1、概率论与数理统计教案开课系：数学学院主讲教师：刘亚平Email:概率论 序言概率论是研究什么的？研究随机现象并揭示其统计规律性的科学第一章 随机事件及其概率 1.1 随机1.1.1. 随机试验随机试验的特点1. 可在相同条件下重复进行；2. 试验结果可能不止一个事件及运算(p1),且预知所有的可能结果;3. 试验前无法确定会是哪种结果出现。随机试验的例子例 1 : 抛一枚硬 币，分 别用“H” 和 “T” 表示出正面和反面 ;例 2 : 将一枚硬 币连抛三次，考虑正反面出现的情况；例 3 : 将一枚硬币连抛三次，考 虑正面出现的次数例 4 : 掷一颗骰子，考 虑可能出现的点数；例 5 : 记录
2、某网站一分 钟内受到的点 击次数；例6 :在一批灯泡中任取一只，测其寿命例7 :任选一人，记录他的身高和体重 。;1.1.2 样本空间及随机事件（1. 定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫简称 “事件 ”.记作 A 、B 、C 等2. 基本事件 和 复合事件3. 两个特殊事件 : 必然事件S 、 不可能事件P2 ）. “随机事件 ”, 4. 样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间 ，记为 ；5.样本点 : 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个 样本点 ,记为 .6 、由一个样本点组成的单点集称为一个 基本事件 , 也记为 .1.1.3. 事件之间关系及运算1. 事件的包含
3、与相等 “ A 发生必导致A B A B且BA.(P3)B 发生” 记为A B2. 事件的和（并） “事件记作A 与 B 至少有一个发生”，A Bn2 n 个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作 i =1Ai3. 事件的积（交）A BAB3 n 个事件(p4) :A 与 B同时发生，记作A1, A2, An同时发生，记作A1A2An4.事件的差而 B不发生： A B 称为A 与 B的差事件,表示事件 A 发生思考：何时 A-B=? 何时A-B=A？ 注： A-B=A-AB5.互不相容（互斥）的事件：与 B为互斥事件。如果 AB ，则称 A6. 对立（互逆）的事件 ： 如果 AB , 且
4、 AB , 则称 A与 B为互逆事件。记作 B= A， 称 B 为 A 的对立事件；如果AAA ，B 是任意两事件，则有= , A A, A B AB , A A .7. 完备事件组若事件nA1, A2, , A n为两两互不相容的事件，并且 i =1Ai= ， 则称 A1, A2, , A n 构成 事件间的运算性质1、交换律：2、结合律：3、分配律：的一个完备 事件组。(p5)A B B A ， AB BA(A B) C A (B C) ，(AB)C A(BC)(A B)C (AC) (BC) ，(AB) C (A C)(B C)4、德A 摩根B=(De Morgan) 律：A B , A
5、B = A B可推广 kAk = kAk, kAk = kA k .例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、 C分别表示甲、乙、丙命中目 标，试用B、 C的运算关系表示下列事件：A、A1A2:“至少有一人命中目标:“恰有一人命中目标”: A A B CBCAB C A BCA3:“恰有两人命中目标”: AB C ABC A BCA4:“最多有一人命中目标” : B C AC A BA5A : “三人均命中目标”:ABCABC6 “三人均未命中目标”例：一工人生产了 n 个零件，设Ai 表示“ 第 i个零件是n正品 ” （i=1,2,.n).试用文字叙述下列事件：nn(1) ,i =
6、1(2) ,(3) Ai ( Ak )i = 1 i n k =1解： （1） n 个零件全 为正品；（ 2）至少有一个零件不是正品（ 3）有且仅有一个零件不是正品。 k ini =1Ai ；例：设某射手对一目标接连进行三次射击，事件 Ai 表示该射手第表示下列事件：i 次击中目标(i=1,2,3) 。试 用事件的运算符号(1)前两次至少有一次击中；(2)第二次未中；(3)三次中至少有一次 击中；(1) 1(2) 2(3) 1 A 2 A 2 A3(4)三次全中；(5)第三次中但第二次未中；(4) 1(5) 3A 2 A 2 =A3A3 A 2(6)前两次均未中；(7)后两次中至少有一次未中；
7、(6) 1(7) 2A 2 =A3 =A1 A 2 A 2A3(8)三次中至少有两次击中。 (8) 1 2 A A2 3 1 3 1.2 频率与概率1.2 .1 频率及其性质定义 1.2.1:(p9) 事件A 在 n 次重复 试验中出现k次，则称 k为事件 A 发生的频数 ，比值 k/n 称为事件A 在n 次重复试验 中出现的fn(A) k/n.频率的性质( 1) 0 fn(A) 1 ；频率 ，记为fn(A) . 即(2) fn( ) 1 ；fn( )=0(3) 可加性：设互不相容的事件，即A1， A2， A r, 是 r 个两两AiAj ， (i j), i , j 1, 2, , 有 fn
8、( A1 A2 Ar) fn(A1) fn(A2)+. fn ( A r）.历史上曾有人做过试验，出现正反面的机会均等。实验者 n, 试图证明抛 掷匀质硬币时nHfn(H)德 摩根蒲丰K. 皮尔逊K.皮尔逊维尼2048 1061 0.51814040 2048 0.506912000 6019 0.501624000 12012 0.500530000 14994 0.4998实践证明：当试验次数趋向一个稳定值。可将此稳定值记作作为 事件 A 的概率上述概率的定义称之为概率的统计定义。n 增大时， fn(A) 逐渐P(A) ，定义1.2.2. 概率的公理化定义及其基本性质1.2.2(p7) 若
9、 是随机试验所对应的样本空间，对中的每一事件P( ) 满足以下三条件，则称A，规定一个实数P(A) 。如果集合函数P(A) 为事件 A发生的概率：(1) 非负性：(2) 规范性：(3) 可列可加性：的事件，即P(A) 0 ；P( ) 1 ；设 A1， A2， , 是一列两两互不相容AiAj ， (i j), i , j 1, 2, , 有P( A1 A2 )P(A1) P(A2)+. (1.1)概率的基本性质(1)P( )=0; (2) 有限可加性P(7-8) ： 设 A1， A2， An , 是 n 个两两互不相容的事件，即 AiAj ， (i j), i , j 1, 2, , n , 则有P(An);P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+(3) 单调性：若事件 A B ，则 P(A-B)=P(A) -P(B) , 且
