1、 第 一 节 集 合 及 其 运 算备考方向要明了考 什 么 怎 么 考1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及
2、元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力，如 2009 年高考 T14. 2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断(2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题，如 2009年高考 T11. 3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或 Venn 图进行集合运算，如 2010 年高考 T1；2011 年高考T1，T14；2012 年高考 T1归纳 知识整合
3、1元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合与元素的关系：若 a 属于 A，记作 aA；若 b 不属于 A，记作 bA.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集及其符号表示：数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N*或 N Z Q R探究 1.集合 Ax |x20， B x|yx 2，Cy|y x 2，D (x，y)|yx 2相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这 4 个集合互不相同，A 是以方程 x20 的解为元素的集合，即 A0；B 是函数 yx 2 的定义域，即 B R；C 是函数 yx 2 的值域，即 Cy |y0 ；D 是
4、抛物线yx 2 上的点组成的集合20 与集合0是什么关系？与集合 呢？提示：00，或 2集合间的基本关系表示关系 文字语言 符号语言相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素 都相同AB 且 BAA B子集 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 AB 或 BA真子集A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个元素不是 A 中的元素AB 或 BA空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 AB(B)探究 3.对于集合 A，B，若 ABAB，则 A，B 有什么关系？提示：AB .假设 AB，则 AB AB，与 ABA B 矛盾，故 AB.3集合的基本运算集合的并集 集合的交集
5、集合的补集符号表示 AB AB若全集为 U，则集合 A 的补集为 UA图形表示意义 x|xA，或 xBx|xA，且xB UAx|xU，且 xA探究 4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗？提示：一般情况下不相同，如 A0,1在全集 B0,1,2中的补集为 BA2，在全集 D0,1,3 中的补集为 DA3自测 牛刀小试1已知集合 M1，m2，m 24，且 5M ，则 m_解析：51，m2，m 24 ，m25 或 m245，即 m3 或 m1.当 m3 时，M1,5,13；当 m1 时，M 1,3,5；当 m1 时 M1,1,5不满足互异性m 的值为 3 或 1.答案：3 或 12(教材改编题)已
6、知集合 A 1,2，若 AB1,2，则集合 B 有_个解析：A1,2，A B1,2，BA，B ，1，2，1,2答案：43(2013南京四校联考)若全集 U0,1,2,3,4，集合 M0,1 ，集合 N2,3，则(UM) N_.解析：0,1,2,3,4，M0,1， UM2,3,4，( U)N2,3答案：2,34定义集合运算：A*B z|zxy，xA，yB ，设 A1,2，B0，2，则集合A*B 的所有元素之和为_解析：zxy，xA，y B，且 A1,2，B0,2，z 的取值有：100；122；200；224.故 A*B0,2,4集合 A*B 的所有元素之和为：0246.答案：65(教材改编题)设
7、集合 Ax|2x 0，且 1A，则实数 a 的取值范围是_解析：(1)集合 Ax R|x 2a1 为非空集合，a10，即 a1.(2)1x| x22x a0，1 x|x 22xa0 ，即 12a0，a1.答案：(1)1， ) (2)(，1集合间的基本关系例 2 已知集合 Ax |00，则 A .x| 1a0 时，若 AB，如图，则Error!即Error!又a0，a2.综上知，当 AB 时，a0 时，若 BA，如图，则Error!即Error!又a0，00)的图象都关于直线 yx 对称1x3在解决以集合为背景的创新交汇问题时，应重点关注以下两点(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此类问题的前提
8、如本题应首先搞清集合 A 与 B的性质，即不等式表示的点集(2)剥去集合的外表，将未知转化为已知是解决此类问题的关键，如本题去掉集合的外表，将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题变 式 训 练 1已知 A( x，y )|y|ln x|，B ，则 AB 的子集个数为x，y|x29 y24 1_解析：AB 中元素的个数就是函数 y|ln x|的图象与椭圆 1 的交点个数，如x29 y24图所示由图可知，函数图象和椭圆有两个交点，即 AB 中有两个元素，故 AB 的子集有 224 个答案：42设集合 My |y|cos 2xsin 2x|，xR ，N Error!，则 MN _.解析：y|cos
9、 2xsin 2x|cos 2x |，且 xR，y0,1，M0,1 在 N 中，xR 且 0，且 2aA，所以 2a2，解得 a1.答案：14(2012辽宁高考改编)已知全集 U0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合 A0,1,3,5,8 ，集合B2,4,5,6,8 ，则 (UA)( UB)_.解析： UA2,4,6,7,9， UB0,1,3,7,9，则( UA)( UB)7,9 答案：7,95已知 S(x，y)|y 1，x R，T (x，y )|x1，yR ，则 ST _.解析：集合 S 表示直线 y1 上的点，集合 T 表示直线 x1 上的点，ST 表示直线y1 与直线 x1 的交点
10、答案：(1,1)6(2013南京四校联考)已知集合 P1，m ，QError!，若 PQ，则整数m_.解析：由条件得 mQ，即10 x|1x，所以 f(f(x)f(x)x.答案：0二、解答题(本大题共 4 小题，共 60 分)11(满分 14 分)A x|21，B x|ax2 ，AB x|12，25a，a3；当 B2时，Error!解得 a3，综上所述，所求 a 的取值范围为a|a3 14(满分 16 分)已知 M(x，y)|yx 2，N(x，y )|x2( ya) 21，AM N .记：|A|表示集合 A 中元素个数(1)若|A |3，求实数 a 的值；(2)若 A ，求实数 a 的取值范围
11、解：(1)由Error!得 y2(2 a1)y a 210，(*)(2a1) 24(a 21)54a.当 a 时，0，方程(*)有两个不等的实根 y1，y 2.54由 x2y0，得方程(*)两根中，一根为正数另一根为 0 时，原方程组有 3 解；方程(*)两根均为负根时，原方程组无解由 a210a1，经验算，a1 时，原方程组有 3 解所以，若|A |3，实数 a1.(2)当 时，原方程无解；14结合 yx 2 与 x2( ya) 21 的图象知，当 a .54故若 A，实数 a 的取值范围是 a .541已知集合 M1,0,1，Nx|xab，a，bM，且 ab，则集合 M 与集合 N的关系是_解析：由于 M1,0,1，所以 x0，1，故 N0，1，所以 NM.答案：NM2设全集 UR，Ax| x 23x 0，B x|x0 时，B x |a0 时，B x |ax3a，a4 或 3a2.0a 或 a4；23当 a0 时，B x |3axa，a2 或 3a4.a0 时成立，综上所述，a 或 a4 时，AB.23(3)要满足 ABx |3x4，显然 a3.
