1、选修 4-4 - 1 -选修 4-4：坐标系与参数方程内容概述 ：本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。坐标系是解析几何的基础。在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。（1）了解坐标
2、系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。（2）了解坐标系的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程。（4）了解参数方程，了解参数的意义。（5）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。1. 极坐标系极坐标是用“距离” 与“ 角度 ”来刻画平面上点的位置的坐标形式。极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点 M 在极点时，它的极坐标 ,0可以取任意值。平面直角坐标与极坐标的区别：在平面直角坐标系内，点与有序实
3、数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对 ),(只能与一个点 P 对应，但一个点 P 却可以与无数多个有序实数对对应),(，极坐标系中的点与有序实数对极坐标 ),(不是一一对应的。极坐标系中，点 M ,的极坐标统一表达式 Zk),2。如果规定 20，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 ),(表示，同时，极坐标 表示的点也是唯一确定的。),(【例 1】在极坐标系中，描出点 ，并写出点 M 的统一极坐标。)3,(2.极坐标与直角坐标的互化：（1）互化的前提：极点与直角坐标的原点重合；极轴与 x 轴的正方向重合； 两种坐标系中取相同的长度单位。（2）互化公式 sinco
4、yx， 0,ta22xy注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘 ,使之出现 2 是常用的方法.【例 2】极坐标方程 化为直角坐标方程为 ( ) A. B. x2 +（ y+ 1） 2 = 4 21()4xyC. x2 +（ y ） 2 = D. （ x ） 2 + y2 = 【例 3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1) cossin(2） 23. 简单曲线的极坐标方程1 极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程 ，并0),(f且坐标适合方程 的点都在曲线 C 上，那么方程 叫做曲线 C 的极坐标0),(f 0),(f方程。(由
5、于 都有明确的几何特征，有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更与简洁)圆心在（ ，0） 半径为 的圆的极坐标方程为： a()a x C(a,0)M xOM以极点为圆心半径等于 r 的圆的极坐标方程为 : ( 是定值， 是任意的)（1）过极点，极角为 的射线 的极坐标方程： 4（2）过极点，极角为 的射线 的极坐标方程： 5M直线 极坐标议程可以用 表示l 54和极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表O xMl=4 x选修 4-4 - 2 -示为： 或()4R5()4【例 4】极坐标
6、方程 （ ）=0（ 0）表示的图形是（ ）1（A）两个圆 （B）两条直线（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线【 例 5】 过 极 点 且 关 于 极 轴 的 倾 斜 角 是 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 是 _3 过 点 且 与 极 轴 垂 直 的 直 线 方 程 为 （ ）(2,)3A. B. 4coscos10C. D. inin 过 点 且 与 平 行 于 极 轴 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 是 （ ）(2,)3A. B. si1cos1C. D. n3 过 点 且 与 极 轴 所 成 的 角 为 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 是 (2,)34.参数方程：
7、参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式参数方程实际上是一个方程组，其中 ， 分别为曲线上点 M 的xy横坐标和纵坐标。定义：一般地，在直角坐标系中，一动点的坐标 x 和 y 同时可以独立地表示成第三个变量t 的函数。即且满足(1)对于a，b中的任何一个 t1，则得到的( x1，y 1)点都在曲线 C 上；(2)曲线上的任意一点 P(x0，y 0)的坐标 x0，y 0 通过在a，b上可求得一个 t.那么上述方程叫曲线 C 的参数方程。相对参数方程而言，过去的方程就叫做曲线 C 的直角坐标方程，简称普通方程。直线的参数方程问题：已知一条直线过点 ，
8、倾斜角为 求这条直线的方程.),(0M,解：直线的普通方程为 tan0xy把它变形成 )(cosi00xy进一步整理 sin令该比例的比值为 ，即t tycssi00【问题】：已知一条直线过点 ，倾斜角为 求这条直线的方程.),(xM,解：在直线上任取一点 M(x,y),则 ),(),(), 000 yxyxM设 是直线 的单位方向向量，则el,sin,(co因为 所以存在实数 使 即/0 ,Rt,/0etM)sin(co),0yx于是 cs0tt即 i,o过点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为)(0yxM,l 为 参 数 ）tyx(sinco0参数 的几何意义t/0ettM01所以,直线参数
9、方程中参数 的绝对值等于直线上动点 到定点 的距离.0利用直线参数方程中参数 的几何意义,简化求直线上两点间的距离.t，只有 时， 才具有此几何意义。tbyax00(为 参 数 ） 12bat【结论】【例 6 市摸底 23 题】在平面直角坐标系 xOy中，曲线 的参数方程为 在以 为极点，1C为 参 数 ） ；tyx(2136O轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 与 交x 2 cos01C2于 两点，求BA,.解：在 10cos 的两边同乘以 ，得 210cos ，则曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y 210x，3 分将曲线 C1 的参数方程代入上式，得 (6 t)2
10、 t210 (6 t)，32 14 32整理，得 t2 t240，3设这个方程的两根为 t1，t 2，则 t1t 2 ，t 1t224，30cos(inttyx=整 理 ， 得 到 是 参 数 ）yxM0M(x,y)1212(),.()fxMt t直 线 与 曲 线 交 于 两 点 ， 对 应 的 参 数分 别 为曲 线 的 弦 的 长 是 多 少 ？（ ） 线 段 的 中 点 对 应 的 参 数 的 值 是 多 少 ？ 1212()Mtt选修 4-4 - 3 -所以|AB|t 2t 1| 3 10 分(t1 t2)2 4t1t2 11高考是在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一
11、题做答，如果你掌握极坐标参数方程内容，建议你选择“极坐标与参数方程”，因为该题较容易得满分同时，由于极坐标与参数方程近三年考题的难易程度都差不多，因而预计 2012 年的考题的难易程度也不会有太大的变动（08 新课标卷）已知曲线 C1： （ 为参数） ，曲线 C2： （t 为参数） cosinxy，2xy，（）指出 C1，C 2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；（）若把 C1，C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 写出12C，的参数方程 与 公共点的个数和 C 公共点的个数是否相同？说明你的12， 12 21与理由解：（） 是圆， 是直线1的普通方程为 ，
12、圆心 ，半径 12xy1(0)， r的普通方程为 因为圆心 到直线 的距离为 ，2C120xy1所以 与 只有一个公共点1（）压缩后的参数方程分别为 ： （ 为参数） ； 1Ccosin2xy，： （t 为参数） 化为普通方程为： ： ， ：2C24xy， 1C241xy2C，1x联立消元得 ，其判别式 ，所以压缩后的直线210x2()410与椭圆 仍然只有一个公共点，和 与 公共点个数相同2C1 1C评注：本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化，在研究图象的伸缩变换时用参数方程比较容易得到。而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好。（09 新课标卷）已知曲线 C ：
13、（t 为参数） ， C ： （ 为参数） 。14cos,3inxy28cos,3inxy（1）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；2（2）若 C 上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C 上的动点，求 中点 到直线1 2t2PQM（t 为参数）距离的最小值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3,:xy解：（）由曲线 ： （ 为参数）得 ，两式平方相加消去参数 ，得曲线 的普通方程为： 为圆心是，半径是 1 的圆由曲线 ： （ 为参数）得 ，两式平方相加消去参数 ，得曲线 的普通方程为： 为中心是坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆（）因为
14、 上的点 对应的参数为 ，故 ，又 为 上的点，所以，故 中点为 由 ： （ 为参数）消去参数 知， 为直线 ，则 到 的距离 从而当 ， 时， 取得最小值 （10 新课标卷）已知直线 C1 （t 为参数） ，C 2 （ 为参数）xcosinytxcosiny（）当 = 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；3（）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点，当 变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。选修 4-4 - 4 -解：（）因为直线 ： （ 为参数）表示过定点 ，倾斜角为 的直线，所以当 时， 的普通方程为 ，圆 ： （ 为参数）是圆心在圆点半径为
15、的圆， 的普通方程为 联立方程组 ，解得 与 的交点为 ， （）由（） 的普通方程为 ，即 （或由直接消去参数 可得） 又直线 垂直 ，所以直线 的方程为 联立方程组 ，解得 点坐标为 ，为 的中点，故当 变化时， 点轨迹的参数方程为： （ 为参数） ，由 得 ，即 ，两式平方相加得， 点轨迹的普通方程为 故 点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆（11 新课标卷）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数）M 是 C1 上的动2cosinxy点，P 点满足 ,P 点的轨迹为曲线 C2OM2()求 C2 的方程()在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1
16、 的异于极点3的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求 .A解：（）设 ， ，则由条件 ，得 ，即由于 点在 上，所以 ，即 ，从而 的参数方程为 （ 为参数） （）由曲线 的参数方程 （ 为参数）得 ，两式平方相加得 普通方程为 ，即 ，从而 ，又，所以曲线 的极坐标方程为 ，同理，曲线 的极坐标方程为射线 与 的交点 的极径为 ，射线 与 的交点 的极径为 根据极径 的几何意义，得 【2012 省联考题】在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的方程为 ，直线 的方程为 直线 与曲cos4l 为 参 数 ） ；tty(213l线 C 的公共点为 。T（1） 求点 的极坐标；（2） 过点 作直线 ， 被曲线 C 截得的线段长为 2，求直线 的极坐标方程。l l解：（）曲线 的直角坐标方程为 2 分240xy将 代入上式并整理得 321xty31tt解得 点 的坐标为 4 分tT(,)其极坐标为 5 分(2,)3选修 4-4 - 5 -（）设直线 的方程为 7 分l3(1),30ykxyk即由（）得曲线 是以 为圆心的圆，且圆心到直线 的距离为 C2,0l3则， 解得 ，或 231k直线 的方程为 ，或 9 分l3yyx其极坐标方程为 10 分sin3或 ()R
