1、概率论与数理统计教案 (2)概率论与数理统计教案概率论与数理统计课程组?河北理工大学工程数学系?第一讲?授课内容1.1? 随机试验 1.2 样本空间课时2教学目的 初步理解随机试验、随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系与运算.并能熟练使用之表示复杂事件.教学重点（难点）随机事件概念、事件之间的关系与运算.教学课型新授教学方法讲解法导言随机试验的含义: 我们对自然现象的一次观察或进行一次科学试验统称为试验.如果试验可以在相同条件下重复进行,并且每次试验的结果是事先不可预言的,则称这样的试验为随机试验.以下我们所说的试验均指随机试验.1、随机事件与样本空间随机事件: 在随机试验中,可能发生也可能
2、不发生的事件称为随机事件,简称事件.常用字母 A,B,C,.表示事件.样本空间: 称随机试验中每一种可能的结果为一个样本点,用表示之.由全体样本点组成的集合称作样本空间或基本空间,用表示.复合事件、必然事件、不可能事件.例 1（师讲解）例 2（学生练习）2、事件间的关系与运算(1) 事件的包含与相等: 如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 A是事件 B 的子事件,或称事件 B 包含事件 A,记作 AB.如果 AB 且 BA 则称事件 A 与事件 B 相等,用 A=B 表示.(2) 事件的和（并）: 设事件 C 表示“事件 A 与事件 B 中至少有一个发生,这一事件,则称 C 为事
3、件 A 与事件 B 的和事件,记作 C=AUB.(3) 事件的积（交）: 设事件 D 表示“事件 A 与事件 B 同时发生;这一事件,则称 D 为事件 A 与事件 B 的积事件,记作 D=AB,或 D=AB.(4) 设事件 E 表示“事件 A 发生而事件 B 不发生;这一事件,则称 E 为 A 与B 的差事件,记作 E=A 一 B.如图 1.1(d)所示由差事件的定义可知,对于任意的事件 A,A 一 A=,? A-=A,? A-=.事件的差(5) 互不相容事件: 如果两事件 A 与 B 不能同时发生,则称 A 与 B 是互不相容事件,或称互斥事件,记作 AB=.(6) 对立事件: 在一次试验中
4、,事件 A 与事件 B 中必然有一个发生,且仅有一个发生,即事件 A 与 B 满足条件AB=,? AB=,则称事件 A 与事件 B 互逆,又称 A 是 B 的对立事件,或逆事件(B 是 A 的对立事件,或逆事件),记成 A=(B=).显然,=(7) 多事件之间的关系与运算:不难验证事件间的运算满足如下关系:(1)交换律AB=BA,? AB=BA(2)结合律A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)C,(3)分配律A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC),(4) 德摩根律=,? =(5) A-B=(6) 例 3? 例 4（学生自学）小结? 样本空间与随机事件 事件间的关系与运
5、算作业? P32 第 1、2、3 题?教学后记：应加强事件之间运算的练习。?第二讲?授课内容1.3? 频率与概率 课时2教学目的：理解事件频率、概率的概念及其关系，熟练掌握概率的运算公式。熟练掌握等可能概型的概率运算公式教学重点（难点）随机事件频率、概率之间的关系与运算.等可能概型的概率运算公式概率的性质教学课型新授教学方法讲解法1事件的统计概率：定义 在不变的一组条件 S 下,重复做 n 次试验.记是 n 次试验中事件 A 发生的次数.当试验的次数 n 很大时,如果频率稳定地在某一数值的附近摆动,而且一般说来随着试验次数的增多,这种摆动的幅度越变越小,则称数值为事件 A 在条件组 S 下发生
6、的概率,记作? ?(1.1)称由(1.1)给出的事件 A 的概率为统计概率.例 1 例 22概率的性质性质 1：，P()=1.性质 2：有限可加性：设事件互不相容，则? 性质 3：设 A、B 为两个事件，若 A?a name=baidusnap7doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image052.gif; * MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE d ;/jpk.heut.edu/#ffff66doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image053.gif; * MERGEFORMATINET
7、INCLUDEPICTURE d ;/jpk.heut.edu/#ffff66doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image054.gif; * MERGEFORMATINET 3.定理? 设事件构成完备事件组，且，则对任何一个事件,都有称为全概率公式例 1、? ?例 24.定理? 设事件构成完备事件组，且，则对任何一个事件 INCLUDEPICTURE d ;/jpk.heut.edu/#ffff66doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image05doc/2006/gailvtongji/skja/skja.fil
8、es/image071.gif; * MERGEFORMATINET 同理? =所以 P(AB)=P(A)P(B,即事件 A,B 相互独立.类似可证,事件 A,C 相互独立,事件 B,C 相互独立，即 A，B，C 两两相互独立，但是而? INCLUDEPICTURE d ;/jpk.heut.edu/#ffff66doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image076.gif; * MERGEFORMATINET 所以 A,B,C 并不相互独立.例 2（详讲）例 3（师讲）例 4（师讲）练习：教材 P35 习题 26小结 独立性的概念及其相关运算作业? 教材
9、 P35 习题 27，2F(x)=PX x称为 X 的分布函数.如果将 X 看成数轴上随机点的坐标,那么,分布函数在处的函数值就表示点X 落入区间(-, INCLUDEPICTURE d ;/jpk.heut.edu/#ffff66doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image09F(x)是单调不减函数;? ?ab,? F(a) F(b)(2)? F(x)是右连续的;例 4（详讲）归纳求分布函数的步骤，说明一个函数作为随机变量的分布函数，必须满足分布函数的全部性质.练习：第二章 习题 14小结 随机变量 X 的分布函数、性质及求法。?作业? 教材 P71
10、第二章习题 15，16?教学后记 强调F（x）表示随机变量 X 落入区间(-，x)的概率。.?第八讲授课内容2.4 连续型随机变量及概率密度课时2教学目的 理解连续型随机变量及概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系.教学重点（难点）概率密度函数的定义、性质.教学课型新授教学方法讲解法、练习法?1.定义： X 是随机变量，F(x)是其分布函数,若存在非负函数f(x),对任意的实数 x，有则称 X 是连续型随机变量，f(x)叫做 X 的概率密度函数。2.概率密度函数的性质：? ? 3分布函数与概率密度函数的关系? 例 1? 例 24.几个重要的分布(1)? 均匀分布? 例 3（详讲）(2
11、)? 指数分布? 例 4（师讲）正态分布的概率密度? 其图形性态在直角坐标系内的图形呈钟形(见图 2.9),在处取得最大值;相对于直线对称；在处有拐点；当士时,曲线以轴为渐近线.当大时,曲线平缓；当小时.曲线陡峭.标准正态分布的概率密度? 分布函数? 和有下面性质1是偶函数: = .2当时,取最大值3=1-证:根据性质 1。,令,=1-4设,则 X 的分布函数? 证：令由此可以看出：若，则注：将正态分布标准化非常重要，重点讲。定理 2.2 定理 2.3?正态分布应用举例例 5（细讲）已知，分别求 X 落入区间，内的概率。解：1)? X 落入内的概率? = INCLUDEPICTURE d ;/
12、jpk.heut.edu/#ffff66doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image152.gif; * MERGEFORMATINET ? (性质 4)? =? = INCLUDEPICTURE d ;/jpk.heut.edu/#ffff66doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image155.gif; * MERGEFORMATINET = INCLUDEPICTURE d ;/jpk.heut.edu/#ffff66doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image156.g
13、if; * MERGEFORMATINET =2? =20.f(x)，g(x) 处处可微且,则 Y=g(X)的概率分布密度函数是其中 =nimg(-), g(+), =maxg(-), g(+)，h(y)是 g(x)的反函数。?例 2 设 X 的概率密度为,且连续,求的概率密度,其中 a,b 为常数且.解:设 Y 的分布函数为,=1)若,则= INCLUDEPICTURE d ;/jpk.heut.edu/#ffff66doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image1doc/2006/gailvtongji/skja/skja.files/image191.gif; * MERGEFORMATINET 得? ?= -综合上述结果,得=因此也是连续型随机变量,其概率密度为? =? ?例3（师指导生看）例 4（略讲）例 5（细讲）归纳求随机变量函数的分布的方法：? ?在求过程中，设法从中解出 X，从而得到与等价的 X 的不等式，并以此代替，再利用 X 的分布，求出相应的概率。
