1、.CBA DEF1 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的 B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为 3 cm，底面是边长为 2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米 ? 答案 AB=5ACB3、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B点沿纸箱爬到 D 点，那么它所行的最短路线的长是_。4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm， 长 BC为 10cm当小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点
2、 F 处（折痕为 AE） 想一想，此时 EC 有多长？5如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是（ ） A3 B4 C D5 BCAFEDCBABCBACD.CA BED6已知：如图，在ABC中，C=90 ，B=30 ，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm求AC的长7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为 8、如图，在矩形 中， 将矩形 折叠，使点 B 与点 D 重合， 落在 处，若BCD,6ACDC
3、，则折痕 的长为 。21： EAEF9、如图，已知：点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将 DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使 DC 落在对角线 DB 上，则 EBCE_10、如图，AD 是ABC 的中线，ADC45 o，把 ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C的位置，若 BC2，则 BC_E题5图FBCBACDACD.11如图 1，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6cm，BC8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm12、有一个直角三角形纸片，两直角边 A
4、C=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿CAB 的角平分线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？ 13、如图，在ABC 中，B= ，AB=BC=6，把ABC 进行折叠，使点 A 与点 D 重合，90BD:DC=1:2，折痕为 EF，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，求 EC 的长。14已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为EF，则ABE 的面积为（ ）A、6cm 2 B、8cm 2 C、10cm 2 D、12cm 215如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点
5、D 与点 B 重合，已知 AB3，AD9，求 BE 的长AC BE图 1D A E C D B ADB CEFABEFDC第 11 题图.CBAD16、如图，每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD 的面积。18如图 8，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上( 不与 A、D 重合)，在 AD 上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过
6、点 B，另一直角边 PF与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE 2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由21能.设 APx 米，由于 BP216+x 2，CP 216+(10x) 2，而在 RtPBC 中，有 BP2+ CP2BC 2，即16+x2+16+(10x) 2100，所以 x210x+160，即(x5) 29，所以 x53，所以 x8，x2，即AP8 或 2，能.仿照可求得 AP4.19.如图ABC 中， BCMANBCACB,5,1,9 则 MN= 4 20、直角三角形的面积为 ，斜边上的中线长为 ，则这个三角形周长为（ ）Sd（A）
7、（B） 2d2S（C） （D ） 图 8.解:设两直角边分别为 ,斜边为 ,则 , .abc2d1Sab由勾股定理,得 .22所以 .24cS所以 .所以 .2abdSabd故选（C）21在 中, , 边上有 2006 个不同的点 ,AB1CB1206,P记 ,则 =_.2206iiimP 1206m解:如图,作 于 ,因为 ,则 .ADBC1ACBD由勾股定理,得 .所以222,P2PBB所以 .221ACA因此 .120606m22如图所示，在 中, ,且 ,RtB9,45ACBDE3B,求 的长.4CED解:如右图：因为 为等腰直角三角形 ,所以 .ABC45ABDC.所以把 绕点 旋转
8、到 ,则 .AECAFBAEC所以 .连结 .4, 45BFEDF所以 为直角三角形.D由勾股定理,得 .所以 .2223D因为 所以 .45,AE 45AFBEAC所以 .S所以 .D23、如图，在ABC 中，AB=AC=6 ，P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识试求 PCPB+PA2 的值。24、如图在 RtABC 中, 3,4,90BCAC，在 RtABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画
9、出正确的图形）解：要在 Rt ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。ABPC10.25如图，A、B 两个村子在河 CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边 CD 上建一水厂向 A、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000 元/千米，请你在 CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 F。26已知：如图，ABC 中，C = 90，点 O 为ABC 的三条角平分线的交点，
10、ODBC，OEAC，OFAB ，点 D、E 、F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分别等于 cm27 （8 分）如图，在ABC 中，AB=AC ，P 为 BC 上任意一点，请说明：AB 2AP 2=PBPC。28、如图，已知： ， ， 于 P求证： 90CMAAB22BCAPPMBC ACOA BDEF第 26 题图ABPC第 28 题图.29 （本题满分 6 分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家 .他要完成这件事情所走的最
11、短路程是多少？31在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ?32在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米?33长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角(如图所示) ，则梯子的顶端沿墙面升高了_m34已知：如图，ABC 中，C90，D 为 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 DEDF 求证：AE 2BF
12、 2EF 235已知：如图，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点， E 为 CB 的四等分点且 CE ，求证：CB41AFFE AB小河东北牧童小屋.36已知ABC 中，a 2b 2c 210a24b26c 338，试判定 ABC 的形状，并说明你的理由37已知 a、b、c 是ABC 的三边，且 a2c2b 2c2a 4b 4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长?39、a、
13、b 为任意正数，且 ab，求证：边长为 2ab、 a2b 2、a 2+b2 的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为 cba2)(2,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.41.（12 分）如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 B 处有一台风中心，沿BC 方向以 20km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后
14、的几小时内撤离才可脱离危险？44、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ） Ah17cm Bh8cm ABCD第 24 题图.C15cmh16cm D7cmh16cm45 如图，已知： ， ， 于 P. 求证： . 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP 为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形. 所以连结 BM. 这样，实际上就得到了 4 个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结 BM，根据勾股定理
15、，在 中，. 而在 中，则根据勾股定理有. 又 （已知） ， . 在 中，根据勾股定理有， . 47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH如图所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H解：OC1 米 (大门宽度一半 )，OD0.8 米 （卡车宽度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得：CD .米，C. .（米）.（米） 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门48、如图，公路 MN 和公
16、路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是.否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影
17、响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作 ABMN，垂足为 B。 在 RtABP 中，ABP90，APB 30， AP160， AB AP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么AC100(m) ，由勾股定理得： BC2100 2-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD 100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t1
18、20m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24 秒。 （一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决49、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨：现已知 BE、 CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD.解：连接 AD
19、因为BAC=90，AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线，所以 AD=DC=DBADBC且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF 所以AEDCFD （ASA） 所以 AE=FC=5同理：AF=BE=12在 RtAEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50 如图，在等腰ABC 中，ACB=90，D 、E 为斜边 AB 上的点，且DCE=45。求证：DE 2=AD2
20、+BE2。ECA BDFECA BD分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。51 如图，在A BC 中，AB=13,BC=14,A C=15，则 BC 边上的高 A D= 。 AB CD答案 12。52 如图，长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4 ，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，则重叠部分AFC的面积是 。EFDBCA设 EF=x，那么 AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以 42+x2=(8-x)2,解得 x=3，S=4*8/2-3*4/2=10.答案：1053 在ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC
21、 边上的高 A D=12，试求 BC 边的长.答案 25 或 7 54 在A BC 中，D 是 BC 所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC 的面积。答案 84 或 3655. 若ABC 三边 a、b、c 满足 a2b 2c 2338=10a+24b+26c ，ABC 是直角三角形吗？为什么？56. 在ABC 中，BC=1997，AC=1998，AB 2=1997+1998，则ABC 是否为直角三角形？为什么？注意 BC、AC 、AB 的大小关系。ABBCAC。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997（1+1997）+1998=19971998+
22、1998=19982= AC2。58.木箱的长、宽、高分别为 40dm、30dm 和 50dm，有一 70dm 的木棒，能放进去吗？请说明理由。1259. 已知ABC 的三边 a、b、c，且 a+b=17，ab=60，c=13, ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？答案： 是直角三角形。 （平方差公式的灵活运用） abba2)(2= 22169017c。B CADC BADB CADC BAD.60. 如图，E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，延长 AB 到 F，使 BF= 41AB，那么 FE 与 FA 相等吗？为什么？18ED CA B F61. 如图，A=60, B=D=9
23、0。若 BC=4，CD=6 ，求 AB 的长。19A DB C62如图，xoy=60，M 是xoy 内的一点，它到 ox 的距离 MA 为 2。它到 oy 的距离为 11。求 OM的长。20MxyO. 过点作，交的延长线于点，交的平行线于点。， 3，（在直角三角形中，角所对的边斜边的一半） ， 。在t 中， 37AFB=DE+FD=31673答案. 延长交 oy 于， 35136 在t 中， 142BMO .如图，在一块三角形区域 ABC 中，C=90，边 AC=8，BC=6 ，现要在ABC 内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使 DE 在 AB 上。 求ABC 中 AB 边上的高 h;设 DG=x,当 x 取何值时，水池 DEFG 的面积最大？实际施工时，发现在 AB 上距 B 点 1.85 的 M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。A BCD EFG
