1、选修4-4坐标系与参数方程 第一讲坐标系,教材知识整合 回归教材 1.极坐标系 (1)极坐标系的概念 在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系. 对于平面内任意一点M,用表示线段OM的长,表示以Ox为始边,OM为终边的角度,叫作点M的极径,叫做点M的极角,有序实数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,).,当点M在极点时,它的极径=0,极角可以取任意值. 说明:建立极坐标系的要素:极点极轴单位长度角的正方向,四者缺一不可. 当点M在极点时,它的极径=0,极角可以取任意值. 点M(
2、,)的位置这样确定:先以极轴Ox为始边作出角,再在角的终边上截取|OM|=,点M即为所求. 极坐标系中,当kZ时,(,),(,+2k),(-,+(2k+1)表示同一个点. 如果规定0,02或-,那么除极点外,平面内的点和极坐标是一一对应的.,(2)点的极坐标与直角坐标的互化在平面直角坐标系中,把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单位长度,则将点M的极坐标(,)化为直角坐标(x,y)的关系式为,曲线方程两种形式互化也可根据点的坐标互化完成.,2.曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 若直线经过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,则直线
3、l的极坐标方程为sin(-)=0sin(0-).,特殊情况: 当直线l过极点,即0=0时,方程为=.,当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时,l的极坐标方程是cos=a.,当直线l过点 且平行于极轴时,l的极坐标方程是sin=b.,(2)圆的极坐标方程 若圆心的坐标为M(0,0),圆的半径为r,则圆的极坐标方程为 特殊情况: 圆心位于极点的极坐标方程为=r. 圆心位于M(r,0),半径为r的圆的极坐标方程为=2rcos. 圆心位于 半径为r的圆的极坐标方程为=2rsin.,(3)圆锥曲线的极坐标方程 圆锥曲线的统一定义:与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定直线上)的距离的比等于常数e的点的
4、轨迹.,若以定点F为极点,过定点F作定直线l的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线Fx为极轴,建立极坐标系,其中|KF|=p,|MF|=得圆锥曲线统一的极坐标方程:,当01时,方程只表示双曲线的右支,定点是它的右焦点,定直线是它的右准线.,基础自测,1.(2010北京)极坐标方程 (-1)(-)=0(0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 答案:C,2.(2010湖南)极坐标方程=cos和参数方程 (t为参数)所表示的图形分别是( ) A.圆直线 B.直线圆 C.圆圆 D.直线直线,解析:极坐标方程=cos化为普通方程为:x2+y2=x,x
5、2+y2=x为圆的方程. 参数方程 化为普通方程为:3x+y+1=0,3x+y+1=0为直线的方程,故选A. 答案:A,3.(2010广东)在极坐标系(,)(02)中,曲线(cos+sin)=1与(cos-sin)=-1的交点的极坐标为_. 解析:转化为直角坐标系下x+y=1与y-x=1的交点,该交点(0,1)在极坐标系下表示为: 答案:,4.在极坐标系中,过圆=6cos的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为_. 解析:由题意可知圆的标准方程为(x-3)2+y2=9,圆心为(3,0),所求直线标准方程为x=3,则极坐标方程为cos=3. 答案:cos=3,重点难点突破 题型一极坐标与直角坐标
6、的互化 【例1】(2010广东)在极坐标系(,)(02)中,曲线=2sin与cos=-1的交点的极坐标为_.,题型二求曲线的方程 【例2】求经过极点且圆心的极坐标为 的圆C的极坐标方程.,解设圆C上的任意一点P的极坐标(,),过OC的直径的另一端点为B,连接PO,PB,则在直角三角形OPB中, 从而有,点评同直角坐标系中一样,求曲线的极坐标方程即是找出曲线上的动点P(,)的极径和极角的相互关系,设法用和的方程表示这种关系.,变式2:在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线l与圆=4相交于AB两点,若|AB|=4,则直线l的极坐标方程为_. 解析:=4表示圆心在极点半径为4的圆,设直线AB与极轴垂直
7、,且交极轴于点C,极点为O,则 AB极坐标方程为: 答案:,题型三综合应用 【例3】(2010江苏)在极坐标系中,已知圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切,求实数a的值. 解由=2cos可得2=2cos, 普通方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1. 直线3cos+4sin+a=0的普通方程为 3x+4y+a=0 又圆与直线相切,所以 解得a=2或a=-8.,点评本题主要考查曲线的极坐标方程的基本知识,一般都要先把极坐标方程转化为普通方程再求解.,变式3:在极坐标系中,已知两点AB的极坐标分别为 则AOB(其中O为极点)的面积为_. 解析:由题意可知,AOB的面积为答案:3,解题方法拾遗 【例4】已知椭圆C的极坐标方程为 点F1,F2为其左右焦点,直线l的参数方程为(t为参数,tR).(1)求直线l和曲线C的普通方程; (2)求点F1,F2到直线l的距离之和.,考向精测,2.在极坐标系中,过圆=-4sin的圆心,且平行于极轴的直线的极坐标方程为_. 解析:圆心的极坐标为 则过圆心且平行于极轴的直线的极坐标方程为sin=-2. 答案:sin=-2,教师备课资源,2.极坐标方程52cos2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_.,
