第一章集合与函数的概念.doc-道客多多

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1、1.1.1 集合的含义与表示1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象组成的整体叫做集合（简称集）。（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。例题：1）、设 a,b 是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2_ 奎屯王新敞新疆ba2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合奎屯王新敞新疆记作 N， ,210（2）正整数集：非负整数集内排除 0 的集奎屯王新敞新疆记作 N*或 N+,321*N（3）整数集：全体整数的集合奎屯王新敞新疆记作 Z , ， 21（4）有理数集：全体有理数的集合奎屯王新敞新

2、疆记作 Q , 整数与分数Q（5）实数集：全体实数的集合奎屯王新敞新疆记作 R数数轴上所有点所对应的R插入概念记忆复习3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 aA（2）不属于：如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可奎屯王新敞新疆（2）互异性：集合中的元素没有重复奎屯王新敞新疆（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、集合通常用大写的

3、拉丁字母表示，如 A、B、C、P、 Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如 a、b、c、p、q“”的开口方向，不能把 aA 颠倒过来写奎屯王新敞新疆例如：下列各组对象能确定一个集合吗？（1）好心的人奎屯王新敞新疆（不确定）（2）1，2，2，3，4，5 （有重复）（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合奎屯王新敞新疆例如，1）由方程的所有解组成的集合，可以表示为-1 ，1012x注：（1）有些集合亦可如下表示：从 51 到 100 的所有整数组成的集合：51，52，53， 100所有正奇数组成的集合：1， 3，5，7，（2）a

4、与a不同：a 表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素奎屯王新敞新疆2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法奎屯王新敞新疆格式：xA| P（x）含义：在集合 A 中满足条件 P（x）的 x 的集合奎屯王新敞新疆例如，不等式的解集可以表示为： xR| x523所有直角三角形的集合可以表示为： |是直角三角形注：（1）在不致混淆的情况下，可以 xR 或者 xZ 可以省略，只写其元素 x 或者Z；如上式可表达为 x | x53、何时用列举法？何时用描述法？有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便

6、含任何元素的集合奎屯王新敞新疆记作，如： 01|2xR例题:1、重难点手册 P6，易错误区：例 13、例 14、例 152、重难点手册 P8 高考真题分类：例 33、关于 x 的方程 axb=0，当 a,b 满足条件_时，解集是有限集；当 a,b 满足条件_ 时，解集是无限集。由 ax+b=0 得 ax=-b；当 a0 时方程的解为 x=-b/a，解集为有限集；当 a=0,b0 时方程无解，即解集为空集；当 a=0 且 b=0 时方程的解集为全体实数，即解集为无限集。1.1.2 集合间的基本关系（一）集合与集合之间的“包含”关系；A=1，2，3，B=1，2，3，4集合 A 是集

7、合 B 的部分元素构成的集合，我们说集合 B 包含集合 A；如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集（subset）。记作： )(或读作：A 包含于（is contained in）B，或 B 包含（contains）A用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 )(A或（二）集合与集合之间的 “相等”关系；，则中的元素是一样的，因此AB且 BAB A即 AB（三）真子集的概念若集合，存在元素，则称集合 A 是集合 B 的真子集x且（proper subset）。记作：A B（或 B A）读作：A 真包含于 B（或

8、 B 真包含 A）举例（由学生举例，共同辨析）例如： 0,1_N（四）空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（五）几个重要的结论：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）任何一个集合是它本身的子集；（4）对于集合 A，B，C，如果，，且，那么。BCA说明: 1 注意集合与元素是“属于“不属于“的关系，集合与集合是“包含于“不包含于“的关系；2 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。例题：写出集合a，b， c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（六）小结1概念

9、：子集、集合相等、真子集2. 用 Venn 图表达集合间的关系3. 元素与子集、属于与包含之间的区别4. 几个重要的结论例题：重难点手册 P14：例 11、例 12、例 13、例 14、例 151.1.3 集合的基本运算1. 并集一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合A 与 B 的并集（Union）记作：AB 读作：“A 并 B”即： AB=x | xA，或 xBVenn 图表示：ABA B?说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。例题（P8-9 例 4、例 5 及教辅资料重难点手册 P

10、18 例 2)说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。问题：在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合 A 与 B 的交集。2. 交集一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与B 的交集（intersection）。记作：AB 读作：“A 交 B”即： AB=x|A，且 xB交集的 Venn 图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。例题（P9-10 例 6、例 7 及教辅资料重难点手册 P19 例 5）拓展：求

11、下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集3. 全集与补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作 U。补集：对于全集 U 的一个子集 A，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集（complementary set）,简称为集合 A 的补集。即：C UA=x | xU 且 xA补集的 Venn 图表示A BA(B) A B BAB A AUC说明：补集的概念必须要有全集的限制例题（P11 例

12、 8、例 9 及教辅资料重难点手册 P20 例 8）4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5. 集合基本运算的一些结论：着重分析，课画图说明AB A，AB B，AA=A，A = ,AB=BAA AB，B AB，AA=A，A =A,AB=BA（C UA）A=U，（C UA）A= 若 AB=A，则 A B，反之也成立若 AB=B，则 A B，反之也成立若 x（AB），则 xA 且 xB若

13、x（AB），则 xA，或 xB例题：教辅资料重难点手册 P25 易错误区：例 19、例 20、例 21P28 高考真题：例 101.2.1 函数的概念教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x) ”的含义，函数定义域和值域的区间表示；（一）函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function）记作： y=f(x)，x A其中，x 叫做自变量，x 的取值范围

14、 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域（range）注意：“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x) ”； 1函数符号“y=f(x) ”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x 22 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。4一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1求函数定义域课本 P17 例 1解：（略

15、）说明：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； 1如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这 2个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。 3巩固练习：课本 P19 第 1 题2判断两个函数是否为同一函数课本 P18 例 2解：（略）说明：构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决 1定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数 2值的字母无关。巩固练习：课本 P19 第

16、2 题 1判断下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ 2（1）f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1（2）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 3. 映射复习初中已经遇到过的对应：对于任何一个实数 a，数轴上都有唯一的点 P 和它对应； 1对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对(x,y) 和它对应； 2某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 3（1）什么叫做映射？一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对

17、于集合A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（mapping）记作“f：A B”说明：1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述2） “都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。例题：重难点手册：P41 例 5重难点手册：P33求值域的 5 种常用方法：1. 观察法2. 配方法3. 判别式法4. 换元法5. 分离常数法例题：重难点手册 P35：例 13、例 14课题：1.

18、2.2 函数的表示法教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象一、引入课题1. 复习：函数的概念；2. 常用的函数表示法：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法二、新课教学（一）典型例题例 3某种笔记本的单价是 5 元，买 x (x1 ，2，3，4，5) 个笔记本需要 y 元试用三种表示法表示函数 y=f(x) 分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表解：（略）注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一 1

19、个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域； 2图象法：是否连线； 3列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 4巩固练习：课本 P23 练习第 1 题例 4下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班平均分 882 783 854 803 757 826请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分

20、析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变 1化特点；巩固练习：课本 P23 练习第 2 题例 5画出函数 y = | x | 解：（略）巩固练习：课本 P23 练习第 3 题例 6某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1） 5 公里以内（含 5 公里），票价 2 元；（2） 5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元（不足 5 公里按 5 公里计算）如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义根据实际情

21、况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值解：设票价为 y 元，里程为 x 公里，由题意可知，自变量 x 的取值范围是（0，20由票价制定的规定，可得到以下函数解析式：5432y015x根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：注意：本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； 1说明：像上面两例中的函数，称为分段函数注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法求解析式的常用方法：本块内容需分别展开详细介绍1. 代入法2. 待定系数法3. 拼凑法4. 换元法5. 方程组法6. 赋值法例题：重难点手册：P42 例 7

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