圆，AFOFGM ， ， ，FGEBEBA ， ， 为等腰三角形E（2）解：由 ， ，可得 ，108CD3 ， ， ，43DOM24F 43FG连接 ，则 ，AB 843MGE23.解：（1）设 为圆 上任一点， 的中点为 ，(,)COMN 在圆 上， 为等腰三角形，由垂径定理可得 ，为所求圆 的极坐OC|cos()6OCC标方程（2）设点 的极坐标为 ，因为 在 的延长线上，且 ，P(,)PQ|:|3:2QP所以点 的坐标为 ，Q35由于点 在圆上，所以 ，6cos()故点 的轨迹方程为 P1024.（1）解： ，即 ，解得 ()fx21xx02x（2）证明： |2|()()|y 151|236y
