1、二年名校模拟一年权威预测【模拟演练】1.(2012苏州模拟)用数学归纳法证明(12 2-232)+(342-452)+(2n-1)(2n) 2-2n(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3).2.(2012镇江模拟)已知 n 为任意正整数，用数学归纳法证明|sinnx|n|sinx|(x 为任意值).3.(2012扬州模拟)已知数列a n满足 a2=2，(n-1)a n+1-nan+1=0(nN *)，求数列a n的通项.4.(2012镇江模拟)设 f(n)= 13 (nN *)求证：f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(n2，nN *)5.(2012长沙模拟)若不等式 1an12
2、n24 对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明结论.6.(2012常州模拟)已知点 Pn(an，b n)满足 an+1=anbn+1，b n+1= n21a(nN *)，且点 P1的坐标为(1，-1)(1)求过点 P1，P 2的直线 l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于 nN *，点 Pn都在(1)中的直线 l 上7.(2012苏州模拟)设 f(n)=nn+1，g(n)=(n+1) n,nN *.(1)当 n=1，2，3，4 时，比较 f(n)与 g(n)的大小.(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.8.(2012宿迁模拟)设 f(n)=1+2+3+n，
3、g(n)=1 2+22+32+n2，h(n)=1 3+23+33+n3，根据等差数列前 n 项和公式知 f(n)= n1，且 g1f,2g15f3， 22g347f16，224409f，猜想 gn1f3，即 2n12n1gf36A.(1)请根据以上方法推导 h(n)的公式；(2)利用数学归纳法证明以上结论.【高考预测】数学归纳法是高考中的常考内容之一，高考对该考点的考查主要侧重于对数学归纳法原理的理解和用其来证明与正整数有关的命题，常与数列、函数、解析几何等内容结合在一起考查，题型主要以解答题为主.对于该部分内容的命题预测点如下：命题角度 高考预测数学归纳法的原理 1,2归纳猜想的应用 3,5
4、数学归纳法的应用 4,6,71.对于 nN *，用数学归纳法证明：1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-1)2+n1= 16n(n+1)(n+2).2.平面内有 n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这 n 个圆将平面分成 n2-n+2 个部分.3.已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1= 23，满足 Sn2+2Sn+1=anSn(n2).(1)计算 S1，S 2，S 3，S 4，猜想 Sn的表达式.(2)用数学归纳法证明上式.4.用数学归纳法证明：1 2-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).5.已知数列a n的通项公式 an=21(n
5、N *)，f(n)=(1-a 1)(1-a2)(1-an)，试通过计算 f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出 f(n)的值6.设数列a n满足 a1=1，a 2=2，2n1a求证：(1)a n+1=an+ ；(2)2a n+12-an237.已知数列a n：a 1=1，a 2=2，a 3=r，a n+3=an+2(nN *)，与数列b n：b 1=1，b 2=0，b 3=-1，b 4=0，b n+4=bn(nN *)记 Tn=b1a1+b2a2+b3a3+bnan(1)若 a1+a2+a3+a12=64，求 r 的值；(2)求证：T 12n=-4n(nN *).答案解析【模拟演练】1.【证
6、明】当 n=1 时，左边=-14，右边=-127=-14，等式成立，假设当 n=k 时等式成立，即有(12 2-232)+(342-452)+(2k-1)(2k) 2-2k(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3).那么当 n=k+1 时，(122-232)+(342-452)+(2k-1)(2k) 2-2k(2k+1)2+(2k+1)(2k+2) 2-(2k+2)(2k+3)2=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)4k 2+3k+2(6k+7)=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)(k
7、+1)+1 4(k+1)+3.这就是说，当 n=k+1 时等式也成立.根据以上论证可知等式对任意 nN *都成立.2.【解题指南】用数学归纳法证明三角问题时分为两个步骤，第一步，先证明当 n=1 时，结论成立；第二步，先假设当 n=k 时结论成立，利用此假设结合三角函数的和角公式以及三角函数值的有界性，证明当 n=k+1 时，结论也成立即可.【证明】当 n=1 时，结论显然成立.假设当 n=k 时结论成立，即|sinkx|k|sinx|.当 n=k+1 时，|sin(k+1)x|=|sinkxcosx+coskxsinx|sinkxcosx|+|coskxsinx|=|sinkx|cosx|+
8、|coskx|sinx|k|sinx|+|sinx|=(k+1)|sinx|.故当 n 为任意正整数时，结论均成立.3.【解题指南】本题考查的知识点是数列的相关性质及数学归纳法.由(n-1)a n+1-nan+1=0，a 2=2，我们可以依次求出数列的前 n 项，分析规律后，可归纳出数列的通项公式，但归纳推理的结论不一定正确，故我们可以用数学归纳法，对归纳推理的结论再进行证明.【解析】当 n=1 时，a 1=1，由 a2=2，可得 a3=3，猜想 an=n.证明如下：当 n=1，2 时，猜想成立，当 n2 时，递推式为(n-2)a n-(n-1)an-1+1=0，假设 n=k(k2,kN *)
9、时，a k=k.故当 n=k+1 时，(k-1)a k+1-kak+1=0，即(k-1)a k+1-k2+1=0，k2，k-10,a k+1=k+1，即 n=k+1 时猜想成立，对任意 nN *均有 an=n.即a n的通项为 an=n(nN *).4.【证明】(1)当 n=2 时，左边=f(1)=1，右边=21+ 12-1=1，左边=右边，等式成立(2)假设 n=k(k2，kN *)时，结论成立，即 f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1 ，那么，当 n=k+1 时，f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)f(k+1)
10、- 1k-k=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)f(k+1)-1 ，当 n=k+1 时结论仍然成立f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(n2，nN *)【方法技巧】应用数学归纳法证题时的要点(1)验证是基础，找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1.(2)递推是关键，正确分析由 n=k 到 n=k+1 时式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律.(3)利用假设是核心，在第二步证明中要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心.5.【解析】当 n=1 时， 11a234 ,即 26a ,所以 a26.而 a 是正整数，所以取 a=25,下面用数学归纳法证明：
11、 125n3n4 .(1)当 n=1 时，已证；(2)假设当 n=k(k1,kN *)时,不等式成立，即 k12k12 .则当 n=k+1 时，有 1k231k23k4k1 514k4 .因为 2632918226k1k39所以 03k4k1 .所以 1252314 ，所以当 n=k+1 时不等式也成立.由(1)(2)知，对一切正整数 n，都有 251n2314 ,所以 a 的最大值等于 25.6.【解析】(1)由 P1的坐标为(1，-1)知 a1=1，b 1=-1 221b4a3a 2=a1b2=3点 P2的坐标为( 13， ) 直线 l 的方程为 2x+y=1(2)当 n=1 时，2a 1
12、+b1=21+(-1)=1 成立假设 n=k(kN *，k1)时，2a k+bk=1 成立，则当 n=k+1 时，2a k+1+bk+1=2akbk+1+bk+1= k2b14a(2ak+1)= kkb12a，当 n=k+1 时，命题也成立由知，对 nN *，都有 2an+bn=1，即点 Pn在直线 l 上7.【解析】(1)f(1)g(1),f(2)g(2),f(3)g(3),f(4)g(4).(2)猜想：当 n3，nN *时，有 nn+1(n+1) n.证明：当 n=3 时，由(1)知猜想成立.假设当 n=k(k3,kN *)时猜想成立，即 kk+1(k+1) k， 1k1.(k+1) 2k
13、(k+2), k12 , k k1kk1()() AA .故(k+1) k+2(k+2) k+1,故当 n=k+1 时也成立.由知，对一切 n3，nN *，n n+1(n+1) n都成立.8.【解析】(1)由 3h12f, 3h1293f2，33h264f1， 3341045f，猜想 nf2，即 2n1nh24A.(2)求证：1 3+23+33+n3= 24.证明：当 n=1 时，左边=1，右边=21=1=左边，即当 n=1 时，式子成立；假设当 n=k(kN *)时，1 3+23+33+k3= 2k14成立，则当 n=k+1 时，1 3+23+33+k3+(k+1)3=2+(k+1)3=(k
14、+1)2 k14222k4k1k4 .即当 n=k+1 时，原式也成立.综上所述，1 3+23+33+n3= 2n14对任意 nN *都成立.【高考预测】1.【证明】设 f(n)=1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-1)2+n1.(1)当 n=1 时，左边=1，右边=1，等式成立；(2)假设当 n=k 时等式成立，即 1k+2(k-1)+3(k-2)+(k-1)2+k1=16k(k+1)(k+2)，则当 n=k+1 时，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)1=f(k)+1+2+3+k+(k+1)= 6k(k+1)(k
15、+2)+ 12(k+1)(k+1+1)=1(k+1)(k+2)(k+3).由(1)(2)可知当 nN *时等式成立.2.【证明】(1)n=1 时，1 个圆将平面分成 2 部分，显然命题成立.(2)假设 n=k(kN *)时，符合条件的 k 个圆将平面分成 k2-k+2 个部分.当 n=k+1 时，第 k+1 个圆 Ck+1交前面 k 个圆于 2k 个点，这 2k 个点将圆 Ck+1分成 2k 段，每段各自所在区域一分为二，于是增加了 2k 个区域，所以这 k+1 个圆将平面分成 k2-k+2+2k 个部分，即(k+1) 2-(k+1)+2 个部分.故 n=k+1 时，命题也成立.由(1)(2)
16、可知，对任意 nN *命题成立.【方法技巧】数学归纳法的基本形式设 P(n)是关于正整数 n 的命题，若P(n 0)成立(奠基)；假设 P(k)成立(kn 0)，可以推出 P(k+1)成立(归纳)，则 P(n)对一切大于等于 n0的正整数 n 都成立.3.【解题指南】(1)由题设可得2nnS1a，求得 S1,S2,S3的值，猜测 Sn的表达式.(2)猜想 n1S2，nN *，用数学归纳法证明，检验 n=1 时，猜想成立；假设 Sk=k，则当 n=k+1 时，由条件可得，2k1k1S2，解出 Sk+1= 23，故n=k+1 时，猜想仍然成立.【解析】(1)由题意知 Sn2+2Sn+1-anSn=
17、0，2nS1=an-2(n2，nN *)，S1=a1= 3，令 n=2 可得，2=a2-2=S2-a1-2， 2S3,S 2= 34.同理可求得 S3= 45，S 4= 6.猜想 n2，nN *.(2)用数学归纳法证明：当 n=1 时，S 1=a1= 3，猜想成立.假设当 n=k 时猜想成立，即 Sk= 12，则当 n=k+1 时，2nS1=an-2,2k1S=ak+1-2,2k1=Sk+1-Sk-2, k1k32S,S k+1= 3,当 n=k+1 时，猜想仍然成立.综合可得，猜想对任意正整数都成立，即 Sn= 12,nN *成立.4.【证明】(1)当 n=1 时，左边=1 2-22=-3，
18、右边=-1(2+1)=-3，故左边=右边，当 n=1时，等式成立；(2)假设 n=k 时，等式成立，即 12-22+32-+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立，那么 n=k+1 时，左边=1 2-22+32-+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-4(k+1)2=(2k+1)(2k+1)-k-4(k+1) 2=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)2(k+1)+1综合(1)(2)可知，等式 12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)对于任意正整数都成立.5.【解析】f(1)=1-a 1= 34，f(2)=(1-a1)(1-a2
19、)=f(1)(1-9)= 846，f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)(1- 1)= 253，由此猜想，f(n)= n(nN *)6.【解题指南】(1)利用数学归纳法证明；(2)由条件得到 an+12-an2= 1+2，再根据 2n1a的范围求解.【证明】(1)当 n=1 时，显然由已知可得 an+1=an+ 1成立假设 n=k(k1,且 kN *)时，a n+1=an+ 成立，即 ak+1=ak+ ，则当 n=k+1 时，根据题意有 22k1 kk12aa()AA2kk1a， 2k21k1aA，当 n=k+1 时，a n+1=an+ 1a成立由可知，对任意 nN *，a
20、n+1=an+ 成立(2)由(1)知 an+1=an+ 1，a n+12-an2= 1+2又由 a1=1，a n+1=an+ 易知 an1，0 2n1 2 2n1+23 ，2a n+12-an237.【解题指南】(1)根据数列的特点求得数列的和，再求 r 的值；(2)用数学归纳法证明.【解析】(1) a 1+a2+a3+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.48+4r=64,r=4.(2)用数学归纳法证明：当 nN *时，T 12n=-4n.当 n=1 时，T 12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立 假设 n=k 时等式成立，即 T12k=-4k,那么当 n=k+1 时，T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1) ,等式也成立根据和可以断定：T 12n=-4n(nN *).
