1、数学选修 4-4 坐标系与参数方程（教师版）主干知识一、坐标系 1平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。2空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。3极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向） ，这样就建立了一个极坐标系。（其中 O 称为极点，射线 OX 称为极轴。 ） 设 M 是平面上的任一点， 表示
2、 OM 的长度， 表示以射线 OX为始边，射线 OM 为终边所成的角。那么有序数对 称为点 M 的极坐(,)标。其中 称为极径， 称为极角。 约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。4直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点 P 的直角坐标极坐标分别为（x，y）和，则(,)x2ytan二、曲线的极坐标方程1直线的极坐标方程：若直线过点 ，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为：0(,)M0sin()sin()几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点 （2）直线过点 且垂直于极轴 （3）直线过 且平行于极轴(a,0
3、) (,)2Mb图：方程：2圆的极坐标方程： 若圆心为 ，半径为 r 的圆方程为：0(,)M200cos()r几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于 （3）当圆心位于(,0)r(,)2Mr图：方程：3直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化利用： x2ytan三、参数方程1参数方程的意义在平面直角坐标系中，若曲线 C 上的点 满足 ，该方程叫曲线 C 的参数方程，变量 t 是参变(,)Pxy()ft数，简称参数2参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： （ 为参数） ； cosinxayb 0(xatyb
4、为 参 数 ）（3） （4） （t 为参数）2sicoxy0,)1()2y（5） （ 为参数）sinarb参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！（2）普通方程化为参数方程常见化普通方程为参数方程，1、圆 的参数方程。22()()xayr2、经过点 P 。0， 倾 斜 角 为 的 参 数 方 程3、椭圆 的参数方程。21(0)b4、抛物线 ypx普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。二、考点阐述考点 1、极坐标与直角坐标互化例题 1、在极坐标中，求两点 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。)4,2(),QP练习 1.1、已
5、知曲线 的极坐标方程分别为 ， ，则曲线12C， cos34cos02， 与 交点的极坐标为 1C2【解析】我们通过联立解方程组 解得 ,即两曲线的交点为 。cos3(0,)4236(3,)612. （宁夏 09）已知圆 C： ，则圆心 C 的极坐标为_22(1)(3)1xy(0,2)答案：（ ）2(,)3练习 1.2（2009 丹东） （1）已知点 c 极坐标为 ，求出以 C 为圆心，半径 r=2 的圆的极坐标方程（写(2,)3出解题过程） ；（2）P 是以原点为圆心，r=2 的圆上的任意一点， ，M 是 PQ 中点，当点 P 在圆上运动时，求Q(6,0)点 M 的轨迹的参数方程。解 ： 1
6、 （ ） 如 图 所 示 ， 设 为 圆 上 一 点 ， (,)2OC4cos()43 3 则 或 ， 由 余 弦 定 理 得4cos()极 坐 标 方 程 为 =。（2）依题意 x2cosMxyP2cos,in).yinA的 参 数 方 程 为 设 （ ,点 （MPQ60为 中 点 ， （ ， ） ， 的 参 数 方 程 为62sinxx3cosy=iy即考点 2、极坐标与直角坐标方程互化例题 2、福建省龙岩市 2009 年已知曲线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半C4sin x轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 参数） ，点 是曲线 上的l2(4xtt
7、y为 PC动点，点 是直线 上的动点，求| |的最小值QlPQ解：曲线 的极坐标方程 可化为 ,C4sin2sin其直角坐标方程为 ，即 . （3分）20xy2()4xy直线 的方程为 .l所以，圆心到直线 的距离 （6分）l243d所以， 的最小值为 . （10分）PQ3练习 2.1、 （沈阳二中 2009）设过原点 O的直线与圆 C： 2(1)xy的一个交点为 P，点 M为线段OP的中点。(1) 求圆 C 的极坐标方程；(2) 求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：圆 2(1)xy的极坐标方程为 2cos4 分设点 P的极坐标为 1(,)，点 的极坐标为 (,)，点 为线段 O
8、的中点， 1， 1 7 分 将 12， 1代入圆的极坐标方程，得 cos点 M轨迹的极坐标方程为 cos，它表示圆心在点 1(,0)2，半径为 12的圆 10 分练习 2.2考点 3、参数方程与直角坐标方程互化例题 3：（2009 学年海南省）已知曲线 1C的参数方程为 sin10coyx（ 为参数） ，曲线 2C的极坐标方程为 sin6co2（1）将曲线 1C的参数方程化为普通方程，将曲线 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线 ， 2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由解：（1）由 sin10coyx得)2(曲线 1C的普通方程为 10)2(yx sin6co 2 s
9、in,co,yxy x62，即 10)3()1(22曲线 2C的直角坐标方程为 0)3()1(2yx（分）（2）圆 1C的圆心为 )0,2(，圆 2C的圆心为 )3,1( 03(两圆相交设相交弦长为 d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 21C 222)10()3() d公共弦长为 2（10 分）练习 3.1（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程.已知曲线 C： 为参数，0 2)，(sin1co3yx（）将曲线化为普通方程；（）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程x（） 5 分232xx（） 10 分sinco练习 3.2（08 海南
10、）已知曲线 C1： ，曲线 C2： 。cos()ixy为 参 数 2()xty为 参 数（1）指出 C1，C 2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；（2）若把 C1，C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 ， 。写出 ， 的12C12参数方程。 与 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由。考点 4：利用参数方程求值域例题 4、 （2008 年宁夏）在曲线 ： 上求一点，使它到直线 ： 的距1C）yx为 参 数(sinco212(xty为 参 数 ）离最小，并求出该点坐标和最小距离。解：直线 C2 化成普通方程是 x+y-2 -1=0
11、2 分2设所求的点为 P（1+cos ,sin ),3 分则 C 到直线 C2 的距离 d= 5 分2|1sinco1| =|sin( + )+2|7 分4DAFEO BC当 时，即 = 时， d 取最小值 19 分23445此时，点 P 的坐标是（1- ，- ） 10 分2练习 4.1（09 厦门）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆的圆心为 ，求2 28cos6in7cos80xyy+-+=(,)Pxy的取值范围. 【解】由题设得 （ 为参数， R）.4cos, 3inxyqq3 分于是， 28cos3in7cos()xy6 分所以 . 10 分23xy 练习 4.2 （宁夏 09） （本小
12、题满分 10 分）已知曲线 C的极坐标方程是 sin2，设直线 L的参数方程是 ,5423tyx（ t为参数） （）将曲线 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）设直线 L与 x轴的交点是 M， N曲线 C上一动点，求 MN的最大值.答案：（本小题满分 10 分）解：（1）曲线 C的极坐标方程可化为： sin2又 sin,cos,2yxyx .所以，曲线 的直角坐标方程为： 02.（2）将直线 L的参数方程化为直角坐标方程得： )2(34xy令 0y 得 2x即 M点的坐标为 )0,2(又曲线 C为圆，圆 的圆心坐标为 1，半径 r，则 5 15rMCN考点 5：直线参数方程中的参数的几何意义例
13、题 5：2009 年泉州已知直线 l经过点 (,)P,倾斜角 6，写出直线 的参数方程;设 l与圆 42yx相交与两点 ,AB，求点 P到 ,两点的距离之积.解 （1）直线的参数方程为1cos6inxty，即312xty 3 分（2）把直线312xty代入 42x，得 2231(1)()4,(31)20ttt， 12t， 6 分则点 P到 ,AB两点的距离之积为 10 分练习 5.1 抚顺一中 2009求直线 （ ）被曲线 所截的弦长.4153xty为 参 数 2cos()4解：将方程 ， 分别化为普通方程：4153xty2cos()4， -(5 分)340x20,xy-217.05dd1 1
14、圆 心 C（ ， ） ， 半 径 为 圆 心 到 直 线 的 距 离 ， 弦 长 2r0-10 分练习 5.2 大连市 2009已知直线 ).3cos(2.32),1( 圆 方 程的 直 线倾 斜 角 为是 过 点 Pl（I）求直线 l 的参数方程；（II）设直线 l 与圆相交于 M、N 两点，求|PM|PN|的值。解：（） l的参数方程为21cos,3()in.xtty为 参 数，即1,2()3.xty为 参 数。 5 分（）由 cos,in.xy可将 2()3，化简得 230yx。将直线 l的参数方程代入圆方程得 ()62.tt 126t， 12|PMNA。 10 分练习 5.3（宁夏 0
15、9）若直线的参数方程为 （t 为参数） ，则直线的斜率为（）3xyA B C D322322 答案：（C ）3、 （宁夏 09）极坐标方程 =cos 和 =sin 的两个圆的圆心距是（ ）A 2 B C 1 D 22答案：（ D）一、选择题1若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为（ ）1()23xty为 参 数A B C D23 322下列在曲线 上的点是（ ）sin()coixy为 参 数A B C D 1(,)31(,)42,3(1,3)3将参数方程 化为普通方程为（ ）sinxy为 参 数A B C D 22(3)yx2(01)yxy4化极坐标方程 为直角坐标方程为（ ）cos0A B C
16、 D 01x或 01或5点 的直角坐标是 ，则点 的极坐标为（ ）M(1,3)MA B C D (2,)322(,)(,2),(3kZ6极坐标方程 表示的曲线为（ ）cosinA一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆7圆 的圆心坐标是（ ）53iA B C D 4(,)(5,)(5,)35(,)3二、填空题8直线 的斜率为_。3()xty为 参 数9参数方程 的普通方程为_。()2()tte为 参 数10已知直线 与直线 相交于点 ，又点 ，13:4xtly为 参 数 2:45lxyB(1,2)A则 _。AB11直线 被圆 截得的弦长为_。2()1xty为 参 数 2xy1
17、2直线 的极坐标方程为_。cosin013极坐标方程分别为 与 的两个圆的圆心距为_。cosin三、解答题1已知点 是圆 上的动点，(,)Pxy2y（1）求 的取值范围；2（2）若 恒成立，求实数 的取值范围。0xyaa2求直线 和直线 的交点 的坐标，及点1:()53xtly为 参 数 2:30lxyP与 的距离。(,)Q3在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离的最小值。216xy210xy4、 （宁夏 09）已知椭圆 C 的极坐标方程为 222sin4co3，点 F1，F 2为其左，右焦点，直线l的参数方程为 )(2Rttyx为 参 数 ，（1）求直线 l和曲线 C 的普通方程； （2）求点 F1，F 2到直线 l的距离之和.数学选修 4-4 坐标系与参数方程 一、选择题 1D 231ytkx2B 转化为普通方程： ，当 时，21yx3412y3C 转化为普通方程： ，但是 ,0,4C 2(cos)0,cos1xyx或5C 都是极坐标2,(3kZ6C 2cs4incs,o,4sin,4sin或 即则 或,2k2xy二、填空题1 54534yt2 21,()6xx2()422ttttt tyxeeyxy3 将 代入 得 ，则 ，而 ，得5234ty5xy12t5(,0)B(1,)A5B4 直线为 ，圆心到直线的距离 ，弦长的一半为 ，1102d2214()
