1、14.1.2 直角三角形的判定课前知识管理1.勾股定理的逆定理“如果三角形三边分别为 a、b 、c，且满足 a b c .那么这个三角形是直角三角22形 ” 我们在判断一个三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个逆定理如图所示，在ABC 中，如果 AC BC AB ，那么ABC 就是直角三角形 222勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别联系：（1）两者都与 a b c 有关， （2）两者所讨论的问题都是直角三角形.2区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系， “a b c ”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a b c ”为条件，进
2、而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直22角三角形的一个方法 名师导学互动来源:学优高考网 gkstk典例精析：知识点：勾股定理逆定理例 1、已知三角形的三边长分别为7，40，42； 53， 4，1；2mn， （m 2-n2） ，（m 2+n2） 2，是直角三角形的序号是 .【解题思路】运用勾股定理的逆定理判断.对于7 2+402=49+1600=1649 ，42 2 末位是 4，故72+40242 2；对于 （ 53） 2+（ 4） 2= 9+ 6= =1；对于（2mn） 2+（m 2n 2）2=4m2n2+m42m 2n2+n4=m4+2m2n2+n4=（m 2+n2） 2
3、.【解】填.【方法归纳】如果三角形的三边长 a、b、c（c 为最大边）有下面关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.对应练习：如图所示，在某市的地图上有三个景点 A、B、C，已知景点 A、B 之间的距离为 04cm，景点 C、D 之间的距离为 03cm，景点 A、C 之间的距离为 05cm，问这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？知识点 2：勾股定理及其逆定理的综合运用例 2、 如图，在四边形 中， ，且 ， ， ，ABCD903AB12C3D，求四边形 的面积4AD【解题思路】连接 ，由已知条件，易知 ，抓住数字特征：“ ， ， ”,联BD5BD5123想勾股定理的逆定
4、理，可得 是直角三角形，于是，求出 与C RtABD的面积之和，即为四边形 的面积RtC A【解】连接 ，由 ，知 是直角三角形，由勾股定理，得90又 ，即 ，所以2BA2345221322C是直角三角形于是， ，CD 46ABDS， 11202BS 306ABDCABCS 四 边 形【方法归纳】在运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，一是要根据三角形中的三条边，看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方；二是注意将一组勾股数同时扩大或缩小同样的倍数所得数仍是勾股数 对应练习：如图，ABC 和DCE 都是边长为 2 的等边三角形，点 B、C 、E 在同一条直线上，连结 BD，则 BD
5、2 的长为 .知识点 3：运用勾股定理逆定理判定三角形的形状例 3、已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是a、b、c，a=n 21，b=2n，c=n 21（n1）判定ABC 是否为直角三角形【解题思路】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大分别用代数方法计算出 a2+b2和 c2的值判断 a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形【解】由于 a2+b2=（n 21） 2（2n） 2=n42n 21，c 2=（n 21） 2= n42n 21，从而a2+b2=c2，故可以判定ABC 是直角三角形【方法归纳】要证C=
6、90，只要证ABC 是直角三角形，并且 c 边最大，根据勾股定理的逆定理只要证明 a2+b2=c2即可知识点 3：运用勾股定理逆定理计算线段长度例 4、如图，在 ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求 DC 的长【解题思路】已经知道了 AD=12，AC=15，要求 DC 的长，只需知道ADC 为直角即可，而ABD 的三边知道，可以由勾股定理逆定理判定ADB 为直角，从而得出ADC 为直角.【解】在 ABD 中，由 AD2+BD2=122+52=132=AB2,可知 AD2+BD2=AB2，则由勾股定理的逆定理知ADB= 90，在 RtADC
7、中，DC 2 =152-122=81=92.所以 DC=9.【方法归纳】当题目中要求的问题与线段的长有关时，用勾股定理来解答是常见思路.对应练习：已知:如图,在ABC 中,AB=17,BC=16,BC 边上的中线 AD=15.求证: ABC 为等腰三角形.知识点 4：运用勾股定理逆定理计算图形面积例 4、如图所示，在四边形 ABCD 中，A=90，且 AB=9，BC=20，CD=12，求四边形 ABCD的面积. 【解题思路】连结 BD,如图,由已知条件易知 BD=15,通过观察“15,20,25”这组数,可知这组数是我们熟悉的一组勾股数,那么根据勾股定理的逆定理可得BCD 是直角三角形,于是,
8、求出 RtABD 与 RtBCD 的面积之和,即可求得四边形 ABCD 的面积.【解】连结 BD,如图.由A=90知ABD 是直角三角形,根据勾股定理得BD2=AB2+AD2=92+122=225=152，所以 BD=15.又因为“15、20、25”是一勾股数,即 152+202=252,故 BD2+BC2=CD2，则根据勾股定理的逆定理可得BCD 是直角三角形,故有： 1501,5419221ABD BCDSSBCS 四边形 ABCD=SABD +SBCD =54+150=204.【方法归纳】要求三角形的面积，首先要确定这个三角形的形状，是否是直角三角形，可由直角三角形的判别方法来判别，如果
9、是直角三角形，它的面积就易于求得，若不是直角三角形，其面积也能求出，但过程相对要繁琐些.对应练习：有如图所示的一块地,已知 AD=4 米,CD=3 米, AB=13 米,BC=12 米,90ADC求这块地的面积.知识点 5：运用勾股定理逆定理证两角互补例 5、已知:如图,AB=20,BC=15,CD=7,DA=24, .求证:A 与C 互补.09B【解题思路】由勾股定理,求得 AC,加上其他条件,再由勾股定理的逆定理知ADC 也为直角三角形,再求得角度的关系.【解】连结 AC,在 RtABC 中,由勾股定理,得 而在ADC 中,.625012AC故由勾股定理的逆定理知ADC 也为直角三角形.6
10、2574222 ACCDADAB+DCB= -B-D= 即A 与C 互补.03 ,1809300【方法归纳】在ADC 中运用勾股定理逆定理判断三角形形状，进而计算出D 的度数.对应练习：如图,正方形 ABCD 的边长为 4,E 是 BC 的中点,F 在 CD 上,且 DF=3CF.求证:AEEF.（提示：连接 AF）知识点 6：运用勾股定理逆定理求角度数例 6、在四边形 ABCD 中,已知：AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且 求DAB.,90B【解题思路】根据 AB:BC=2:2, 所以ABC 是等腰直角三角形，所以,90B再根据勾股定理的逆定理判定,450BAC .DAC【解】连结
11、AC,设 DA=x,则 AB=BC=2x,CD=3x.故在 RtABC 中, 由勾股定理，,450BAC得 由勾股定理的逆定理知DAC 为直角三角形，.82222 xxBCA故,90D1359040【方法归纳】已知线段的比时，可引入辅助元素来表示.对应练习：如图所示，在ABD 中，A 是直角，AB3，AD 4，BC12，DC12，求BDC 的度数.知识点 7：勾股数例 7、下列各组数是勾股数是的有 （只填序号）.12，15，18； 3，4，5； 1.5，2，2.5.【解题思路】因为 ，所以 ，所以 12、15、1832418,6951222185不是勾股数；因为 ，所以 ，所以 3，4，5 是
12、勾股数；虽43然 ，但 1.5、2.5 不是整数，所以 1.5、2、2.5 不是勾股数.22.5.1【解】填.【方法归纳】满足 的三个正整数称为勾股数。每组勾股数的整数倍仍是勾股数，例如 3、4、5 是一组勾股数，3、4、5 的 2 倍 6、8、10，3 倍 9、12、15 等都是勾股数.给定三个正整数，只要能验证其中最大的数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾股数.对应练习：试说明 （其中 大于 1 的正奇数）是一组勾股数.21,2nn易错警示1、审题不仔细，受定势思维影响例 8、 在 ABC 中， 的对边分别为 ，且 ，则（ ,ABC,abc2()abc）（A） 为直角 （B） 为
13、直角 （C） 为直角 （D）不是直角三角形B错解：选（B）错解分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为 ，因而有同学就习惯性C的认为 就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件C应转化为 ，即 ，因根据这一公式进行判断.22abc2abc正解： ， .故选（A ）2、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理例 9、 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）来源:gkstk.Com（A）1、2、3 （B） （C） （D） 来源:学优高考网23,451,233,45错解：选（B）错解分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式
14、.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足 的形式.22abc正解：因为 ，故选（C）.22213课堂练习评测考点 1：用勾股定理逆定理判定三角形形状1、三角形的三边为（1）9，40，41；（2）4，6，8；（3）6，8，10；（4）5，13，12；（5）24，25，7；（6）8，15，16，其中能构成直角三角形的有（ ）A、3 组 B、4 组 C、5 组 D、6 组2、如图所示，A、B、C 分别表示三个村庄， AB1000 米，BC 600 米，AC800 米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P 点的位置
15、应在（ ）.（友情提醒：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.）AAB 中点 BBC 中点CAC 中点 DC 的平分线与 AB 的交点3、若三角形的三条边 满足关系式 ，则此三角形形状是 abc， ， 42240abc考点 2：用勾股定理逆定理计算角的度数4、如图，在四边形 中， ，且 ，求：ABCD:31CDA9B的度数B考点 3：用勾股定理计算线段长度5、Rt ABC 中，BAC=90 ，AB=AC=2，以 AC 为一边，在ABC 外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段 BD 的长为 . 考点 4：勾股数6、有一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据
16、弄混了，请你帮助他找出来，是下列选项中的（ ）.A.13、12、12 B.12、12、8 C.13、10、12 D.5、8、47、下列四组数：（1）9，12，15；（2）7，24，25；（3） ；（4）3 ，4 ，525,a（ 0）中，可以构成直角三角形的边长的有（ ）aA.4 组 B.3 组 C.2 组 D.1 组课后作业练习1、在 RtABC 中，若 AC ，BC ，AB4，则下列结论中正确的是（ ） 31AC90 BB90CABC 是锐角三角形 DABC 是钝角三角形2、直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 仍是直角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 是
17、锐角三角形 D. 是钝角三角形3、设一个直角三角形的两条直角边长为 、 ，斜边上的高为 ，斜边长为 ，则以 abhc， ， 为边的三角形的形状是（ ） chabA. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定4、有四个三角形：（1）ABC 的三边之比为 345；（2）ABC的三边之比为 51213；（3）ABC的三个内角之比为 123；（4）CDE 的三个内角之比为 112，其中直角三角形的有（ ） A （1） （2） B （1） （2） （3） C （1） （2） （4） D （1） （2） （3） （4）5、在下列说法中是错误的（ ） A在ABC 中，C=A-B，则AB
18、C 为直角三角形B在ABC 中，若ABC=523，则ABC 为直角三角形C在ABC 中，若 a= c，b= c，则ABC 为 Rt54D在ABC 中，若 a：b：c=224，则ABC 为直角三角形6、下列线段不能组成直角三角形的是（ ） Aa=6，b=8，c=10 Ba=1，b=2，c=6Ca= ，b=1，c= Da=2，b=3，c=543137、三角形的三边长分别为 a2b 2、2ab、a 2b 2（a、b 都是正整数） ，则这个三角形是（ ）A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定8、已知三角形的三边长分别是 ， ， ，当 _时，这个三角形3n42856n是直角三角形9、已知两
19、条线段的长为 3cm 和 2cm，当第三条线段的长为 cm 时，这三条线段能组成一个直角三角形. 来源:学优高考网 gkstk10、三条线段 m、n、p 满足 m2 一 n2 p2，以这三条线段为边组成的三角形为 .11、如果 3 条线段的长 a，b，c 满足 c2=a2-b2，那么这 3条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？12、根据三角形的三边 ， ， 的长，判断三角形是不是直角三角形：（1） 11， 60， 61 （2） ， 1， abca3bc4513、小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知 ，求 的长2CDA14、如图所示，AD
20、BC，垂足为 D，如果 CD=1，AD=2，BD=4，那么BAC是直角吗？请说明理由15、如图所示，ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线 AD=24，求 AC16、如图，是一个机器零件示意图，ACD=90是这种零件合格的一项指标。现测得AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，AD=13cm，ABC=90，根据这些条件，能否知道ACD 等于 90？CD AB17、如图，供电所李师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与地面垂直，因此，从离地面6m 的处向地面拉一条长 6.5m 的钢绳，现测得地面钢绳固定点 A 到电线杆底部 B 的距离为2.5m，请问：张师傅的安装方法是否符合要求？
21、请说明理由14.1.3 对应练习答案1.解：因为 03 04 05 ，所以这个三角形一定是直角三角形2222.答案：解：作 DFBE 于 F，因为DCE 为等边三角形，所以 DF 也是DCE 的中线，所以 BF=BC+CF=2+1=3，在 RtDFC 中，由勾股定理得 DF2=DC2-CF2=22-12=3.在 RtDFB 中，由勾股定理得 BD2=BF2+DF2=32+32=18.3.解:BC=16,AD 为 BC 边上的中线,DC=BD= 而 AD=15,AB=17,81BC由勾股定理的逆定理知ADB 为直角三角形17891522222 ABDAADBC, 故ADC 为直角三角形.又由勾股
22、定理,得AC= ABC 为等腰三角形222C4.解:连结 AC. ADC 为直角三角形,由勾股定理,得 .5243222 ADC而 由勾股定理的逆定理知ACB 也为直角三角形.这块地,1352222 ABBA的面积= (平方米).45ACDBS5.解:E 为 BC 的中点,又正方形边长为 4,DF=3CF,BE=EC=2,FC=1,DF=3.连结 AF,在 RtABE, RtCFE 和 RtFDA 中,应用勾股定理可求得 ,25,202AFEA由勾股定理的逆定理知AEF 为直角三角形, AEEF.,222AFE6.答案：解：DBC=90.理由：在 RtBAD 中，根据勾股定理，得BD AD A
23、B 334225，所以 BD5.在DBC 中，22BD BC 2514416913 CD 所以DBC=90 27.解：因为 ，所以41241222 nn 2241n是一组勾股数.,1,2n课堂作业参考答案：1、答案：B2、解析：在ABC 中， ，,1022AB3602BC，因为 360000+640000=1000000，所以 ，所以64082AC 2ABCABC 是直角三角形，由此可知 A、B 、C 三个村庄恰好位于 RtABC 的三个顶点，要建的活动中心用 P 点来表示，那么我们要寻找的 P 点就是到 A、B、C 这三个点距离相等的点，即满足 PA=PB=PC.根据直角三角形斜边上的中线等
24、于斜边的一半，可以得出所求 P 点应位于 AB 中点，故选 A.3、提示： ， ，即42240abc2222()()0abcab 或 2() 0或 此三角形的形状是等腰三角形或直角三角形2c4、解：设 ，则 ，连接 ， 为等腰三角形，ADa23BCaD， ACB5BC在 中，由勾股定理，得 ，又Rt 228ABa， 由勾股定理的逆定理知 是直229a， 2 CAD角三角形 0459013DCAD ， 5、答案：4 或 或 .516、C7、B课后作业练习参考答案：1、A2、A3、A4、D5、B6、B7、A8、3 9、 或5110、直角三角形.11、是直角三角形.12、 （1） 3721， 372
25、1， ，三角形是直角三角2260ab2c22abc形；（2） ， ， ，三角形不是直角三角22()139251622形13、解： ， ， ，则 .2BDC2BABx2Cx， ， 22()(xx63463AC14、BAC 是直角，理由略.15、解：因为 AD 是边 BC 上的中线，且 BC=20，所以 BD=DC= BC=10.因为12AD2+BD2=576+100=676， AB2=262=676，AD 2+BD2=AB2，所以ADB=90，即 ADBC （勾股逆定理） ，在 RtADC 中，AC= =26（勾股定理）.40ADC16、能，理由略.来源:gkstk.Com17、张师傅的安装方法符合要求AB2.5m ，BC6m ，CA6.5m，ABC9022ABC
