1、1.3.1 单调性与最大(小)值1. 函数单调性的概念一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数如果函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有( 严格的)单调性，区间 D 叫做 yf (x)的单调区间函数单调性的概念从以下四个方面理解：(1) 定义中的 x1，x 2 具有三个特征：任意性，即“任意取 x1，x 2”， “任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不能随意用两个特殊值替换；有大小，通常规定 x10)在(0，
2、 上是减函数，在 ，) 上是增函数aa分析 利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形证明 (1)设 01，所以 0，所以 f(x1)f(x2)所以 f(x)在(0，r(a.,) 上为减函数(2) 设 x 1a.,，所以 0，所以 f(x1)f(x 2)0 恒成立，试求实数 a.,的取值范围分析 对于(1)，将 f(x)变形为 f(x)x 2，其在1 ，)上单调递增，所以 f(x)的最1小值为 f(1)；对于(2)运用好等价转化， 0 (x1 ，)恒成立等价于 x22xa.,0 恒成xa2立，进而解出 a.,的范围解 (1)当 a. 时，f (x)x 2211由定义法可证得 f(x)在 上
3、为增函数，,1，) 为 f(x)的增区间，f(x)在1，)上的最小值为 f(1) 27(3) 在区间1 ，) 上，f(x) 0 恒成立x 22xa.,0 恒成立a2令 yx 22x a.,，x1，) ，则易知 y(x1) 2a.,1 在1 ，)上递增，当 x1 时，y min3a.,于是，当且仅当 ymin3a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a3.点评 单调函数在闭区间上必有最大值和最小值如果 f(x)在区间 D 上有定义，f (x)0 或f(x)0 恒成立，则当且仅当 f(x)min0 或 f(x)ma.,x0 成立若一次函数 yf(x)在区间1,3上的最小值为 1，最大值为 3，则
4、f(x)的解析式为_错解 设 f(x)kxb (k 0) ，则可得 Error!，解得Error! .故 f(x) x .12 32错因分析 出错的主要原因是对一次函数 f(x)kxb (k0) 的单调性没有掌握好事实上，当 k0 时，f(x )在 R 上为增函数；当 k0 时， Error!，解得Error!.当 kf(1)等价于 0.x 1x则不等式解集为x| x1答案 D2(浙江高考)设 f(x)Error!g(x)是二次函数若 fg(x)的值域是 0，)，则 g(x)的值域是( )A(，11 ，)B(，10，)C0，)D1，)解析 作出函数 y=f(x)的图象，如图所示，又 g(x)
5、是二次函数且 fg(x)的值域是0，+)，设 g(x)的值域为 A，则(-1,0) 中的任何元素 xA 且0,1)A，排除 A，D. 又 g(x)作为二次函数，且值域不可能是 B(- ，-1 0，+)，排除 B.答案 C1函数 f(x)2x 2mx3，当 x(，2 时是减函数，x2，)时是增函数，则 f(1)等于( )A3 B13C7 D由 m 而定的常数答案 B解析 对称轴为 x ， 2，m8，m4 m4f(x)2x 28x 3.f(1) 13.2若区间1，)是函数 y(a1)x 21 与 y 的递减区间，则 a 的取值范围为( )xaAa0 Ba 1C0a1 D0 ，故所求函数的最大值为
6、6.16.函数(3k1)x b 在 R 上是减函数，k 的取值范围是_答案 k0， x1x210 ，(x 1)(x 1)0.21 2所以当 a0 时，f(x 1)f (x2)0，即 f(x1)f(x2)当 a0 时，f(x) 在(1,1)上是减函数当 a2，即 t1 时，截取增区间上的一段， g(t)=f(t)=t2-2t+2，如图所示综上可知，g(t)Error!1 3.1 单调性与最大(小)值( 一)学习目标1理解单调性的定义2运用单调性的定义判断函数的单调性预习自测1一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：(1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2，当
7、 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数(3)如果函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x )在这一区间具有(严格的 )单调性 ，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间2a.0 时，二次函数 ya.x2 的单调增区间为 .0， )3k0 时，y kxb 在 R 上是增函数4函数 y 的单调递减区间为(，0) 和(0，)1x.一、利用图象求单调区间例 1 求下列函数的单调区间(1)f(x)3|x|；(2)f(x)x 22|x |3.分析 由函数的图象来确定函数的单调性是一种直观、简单的方法，若图象从左向右连续上升( 下降)，则称函数在该区间上是
8、单调递增(减) 的解 图(1)(1)f(x) 3|x|Error!图象如图(1)所示f(x)在( ，0上是减函数，在0，) 上是增函数(2)f(x) Error!图(2)其图象如图(2)所示由此可知：yf( x)在( ，1 ，0,1上是增函数yf(x) 在 1,0，1，)上是减函数点评 函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调因此，只要单调区间端点使 f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“”符号连接它们变式迁移 1 写出下列函数的单调区间(1)f(x)ax 2b
9、xc (a0)；(2)f(x) 1.x2|x|解 (1)a0 时，递增区间为 ，,2b递减区间为 ；a,a0.f(x 1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)x 在(0,1)上是减函数1x点评 证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义其步骤为(1)取值( 注意x1、x 2 的任意性)；(2)作差变形( 目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论变式迁移 2 (1)例 1 中若区间改为(1 ，)，单调性如何改变？(2)利用单调性的定义证明函数 y 在(1，) 上是减函数x 2x 1(1)解 单调递增(2)证明 设 x1x21，则 y1y 2 ，x1 2x1 1
10、x2 2x2 1 x2 x1(x1 1)(x2 1)x 1x21，x 2x 10 ，x 210 ， 0，则判断 f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值作比变形与 1 比较判断” 一、选择题1下列说法中正确的有( )若 x1，x 2I，当 x1f(5)；y1x的单调递减区间不是(， 0)(0，) ，而是(， 0)和(0，)，注意写法1x2设(a，b) ，( c，d)都是函数 f(x)的单调增区间，且 x1(a，b) ，x 2(c，d)，x 1f(x2)Cf(x 1)f( x2) D不能确定答案 D解析 根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小3下列函数在区间(2， )上为减函数的为( )
