高中数学集合概念与运算.doc-道客多多

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1、第一讲集合的概念与运算【考点透视】1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2了解空集和全集的意义.3了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合4解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合 x|x P,要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 A B,则有 A= 或 A 两种可能，此时应分类讨论.【例题解析】题型 1 正确理解和运用集合概念理解集合的概念,

3、是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么事实上 M、N 的元素是数而不是点，因此 M、N 是数集而不是点集集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x 21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x 21,xR，这三个集合是不同的例 2.若 P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x 21,xR，则 PQ 等于（）AP BQ C D不知道思路启迪：类似上题知 P 集合是 y=x2（xR）的值域集合，同样 Q 集合是 y= x21（xR）的值域集合，这样 PQ 意义就明确了解：事实上，P、Q 中的代表元素都是 y，它们分别表示函数 y

4、=x2,y= x21 的值域，由P=y|y0,Q=y|y1，知 Q P，即 PQ=Q应选 B例 3. 若 P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x 2,xR，则必有（）APQ= BP Q CP=Q DP Q思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论 P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,xR 相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P 集合是函数值域集合，Q集合是 y=x2,xR 上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物解：正确解法应为： P 表示函数 y=x2的值域，Q 表示抛物线 y=x2上的点组成的点集，因此PQ= 应选 A例 4 若，则 = （）03|1|22

5、xBx， BAA3 B1 C D1思路启迪： |,1|1,3,1.xAB，解：应选 D点评：解此类题应先确定已知集合题型 2集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识例 5. 若 A=2，4, 32 2 7,B=1, 1, 22 2, ( 23 8), aaa1a3 23 7，且 AB=2，5，则实数的值是_a解答启迪：AB=2，5， 32 2 7=5,由此求得 =2 或 =1 A=2,4,5，集合 B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于

6、进一步考查当 =1 时， 22 2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去 =1aa a当 =1 时，B=1,0,5,2,4，与 AB=2，5相矛盾，故又舍去 =1当 =2 时，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此时 AB=2，5，满足题设故 =2 为所求a例 6. 已知集合 A= , b, 2b，B= , c, c2若 A=B，则 c 的值是aa_思路启迪：要解决 c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式解：分两种情况进行讨论（1）若 b= c 且 2b= c2，消去 b 得： c22 c=0，aaa

7、=0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 0ac 22c1=0，即 c=1，但 c=1 时，B 中的三元素又相同，此时无解（2）若 b= c2且 2b= c，消去 b 得：2 c2 c =0，aaa 0，2c 2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又 c1，故 c= 12点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正例 7.已知集合 A=x|x23x2=0,B=x|x 2 x 1=0，且 AB=A，则的值aa为_思路启迪：由 AB=A 而推出 B 有四种可能，进而求出的值A解： AB=A， , A=1，2， B= 或 B=1或 B=2或

8、 B=1，2若 B= ，则令0 得 R 且 2，把 x=1 代入方程得 R，把 x=2 代入方程得 =3a a综上的值为 2 或 3a点评：本题不能直接写出 B=1， 1，因为 1 可能等于 1，与集合元素的互异性矛盾，a另外还要考虑到集合 B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况题型 3要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去例 8.设集合 A= | =3n2,nZ，集合 B

9、=b|b=3k1,kZ，则集合 A、B 的关系是a_ 解：任设 A，则 =3n2=3(n1)1(nZ)， nZ,n1Z. B,故 aAB又任设 bB，则 b=3k1=3(k1)2(kZ), kZ,k1Z. bA，故由、知 A=B点评：这里说明 B 或 bA 的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理a例 9 若 A、B、C 为三个集合，，则一定有（）CBAA . B . C . D . AA考查目的本题主要考查集合间关系的运算.解：由知，，故选 A.,AB例 10设集合 ,则满足的集合 B 的个数是（）1212,3A . 1 B .3 C .4 D . 8考查目的本题考查

10、了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.解：，，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集合,21,23的子集个数问题，所以满足题目条件的集合 B 共有个.故选 C.1 24例 11 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为 x0aP1x Q（I）若，求；3aP（II）若，求正数的取值范围Q思路启迪：先解不等式求得集合和 Q解：（I）由，得 301x13x（II） 2 由，得，又，所以，aPxaP0a即的取值范围是 (2)，题型 4. 要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合

11、的真子集显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误例 12. 已知 A=x|x23x2=0,B=x| x2=0且 AB=A，则实数组成的集合 C 是aa_ 解：由 x23x2=0 得 x=1 或 2当 x=1 时， =2，当 x=2 时， =1这个结果是不完整的，上述解答只注意了 B 为非空集合，实际上，B= 时，仍满足AB=A，当 =0 时，B= ，符合题设，应补上，故正确答案为 C=0，1，2a例 13已知集合，若，则实数的取值范|1Axa 2540x ABa围是思路启迪：先确定已

12、知集合 A 和 B解： |11,xaxa +25404,1.xx 故实数的取值范围是 4,.23.(3)，例 14. 已知集合 A=x|x2(m2)x1=0,xR，若 A = ，则实数 m 的取值R范围是_思路启迪：从方程观点看，集合 A 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2(m2)x1=0 的解集，而 x=0 不是方程的解，所以由 A = 可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于 m 的不等式，并解出 m 的范围解：由 A = 又方程 x2(m2)x1=0 无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，R或=(m 2)244240,m点评：此题容易发生的错误是由 A =

13、只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积R为 1，因为方程无零根），而把 A= 漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言例 15.已知集合 A=x|x23x100，集合 B=x|p1x2p1若 B A，则实数 p 的取值范围是_解：由 x23x100 得2x5 欲使 B A，只须 p 的取值范围是3p313.5p上述解答忽略了“空集是任何集合的子集“这一结论，即 B= 时，符合题设应有：当 B 时，即 p12p1 p2由 B A 得：2p1 且 2p15由3p3 2p3.当 B= 时，即 p12p1 p2由、得：p3点评：从以上解答应看到：解决有关 AB= 、AB= ，A B 等集合问题易忽视

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