1、1,第6章 图,2,第6章 图,6.1 图的基本概念 6.2 图的连通性 6.3 图的矩阵表示 6.4 几种特殊的图,3,6.1 图的基本概念,6.1.1 无向图与有向图 6.1.2 顶点的度数与握手定理 6.1.3 简单图、完全图、正则图、圈图、 轮图、方体图 6.1.4 子图、补图 6.1.5 图的同构,4,无序对与多重集合,无序对: 2个元素构成的集合, 记作(a,b) 无序积: AB=(x,y) | xAyB 例如 A=a,b,c, B=1,2AB=BA=(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2) AA=(a,a), (a,b), (a,c), (
2、b,b), (b,c), (c,c)BB=(1,1), (1,2), (2,2)多重集合: 元素可以重复出现的集合 重复度: 元素在多重集合中出现的次数 例如 S=a,b,b,c,c,c, a,b,c 的重复度依次为1,2,3,5,无向图,定义6.1 无向图G=, 其中V称为顶点集, 其元素称为 顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为 无向边，简称边. 有时用V(G)和E(G)分别表示V和E例如, G=如图所示, 其中V=v1, v2, ,v5 E=(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3),(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5),6,
3、有向图,定义6.2 有向图D=, 其中V称为顶点集, 其元素称为 顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为有 向边，简称边. 有时用V(D)和E(D)分别表示V和E 有限图: V, E都是有穷集合的图 n 阶图: n个顶点的图 零图: E=的图 平凡图: 1 阶零图,7,顶点和边的关联与相邻,设无向图G=, ek=(vi, vj)E, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联. 若vi = vj, 则称ek为环. 无边关联的顶点称作孤立 点. 若vi vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1; 若vi = vj, 则称ek 与vi 的关联次数为2; 若
4、vi不是边e的端点, 则称e与vi 的关联 次数为0. 设vi,vjV, ek,elE, 若(vi,vj)E, 则称vi,vj相邻; 若ek,el有一个 公共端点, 则称ek,el相邻. 对有向图有类似定义. 设ek=vi,vj是有向图的一条边, 又称 vi是ek的始点, vj是ek的终点, vi邻接到vj, vj邻接于vi,8,顶点的度数,设G=为无向图, vV, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G的最大度(G)=maxd(v)| vV G的最小度(G)=mind(v)| vV例如 d(v5)=3, d(v2)=4
5、, d(v1)=4,(G)=4, (G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环,9,顶点的度数(续),设D=为有向图, vV, v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和 v的入度d(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和d(v)= d+(v)+ d-(v) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) 悬挂顶点, 悬挂边 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5,d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3, +=4, +=0, =3, =1, =5, =3,10,握手定理,定理6.1 任何图(无向图和
6、有向图)的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍. 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度.推论 任何图(无向图和有向图)都有偶数个奇度顶点定理6.2 有向图所有顶点的入度之和等于出度之和等于边数 证 每条边恰好提供1个入度和1个出度,11,图的度数列,设无向图G的顶点集V=v1, v2, , vn G的度数列: d(v1), d(v2), , d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3设有向图D的顶点集V=v1, v2, , vn D的度数列: d(v1), d(v2), , d(vn) D的出度列: d+(v1), d+
7、(v2), , d+(vn) D的入度列: d(v1), d(v2), , d(vn) 如右图度数列:5,3,3,3出度列:4,0,2,1入度列:1,3,1,2,12,实例,(2) 能,例1 下述2组数能成为无向图的度数列吗? (1) 3,3,3,4; (2) 1,2,2,3,解 (1) 不可能. 有奇数个奇数.,13,实例,例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小 于等于2, 问G至少有多少个顶点?,解 设G有n个顶点. 由握手定理,43+2(n-4)210 解得 n8,例3 已知5阶有向图的度数列和出度列分别为3,3,2,3,3和 1,2,1,2,1, 求它的入度列,
8、解 2,1,1,1,2,14,实例,例6.4 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体.,证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=, 其中 V=v | v为多面体的面,E=(u,v) | u,vV u与v有公共的棱 uv. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握手定理的推论矛盾.,15,实例,例6.5 设9阶无向图的每个顶点的度数为5或6, 证明它至少有5个6度顶点或者至少有6个5度顶点.,证 讨论所有可能的情况. 设有a个5度顶点和b个6度顶点,(1)a=0, b=9; (2)a=2, b=7; (3)a=4, b=5; (4)a=6, b=3;
9、(5)a=8, b=1 (1)(3) 至少5个6度顶点, (4)和(5) 至少6个5度顶点,方法二 假设b9-5=4. 由握手定理的推论, a 6,16,简单图,定义6.4 在无向图中, 关联同一对顶点的2条或2条以上的 边, 称为平行边, 平行边的条数称为重数 在有向图中, 具有相同始点和终点的2条或2条以上的边称 为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数 含平行边的图称为多重图 既无平行边也无环的图称为简单图,17,实例,e5和e6 是平行边 重数为2 不是简单图,e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边 不是简单图,18,完全图与正则图,无向完全图: 每对顶点之间
10、都有一条边的无向简单图. n阶无向完全图记作Kn, 顶点数n, 边数m=n(n-1)/2, =n-1有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的边的有向简单图. 顶点数n, 边数m=n(n-1), +=+=-=-=n-1, =2(n-1)k-正则图: 每个顶点的度数均为k的无向简单图 顶点数n, 边数m=kn/2,19,实例,K3,K5,3阶有向完全图,2正则图,4正则图,3正则图 彼得松图,20,圈图与轮图,无向圈图Cn=, 其中V=v1,v2,vn, E=(v1,v2),(v2,v3), ,(vn-1,vn),(vn,v1), n 3 有向圈图Cn=, 其中V=v1,v2,vn, E=,
11、, n 3 轮图Wn:无向圈图Cn-1内放一个顶点, 且与圈图的每个顶点之间恰有一条边, n 4,21,方体图,n方体图Qn=是2n阶无向简单图, 其中V=v|v=a1a2an, ai=0,1, i=1,2,nE=(u,v)| u,vVu与v恰好有一位数字不同.,22,子图,定义6.10 设G=, G=是2个图(同为无向图,或 同为有向图) 若VV且EE, 则称G为G的子图, G为G的母图, 记作 GG 若GG 且V=V, 则称G为G的生成子图 若VV或EE, 称G为G的真子图 设VV且V, 以V为顶点集, 以两端点都在V中的所有 边为边集的G的子图称作V的导出子图, 记作GV 设EE且E,
12、以E为边集, 以E中边关联的所有顶点为 顶点集的G的子图称作E的导出子图, 记作GE,23,实例,(1),(2),(3)是(1)的子图, (2),(3)是真子图, (1)是母图. (1),(3)是(1)的生成子图. (2)是d,e,f 的导出子图, 也是e5, e6, e7导出子图. (3)是e1, e3, e5, e7的导出子图,24,补图,定义6.11 设G=为n阶无向简单图, 记 =VV -E, 称 为G的补图,25,图的同构,定义6.12 设G1=, G2=为两个无向图(有向 图), 若存在双射函数 f: V1V2, 使得对于任意的vi,vjV1, (vi,vj)E1 (E1) 当且仅
13、当 (f(vi), f(vj)E2 (E2) 并且 (vi,vj) () 与 (f(vi),f(vj) ()的重数相同， 则称G1与G2是同构的，记作G1G2.,26,实例,27,实例,例6.6 画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图 解 总度数为6, 分配给4个顶点, 最大度为3, 且奇度顶点数 为偶数, 有下述3个度数列: (1) 1,1,1,3;(2)1,1,2,2;(3)0,2,2,2.,1,1,1,3,1,1,2,2,0,2,2,2,28,实例,例6.7 画出3个以1,1,1,2,2,3为度数列的非同构的无向简单图,29,6.2 图的连通性,6.2.1 通路与回路 初级通路(回路)与
14、简单通路(回路) 6.2.2 无向图的连通性与连通度 连通图、连通分支 短程线与距离 点割集、割点、边割集、割边(桥) 点连通度与边连通度,30,6.2 图的连通性(续),6.2.3 有向图的连通性及其分类 可达性 弱连通、单向连通、强连通 短程线与距离,31,通路与回路,定义6.13 给定图G=(无向或有向的), G中顶点与边 的交替序列=v0e1v1e2elvl. 若i(1il), ei=(vi1,vi)(对于有向图, ei=), 则称为 v0到vl的通路, v0和vl分别为通路的起点和终点, l为通路的 长度. 又若v0=vl, 则称为回路. 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路
15、(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异, 则称为 初级通路或路径(初级回路或圈). 长度为奇数的圈称作奇 圈,长度为偶数的圈称作偶圈,32,说明,(1) 表示方法 按定义用顶点和边的交替序列, =v0e1v1e2elvl 用边序列, =e1e2el 简单图中, 用顶点序列, =v0v1vl (2) 在无向图中, 长度为1的圈由环构成.长度为2的圈由两 条平行边构成. 在无向简单图中, 所有圈的长度3. 在有向图中, 长度为1的圈由环构成. 在有向简单图中, 所 有圈的长度2.,33,说明(续),(3) 初级通路(回路)是简单通路(
16、回路), 但反之不真,初级通路,非初级的简单通路,初级回路,非初级的 简单回路,34,通路与回路(续),定理6.3 在n阶图中, 若从顶点u到v(uv)存在通路, 则从u 到v存在长度小于等于n1的初级通路. 证 若通路中没有相同的顶点(即初级通路), 长度必 n1. 若有相同的顶点, 删去这两个顶点之间的这一段, 仍是u到 v的通路. 重复进行, 直到没有相同的顶点为止.定理6.4 在n阶图中, 若存在v到自身的简单回路, 则一定存 在v到自身长度小于等于n的初级回路.,35,无向图的连通性与连通分支,设无向图G=, u,vV u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总是连通的. 连
17、通图: 任意两点都连通的图. 平凡图是连通图 连通关系 R=| u,v V且u与v连通. R是等价关系 连通分支: V关于R的等价类的导出子图 设V/R=V1,V2,Vk, G的连通分支为GV1,GV2,GVk 连通分支数p(G)=k G是连通图 p(G)=1,36,短程线与距离,u与v之间的短程线:u与v之间长度最短的通路(设u与v连通) u与v之间的距离d(u,v):u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=.性质： (1) d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v (2) d(u,v)=d(v,u) (3) d(u,v)+d(v,w)d(u,w),例如 a与e之间的
18、短程线:ace,afe. d(a,e)=2, d(a,h)=,37,点割集与边割集,设无向图G=, vV, eE, VV, EE. 记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV: 从G中删除V中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边 定义6.15 设无向图G=, VV, 若p(GV)p(G)且 VV, p(GV)=p(G), 则称V为G的点割集. 若v为点割 集, 则称v为割点. 设EE, 若p(GE)p(G)且EE, p(GE)=p(G), 则称E 为G的边割集. 若e为边割集, 则称e为割边或桥.,38,实例,说明：Kn无点割集 n阶零图既无点割集，也无边割
19、集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2,e,f,点割集:e,f ,割点:,c,d,桥:,e8,e9,边割集:e8,e9,e1,e2,e1, e3, e6,e1, e3, e4, e7,39,点连通度与边连通度,定义6.16 设无向连通图G=,(G)=min|V| | V是G的点割集或使G-V成为平凡图 称为G的点连通度(G)=min|E| | E是G的边割集 称为G的边连通度,例如,3,(G)=,3,(G)=,40,点连通度与边连通度(续),说明: (1) 若G是平凡图, 则(G)=0, (G)=0. (2) 若G是完全图Kn, 则(G)=n-1,
20、(G)= n-1 (3) 若G中存在割点, 则(G)=1;若G中存在割边, 则(G)= 1 (4) 规定非连通图的点连通度和边连通度均为0定理6.5 对任何无向图G, 有(G) (G) (G),41,有向图的连通性及其分类,设有向图D=, u,vV, u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. u与v相互可达: u可达v且v可达uD弱连通(连通): 略去各边的方向所得无向图为连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达,42,实例,强连通,单连通,弱连通,D是强连通的当且仅当D中存在经过所有顶点的回路 D是单向连通的当且仅当D中存在经过所
21、有顶点的通路,43,有向图中的短程线与距离,u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (设u可达v) 距离d: u到v的短程线的长度 若u不可达v, 规定d=.性质：d0, 且d=0 u=vd+d d 注意: 没有对称性,44,6.3 图的矩阵表示,6.3.1 无向图的关联矩阵 6.3.2 有向无环图的关联矩阵 6.3.3 有向图的邻接矩阵 有向图中的通路数与回路数 6.3.4 有向图的可达矩阵,45,无向图的关联矩阵,设无向图G=, V=v1, v2, , vn, E=e1, e2, , em. 令mij为vi与ej的关联次数, 称(mij)nm为G的关联矩阵, 记为 M(G). mij的可能
22、取值为:0,1,2,例如,46,关联矩阵的性质,(6) ej是环 第j列的一个元素为2, 其余为0,(5) vi是孤立点 第i行全为0,47,无环有向图的关联矩阵,48,实例,49,有向图的邻接矩阵,设有向图D=, V=v1, v2, , vn, E=e1, e2, , em, 令 为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，称( )nn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记作A.,50,实例,51,有向图中的通路数与回路数,定理6.6 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中元素 等于D中vi到vj长度为 l 的通路(含回路)数, 等于vi到自身长 度为l 的回路数, 等于D中长度为 l 的通
23、路(含回路) 总数, 等于D中长度为 l 的回路总数.,52,有向图中的通路数与回路数(续),推论 设Bl=A+A2+Al(l1), 则Bl中元素 等于D中vi到 vj长度小于等于 l 的通路(含回路)数, 等于D中vi到vi长度 小于等于 l 的回路数, 等于D中长度小于等于l 的 通路(含回路)数, 为D中长度小于等于l 的回路数.,53,实例(续),说明: 在这里, 通路和回路数是定义意义下的,v1到v2长为3的通路有1条 v1到v3长为3的通路有1条 v1到自身长为3的回路有2条 D中长为3的通路共有15条,其中回路3条,54,有向图的可达矩阵,性质: P(D)主对角线上的元素全为1.
24、 D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.,设有向图D=, V=v1, v2, , vn, 令称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.,55,实例,例6.11 (1) v1到v4,v4到v1长为3的通路各有多少条? (2) v1到自身长为1,2,3,4的回路各有多少条? (3) 长为4的通路共有多少条?其中有多少条回路? (4) 长度小于等于4的回路共有多少条? (5) 写出D的可达矩阵, 并问D是强连通的吗? 解,56,实例(续),v1到v4长为3的通路有 条,3,v4到v1长为3的通路有 条,0,v1到自身长为1,2,3,4的回路各有 条,1,长为4的通路共有 条, 其中
25、有 条回路,16,3,长度小于等于4的回路共有 条,8,可达矩阵,非强连通,单连通,57,6.4 几种特殊的图,6.4.1 二部图 二部图的充要条件 6.4.2 欧拉图 欧拉回路(通路)及其存在的充要条件 6.4.3 哈密顿图 哈密顿回路(通路)及其存在的必要条件和充分条件 6.4.4 平面图,58,二部图,定义6.19 设无向图 G=, 若能将V 分成V1 和 V2 使得 V1V2=V, V1V2=, 且G中的每条边的两个端点都一个 属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G是简单图, 且V1中每个顶 点均与V2中每个顶点都相邻, 则称G为完
26、全二部图, 记为 Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|.,59,二部图的判别定理,定理6.7 无向图G=是二部图当且仅当G中无奇长度 的回路 证 必要性. 设G=是二部图, 每条边只能从V1到 V2, 或从V2到V1, 故任何回路必为偶长度. 充分性. 不妨设G至少有一条边且连通. 取任一顶点u, 令V1=v | vV d(v,u)为偶数, V2=v | vV d(v,u)为奇数 则V1V2=V, V1V2=. 先证V1中任意两点不相邻. 假设存 在s,tV1, e=(s,t)E. 设1, 2分别是u到s,t的短程线, 则 1e2是一条回路, 其长度为奇数, 与假设矛盾. 同理可 证V
27、2中任意两点不相邻.,60,实例,非二部图,非二部图,61,实例,例6.12 某中学有3个课外活动小组:数学组, 计算机组和生物组. 有赵,钱,孙,李,周5名学生, 问分别在下述3种情况下, 能否选出3人各任一个组的组长? (1) 赵, 钱为数学组成员, 赵,孙,李为计算机组成员, 孙,李, 周为生物组成员. (2) 赵为数学组成员, 钱,孙,李为计算机组成员, 钱,孙,李,周 为生物组成员. (3) 赵为数学组和计算机组成员, 钱,孙,李,周为生物组成员.,62,实例(续),解,(1),(2)有多种方案, (3) 不可能,63,欧拉图,哥尼斯堡七桥,64,欧拉图,欧拉通路:经过所有顶点且每条
28、边恰好经过一次的通路 欧拉回路:经过所有顶点且每条边恰好经过一次的回路 欧拉图:有欧拉回路的图说明： 上述定义对无向图和有向图都适用 规定平凡图为欧拉图 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路 环不影响图的欧拉性,65,欧拉图判别定理,定理6.8 无向图G具有欧拉回路当且仅当G是连通的且无 奇度顶点. 无向图G具有欧拉通路、但没有欧拉回路当且仅当G是连 通的且有2个奇度顶点, 其余顶点均为偶度数的. 这2个奇 度顶点是每条欧拉通路的端点.推论 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且无奇度顶点,66,例6.13,无欧拉通路,欧拉图,欧拉图,有欧拉通路 非欧拉图,有欧拉通路 非欧拉图,无欧拉通路,
29、67,欧拉图判别定理(续),定理6.9 有向图D有欧拉回路当且仅当D是连通的且所有 顶点的入度等于出度. 有向图D有欧拉通路、但没有欧拉回路当且仅当D是连通 的且有一个顶点的入度比出度大1、一个顶点的入度比出 度小1, 其余的顶点的入度等于出度.推论 有向图D是欧拉图当且仅当D是连通的且所有顶点的 入度等于出度.,68,例6.14,欧拉图,无欧拉通路,无欧拉通路,有欧拉通路 无欧拉回路,无欧拉通路,有欧拉通路 无欧拉回路,69,周游世界问题(W.Hamilton, 1859年),70,哈密顿回路与哈密顿通路,哈密顿通路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路. 哈密顿回路: 经过图中所有顶点一次
30、且仅一次的回路. 哈密顿图: 具有哈密顿回路的图.说明： 哈密顿通路是初级通路 哈密顿回路是初级回路 有哈密顿通路不一定有哈密顿回路 环与平行边不影响图的哈密顿性,71,哈密顿图的必要条件,定理6.10 若无向图G=是哈密顿图, 则对于V的任意 非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|. 证 设C为G中一条哈密顿回路, 有p(CV1) |V1|. 又因为 CG, 故 p(GV1) p(CV1) |V1|. 例如 当rs时, Kr,s不是哈密顿图推论 有割点的图不是哈密顿图,72,实例,例6.15 证明下述各图不是哈密顿图:,(a),(b),(c),(c) 中存在哈密顿通路,73,实例,例6.1
31、6 证明右图不是哈密顿图,证 假设存在一条哈密顿回路, a,f,g是2度顶点, 边(a,c), (f,c)和 (g,c)必在这条哈密顿回路上, 从而点c出现3次, 矛盾.,此外, 该图满足定理6.10的条件, 这表明此条件是必要、 而不充分的. 又, 该图有哈密顿通路.,74,存在哈密顿回路(通路)的充分条件,定理6.11 设G是n(n3)阶无向简单图, 若任意两个不相邻 的顶点的度数之和大于等于n1, 则G中存在哈密顿通路; 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n, 则G中 存在哈密顿回路, 即G为哈密顿图. 推论 设G是n(n3)阶无向简单图, 若(G)n/2, 则G是哈密 顿图 当n
32、3时, Kn是哈密顿图; 当r=s2时, Kr,s是哈密顿图. 定理6.12 设D是n(n2)阶有向图, 若略去所有边的方向后 所得无向图中含子图Kn, 则D中有哈密顿通路.,75,应用,例6.17 有7个人, A会讲英语, B会讲英语和汉语, C会讲英语、 意大利语和俄语, D会讲日语和汉语, E会讲德语和意大利 语, F会讲法语、日语和俄语, G会讲法语和德语. 问能否将 他们沿圆桌安排就坐成一圈, 使得每个人都能与两旁的人 交谈? 解,作无向图, 每人是一个顶点, 2人之间有边他们有共同的语言.,ACEGFDBA是一条哈密顿回路, 按此顺序就坐即可.,76,6.4.4 平面图,平面图与平
33、面嵌入 平面图的面及其次数 极大平面图 极小非平面图 欧拉公式 库拉图斯基定理 平面图的对偶图,77,平面图与非平面图,定义6.22 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G的平面 嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图.,例如 下图中(1)(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.,78,平面图的面与次数,设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2, Rk表示 面Ri的边界: 包
34、围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示 说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 甚至还可能是非连通的回路之并.,79,实例,例1 右图有 个面,4,deg(R1)= deg(R2)= deg(R3)= deg(R0)=,1,3,2,8,R1的边界: R2的边界: R3的边界: R0的边界:,a,bce,fg,abcdde, fg,80,实例,例2 右边2个图是同一 平面图的平面嵌入. R1在(1)中是外部面, 在(2)中是内部面; R2在(1)中是内部面, 在(2)中是外部面.,说明: (1) 一个平面图可以
35、有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构. (2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为 外部面,81,平面图的面与次数(续),定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次.,82,极大平面图,定义6.24 若G是简单平面图, 且在任意两个不相邻的顶点 之间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图,例如 K1, K2, K3, K4都是极大平面图 (1)是K5删去一条边, 是极大平面图. (2)、(3)不是.,(1),83,极大平面图的性质,极大平面图是
36、连通的 设G为n(n3)阶简单图, G为极大平面图的充分必要条件是, G每个面的次数均为3.,例如,极大平面图,外部面的次数为4非极大平面图,84,极小非平面图,定义6.25 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图都 是平面图, 则称G为极小非平面图,例如 K5, K3,3都是极小非平面图 下述4个图也都是极小非平面图,85,欧拉公式,定理6.14 设G为n阶m条边r个面的连通平面图, 则 nm+r=2 证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论成立. 设m=k(k0)时结论成立, 对m=k+1, 若G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及关联的 边, 记作G. G
37、连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归纳假 设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立. 否则, 删除一个圈上的一条边,记作G. G连通, 有n个顶点,k 条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2. 得 证m=k+1时结论也成立. 证毕.,86,欧拉公式(续),推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则n m + r = p + 1 其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式, ni mi
38、 + ri = 2, i = 1, 2, , p 求和并注意 r = r1+rp p+1, 即得n m + r = p + 1,87,欧拉公式(续),定理6.15 设G为n阶连通平面图, 有m条边, 且每个面的次 数不小于l (l 3), 则 证 由各面次数之和等于边数的2倍及欧拉公式得2m lr = l (2+m-n) 可解得所需结论.,88,实例,例4 设简单连通平面图有n(n3)个顶点、m条边, 则m3n-6,例6.19 证明 K5 和 K3,3不是平面图,证 不难证明3阶以上的简单连通平面图每个面的次数至 少为3, 由定理6.15立即得到要证的结论.,证 K5 : n=5, m=10,
39、 l=3,K3,3 : n=6, m=9, l=4 不满足定理6.15的条件,89,同胚与收缩,消去2度顶点v 如图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如图从(2)到(1)G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构收缩边e 如图从(3)到(4),90,库拉图斯基(Kuratowski)定理,定理6.16 一个图是平面图当且仅当它既不含与K5同胚的 子图, 也不含与K3,3同胚的子图.定理6.17 一个图是平面图当且仅当它既无可收缩为K5的 子图, 也无可收缩为K3,3的子图.,91,实例,与K3,3同胚 也可收缩到K3,3,例5 证明下面2个图均为非平面图.,与
40、K5同胚 也可收缩到K5,92,对偶图,定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= vi*| i=1,2,r . 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边 ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交; 若ek只在面Ri的边界上, 则作环 ek*=(vi*,vi*). E*= ek*| k=1,2, ,m .,93,实例,性质 G*是平面图，而且是平面嵌入. G*是连通的. 若e为G中的环, 则G*中e*为桥; 若e为桥, 则G*中e*为环. 同构的平面图的对偶图不一定同构. 如(1)和(3),(1),(2),(3),94,对偶图(续),定理6.18 设G*是连通平面图G的对偶图, n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点vi*位于G的面Ri中, 则d(vi*)=deg(Ri),95,实例,例6 画出所有非同构的6阶11条边的简单连通非平面图,解 在K5(5阶10条边)上 加一个顶点和一条边,在K3,3(6阶9条边) 上加2条边,
