1、1333 lO H xyBA综合题1如图（1） ，直角梯形 OABC 中，A= 90，ABCO, 且 AB=2，OA=2 3，BCO= 60。（1）求证： OBC 为等边三角形；（2）如图（2） ，OHBC 于点 H，动点 P 从点 H 出发，沿线段 HO 向点 O 运动，动点 Q 从点 O 出发，沿线段 OA向点 A 运动，两点同时出发，速度都为 1/秒。设点 P 运动的时间为 t 秒，OPQ 的面积为 S，求 S 与 t之间的函数关系式，并求出 t 的取值范围；（3）设 PQ 与 OB 交于点 M，当 OM=PM 时，求 t 的值。解：1)根据勾股定理，AB=2，OA=2 3，则 BO=4
2、=2AB，所以ABO 是一个 306090的三角形。AB/CO，A=90AOC=180-90=90AOB=30，BOC=90-30=60=COBC 为等边三角形2)点 P 运动的时间为 t 秒，OQ=PH=tOHBC，CHO=90，COH=30，OH=( /2)BC=2QOP=60，OP=2 -tS=1/2t(2 -t) /2=3/2t- /4t，且(0t2 )3)OM=PM，MOP=MPO=30QOP=60，PQO=90，OP=2OQ得到方程：2 -t=2t，解得 t=(2/3) 32. 如图，正比例函数图像直线 l 经过点 A（3，5） ，点 B 在 x 轴的正半轴上，且ABO45。AHO
3、B，垂足为点 H。（1）求直线 l 所对应的正比例函数解析式；图(1)60BCAo图(2)60MPQ HBCAo（备用图）H60BCAo2图2图1ABCDEFFE DC BA（2）求线段 AH 和 OB 的长度；（3）如果点 P 是线段 OB 上一点，设 OP x，APB 的面积为 S，写出 S 与 x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。解：1)设 y=kx 为正比例解析式，当 x=3,y=5 时，3k=5,k=5/32)AH 即 A 的纵坐标，AH=5AHBH，ABH=45，HAB=ABH=45，AH=BH=5OH 即 A 的横坐标，OH=3OB=OH+BH，OB=5+3=83)OB
4、=8，OP=x，BP=8-xSABP=1/2BPAH=1/2(8-x)5=20-(5/2)xx 的取值范围是 0x83 （本题满分 12 分，第 1 题 4 分，第 2 题 6 分，第 3 题 2 分）已知在ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 是 AB 上一点，AEAB，且 AEBD，DE 与 AC 相交于点 F。（1）若点 D 是 AB 的中点（如图 1） ，那么CDE 是 等腰直角三角形 三角形，并证明你的结论；（2）若点 D 不是 AB 的中点（如图 2） ，那么（1）中的结论是否仍然成立，如果一定成立，请加以说明，如果不一定成立，请说明理由；（3）若 ADAC，那么AEF 是 等
5、腰 三角形。 （不需证明）解：1)CDE 是等腰直角三角形2）成立，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，CAB=B=45AEAB，EAB=90，EAC=90-45=45=B在ACE 与BCD 中，AE=BD，EAC=B，AC=BC，ACEBCDCE=CD，ACE=BCD3QRPCBAACD+BCD=90，ACD+ACE=90，即DCE=90CDE 是等腰直角三角形4如图，直线 经过原点和点 ，点 B 坐标为l(3,6)A(4,0)（1）求直线 l 所对应的函数解析式；（2）若 P 为射线 OA 上的一点，设 P 点横坐标为 ， OPB 的面积为 ，写出 关于 的函数解析式，指出自变量 x
6、的取值范围xS x当 POB 是直角三角形时，求 P 点坐标解：1)设 y=kx 为直线 l 的解析式当 x=3,y=6 时，6=3k，k=2，y=2x 是直线 l 的解析式2)P 在射线 OA 上，设 P 横坐标为 x，纵坐标为 2xS=1/2OB2x=4x，S=4x 是解析式，x 的取值范围 x0在 RtPOB 中，P 的坐标(4，8)在 RtPOB 中，P 的坐标(4/5，8/5)5、如图，在等腰 RtABC 的斜边 AB 上取两点 M、N，使MCN=45，设 AM=m，MN=x，BN=n 那么：（1）以 x、m、n 为边长的三角形是什么三角形？（请证明）（2）如果该三角形中有一个内角为
7、 60，求 AM:AB。解：1)以 x、m、n 为边长的三角形是直角三角形作ACMBCD，ACM=BCD，CM=CD，MCN=NCD=45在MNC 与DNC 中CM=CD，MCN=DCN，CN=CN，MNCDNCMN=DN=n，AM=BD=mA=CBA=CBD=45，DBN=45+45=90DBN(以 x、m、n 为边长的三角形)是个直角三角形6已知：如图，在 RtABC 中，A90，ABAC1，P 是 AB 边4上不与 A 点、B 点重合的任意一个动点，PQBC 于点 Q，QRAC 于点 R。（1）求证：PQBQ；（2）设 BP x，CR y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；（
8、3）当 x 为何值时，PR/BC。解：1)A90，ABAC，B=C=45PQBC，PQB=90，B=BPQ=45，BQ=PQ2)BP=x，BQ=PQ，PQBQ，勾股定理 BQ=PQ=（1/2） xA90，ABAC1，勾股定理 CB= ，CQ= -(1/2) xQRAC，勾股定理得 y=1-0.5x，且 x 的取值范围 0x13)PR/BC，A90，ABAC，AP=ARAR=x/2，AP=AB-BP=1-x得到方程 x/2=1-x，解得，x=2/3当 x 为 2/3 的时候，PR/BC7在直角三角形 ABC 中，C90 ，已知 AC6cm，BC8cm。（1）求 AB 边上中线 CM 的长；（2）
9、 点 P 是线段 CM 上一动点（点 P 与点 C、点 M 不重合） ，求出APB 的面积 y（平方厘米）与 CP 的长x（厘米）之间的函数关系式并求出函数的定义域（3）是否存在这样的点 P，使得ABP 的面积是凹四边形 ACBP 面积的 ，如果存在请求出 CP 的长，如果32不存在，请说明理由。解：1)C90 ，AC6cm，BC8cm，AB=10cm，CM=1/2AB=5cm2)作 CDAB，PEABSABC=(1/2)ABCD,SABP=(1/2)ABPE，SABC/SABP=CD/PESABC=1/268=24，AB=10，CD=48/5PM=5-x，SPMB/SABC=PD/CE=(5
10、-x)/5，y/24=(5-x)/5，y=(24/5)(5-x)是解析式，其中 x 的定义域0x53)存在，根据题意，S 四边形 ACBP=2 SABP，24-y=2y，y=85当 y=8 时，8=(24/5)(5-x)，解得，x=5/2当 x=5/2 时ABP 的面积是凹四边形 ACBP 面积的 2/3。8、如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，AD=6，点 P、Q 分别是 AB 边和 CD 边上的动点，点 P 从点 A 向点 B 运动，点 Q 从点 C 向点 D 运动，且保持 AP=CQ。设 AP=x，BE=y（1）线段 PQ 的垂直平分线与 BC 边相交，设交点为 E 求 y 与 x
11、的函数关系式及 x 取值范围；（2）在（1）的条件是否存在 x 的值，使PQE 为直角三角形?若存在，请求出 x 的值，若不存在请说明理由。解：连接 PF、QF，EF 垂直平分 PQ，PF=QFA=D=90，AP+AF=DF+DQ即 x+(6-y)=y+(8-x),3y=4x-7,y=(4x-7)/3其中 x 的定义域 0x89在 ABC 中， ACB=90， D 是 AB 的中点，过点 B 作 CBE= A， BE 与射线 CA 相交于点 E，与射线 CD 相交于点 F（1）如图, 当点 E 在线段 CA 上时, 求证： BE CD；（2）若 BE=CD，那么线段 AC 与 BC 之间具有怎
12、样的数量关系？并证明你所得到的结论；（3）若 BDF 是等腰三角形，求 A 的度数解：1) ACB=90， D 是 AB 的中点，AD=BD=CD，CBA=DCB，A=DCACBE=A，CBE+EBA=A+EBA，即：CBA=BEC，DCB=BECCBE+BEC=90，CBE+DCB=90，BFC=90，即 CDBE2)BE=CD，BE=AD=BD=CD，AB=2BECBE=A， ，BCE=ACBBCEACB，BC：CA=1：2，AC=2BC3）BDF 是等腰三角形，BFD=90，BDF=45当点 E 在线段 CA 上时，A=1/2BDF=22.5当点 E 在线段 CA 延长线上时，BAC=(
13、180-CDA)/2=67.5610已知：如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3） 是反比例函数图象上的一动点，其中 过点 作直线轴，交 轴于点 ；过点 作直线 轴交 轴于点 ，交直线 于点 当四边形 的面积为 6 时，请判断线段 与的大小关系，并说明理由解：1)A 在两个函数图象上，2=3k,k=2/3，即正比例函数 y=2x/32=k/3,k=6，即反比例函数 y=6/x2)当 0x3 时，反比例函数的值大于正比例函数的值3)M(m,n),n=6
14、/m,N(0,n) C(3,0),D(3,n)S 四边形 OADM=S 梯形 OADB-SOMB=（n-2)+n(3/2)-(mn/2)=3n-3-3=3n-6=6n=4，m=6/4=3/2，即 M(3/2,4)A(3,2)，OC=BD=3，BM=DM11已知：如图，在 ABC 中， C=90， B=30， AC=6，点 D 在边 BC 上， AD 平分 CAB， E 为 AC 上的一个动点（不与 A、 C 重合） ， EF AB，垂足为 F（1）求证： AD=DB；（2）设 CE=x， BF=y，求 y 关于 x 的函数解析式；（3）当 DEF=90时，求 BF 的长.解：1）C=90，B=
15、30，A=60,AD 平分CAB，BAD=30=B，AD=DB2）BF=y=AB-AF=12-AF，EFAB,A=60，AEF=30AF=1/2AE=1/2(AC-CE)=1/2(6-X)，y=12-1/2(6-X)=9+1/2xy=9+1/2x 为解析式3)DEF=90,EDA=BAD=EAD=30，EDC=30AE=ED=2EC，AE+EC=AC=6，EC=2图26图图FEDC BA7MADECB第 26 题图当 EC=x=2时，y=9+1/22=10，即 BF=1012如图，在 中， =90， =30， 是边 上不与点 A、 C 重合的任意一点， ABCADDE，垂足为点 ， 是 的中点
16、.EMD（1）求证： = ； （2）如果 = ，设 = ， = ，求 与 的函数解析式，并写出函数的定义域； 3xyx（3）当点 在线段 上移动时， 的大小是否发生变化？如果不变，求出 的大小；如果发DACCEC生变化，说明如何变化.解：1）ACB=90，DEAB，M 是 BD 的中点，CM=1/2BD=EM2）CM=y，BM=DM=EM=yACB=90，A=30，AB=2BC，BC= ，AB=2 ，AC=3 ，CD=3-x3(3-x)+3=4y，y=1/2 ,其中 x 的定义域是 0x33)CM=BM，MBC= MCB，BM=EM， MBE=MEB，ACB=90 ， A=30，ABC=60A
17、BC=MBC+ MBE=60，MBC+MCB= CMD，MBE+ MEB=EMDCME=CMD+ EMD=2ABC=120，CM=EM，MCE=MEC=30。MCE 大小不变13、如图，已知长方形纸片 ABCD 的边 AB=2，BC=3，点 M 是边 CD 上的一个动点（不与点 C 重合） ，把这张长方形纸片折叠，使点 B 落在 M 上，折痕交边 AD 与点 E，交边 BC 于点 F（1） 、写出图中全等三角形；（2） 、设 CM=x，AE=y，求 y 与 x 之间的函数解析式，写出定义域；（3） 、试判断 能否可能等于 90 度？如可能，请求出此时 CM 的长；如不能，请说明理由BE解：1)
18、BEFMEF，根据翻折得到。ABEDEM，AASFEDA CB M82)BEFMEF，BE=ME，BE=MEA=D=90AE+AB=DM+DEAB=CD=2，AD=3，CM=x，AE=y代入得 y+4=(2-x)+(3-y)，解得 y=(x-4x+9)/6其中 x 的定义域 0x23) BEM=90AEB=180-90-DEM=DMEABE=DME在ABE 与DEM 中，ABE= DME，A=D，BE=ME，ABE DMEAE=DM，AB=DE，2=3-y，y=1，当 y=1 时，1=2-x ，x=1CM=1 时BEM 为 9014、已知：如图，在 RtABC 中，BAC90，BC 的垂直平分
19、线 DE 分别交BC、AC 于点 D、E，BE 和 AD 相交于点 F，设AFBy, Cx（1）求证：CBECAD；（2）求 y 关于 x 的函数关系式；（3）写出函数的定义域。解：1)BAC=90，AD 是 BC 上中线，AD=BD=CD，C=CADDE 是 BC 的垂直平分线，BE=CE，C=CBE，CAD=CBE2)AFB=CBE+ADB=CBE+C+CAD，AFBy, CCAD=CBE=x，y=3x3)0x60 为函数定义域15、已知：如图，在 ABC中， C90， B30， AC6，点 D、 E、 F分别在边 BC、 AC、 AB上（点 E、 F与 ABC顶点不重合） ， AD平分
20、CAB， EF AD，垂足为 H（1）求证： AE AF：（2）设 CE x， BF y，求 x与 y之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当 DEF是直角三角形时，求出 BF的长解：1)在AEH 与AFH 中AD 平分CAB，EFAD，AH=AHAEHAFHFBA CED9AE=AF2)在ABC 中，C=90，B=30，AC=6AB=12CE=x，BF=yAE=AC-CE=6-x，AF=AB-BF=12-yAE=AF，6-x=12-y，y=x+6y=x+6为解析式，其中0x6为 x 的定义域3)在AED 与AFD 中，AE=AF ，AD 平分CAB，AD=ADAEDAFD，AED=AFDCE
21、D=DFBEFAD，EDF=90CDE+BDF=90C=90，CDE+CED=90，BDF=CEDCED=DFB，BDF=DFB，BF=BDC=90,AC=6,CAD=BAD=1/2CAB=30CD=2 310BAD=B=30BD=AD=2CD=4 BF=BD=433当DEF 是直角三角形时，BF 的长为416已知 中， AC =BC, ,点 D 为 AB 边的中点， ,DE、 DF 分别交 AC、 BC 于 E、 FABC120C 60EDF点（1）如图 1，若 EF AB求证： DE=DF （2）如图 2，若 EF 与 AB 不平行 则问题（1）的结论是否成立？说明理由解：1)EF/AB，
22、FEC=A=30EFC=B=30，EC=CF，A=BAC=BC，AE=BFD 是 AB 中点，DB=AD在ADE 与BDF 中，A=B，AE=BF，AD=BD，ADEBDFDE=DF2)过 D 作 DMAC 于 M，DNBC 于 NAB=AC，C=120，A=B=30，ADM=BDN=60，MDN=180-ADM-BDN=60ACBC、ADBD，ACDBCD，DMDN。EDMMDNEDN60EDNEDFEDNFDN，EDMFDN在DEM 与DFN 中，DMEDNF90，DMDN，EDMFDN，DEMDFN，DEDF，1)中结论仍然成立17如图（第 27 题图 1）,已知 中, BC=3, AC
23、=4, AB=5,直线 MD 是 AB 的垂直平分线，分别交 AB、 ACABC于 M 、 D 点. （1）求线段 DC 的长度；（2）如图（第 27 题图 2） ，联接 CM，作 的平分线交 DM 于 N .求证: CM MN 11解：1)连接 BD，设 DC 为 xDM 是 AB 的垂直平分线 ,AM=MD=2.5得到方程(4-x)2-2.52+2.52=32+x2，解得 x=7/8，即 CD 长7/82)CM 为 AB 边中线，ACB=90MC=MBCN 平分 ACB，ACM= BCM=45CDM=180-(45-1+1+2)，B=45 +1BCDM 是四边形，DMB=ACB=90， MDC+B=180，即135- 2+45+1=1801=2CM=MN
