1、离散数学试卷（十三）82一、填空 10% （每小题 2 分）1、 ，*表示求两数的最小公倍数的运算（Z 表示整数集合） ，对于*运0|xZ算的幺元是 ，零元是 。2、代数系统中，|A|1，如果 分别为的幺元和零元，和e则 的关系为 。和e3、设 是一个群， 是阿贝尔群的充要条件是 。4、图 的完全关联矩阵为 。5、一个图是平面图的充要条件是 。二、选择 10% （每小题 2 分）1、 下面各集合都是 N 的子集， （ ）集合在普通加法运算下是封闭的。A、x | x 的幂可以被 16 整除； B、x | x 与 5 互质；C、x | x 是 30 的因子； D、x | x 是 30 的倍数。2、
2、 设 ， ，其中 表示模 3 加法，*表示模 2 乘法，则积,210G,*102G代数 的幺元是（ ） 。A、 ； B、； C、； D、 。3、 设集合 S=1,2,3,6， “”为整除关系，则代数系统是（ ） 。A、域； B、格，但不是布尔代数； C、布尔代数； D、不是代数系统。4、 设 n 阶图 G 有 m 条边，每个结点度数不是 k 就是 k+1，若 G 中有 Nk 个 k 度结点，则 Nk=（ ） 。A、nk； B、n(k+1)； C、n(k+1)-m； D、n(k+1)-2m 。离散数学试卷（十三）835、 一棵树有 7 片树叶，3 个 3 度结点，其余全是 4 度结点，则该树有（
3、 ）个 4 度结点。A、1； B、2； C、3； D、4 。三、判断 10% （每小题 2 分）1、 （ ）设 S=1,2，则 S 在普通加法和乘法运算下都不封闭。2、 （ ）在布尔格中，对 A 中任意原子 a，和另一非零元 b，在 或 中有ab且仅有一个成立。3、 （ ）设 ，+,为普通加法和乘法，则是域。NxZS0|4、 （ ）一条回路和任何一棵生成树至少有一条公共边。5、 （ ）没 T 是一棵 m 叉树，它有 t 片树叶，i 个分枝点，则 (m-1)i = t-1。四、证明 38%1、 （8 分）对代数系统，*是 A 上二元运算，e 为 A 中幺元，如果*是可结合的且每个元素都有右逆元，
4、则（1）中的每个元素在右逆元必定也是左逆元。（2）每个元素的逆元是唯一的。2、 （12 分）设 是一个布尔代数，如果在 A 上定义二元运算，为, A，则是一阿贝尔群。)()(baba3、 （10 分）证明任一环的同态象也是一环。4、 （8 分）若 是每一个面至少由 k(k3) 条边围成的连通平面),(, eEvVEG图，则 。2)(kve五、应用 32%1、 （8 分）某年级共有 9 门选修课程，期末考试前必须提前将这 9 门课程考完，每人每离散数学试卷（十三）84天只在下午考一门课，若以课程表示结点，有一人同时选两门课程，则这两点间有边（其图如右） ，问至少需几天？2、 用 washall
5、方法求图 的可达矩阵，并判断图的连通性。 （8 分）3、 设有 a、b、c 、d、e 、f 、 g 七个人，他们分别会讲的语言如下：a：英，b：汉、英，c：英、西班牙、俄，d：日、汉，e：德、西班牙，f：法、日、俄， g：法、德，能否将这七个人的座位安排在圆桌旁，使得每个人均能与他旁边的人交谈？（8 分）4、 用 Huffman 算法求出带权为 2，3，5，7，8，9 的最优二叉树 T，并求 W（T） 。若传递 a ，b， c， d ，e ， f 的频率分别为 2%， 3% ，5 %， 7% ，8% ，9%求传输它的最佳前缀码。 （8 分）一、 填空 10%（每小题 2 分）1、1， 不存在；
6、2、 ；3、 有 ；eGba, )*()*(bab4、 12e3e4e5e1v1 1 1 0 02-1 0 0 0 130 -1 0 1 -14v0 0 -1 -1 05、它不包含与 K3, 3 或 K5 在 2 度结点内同构的子图。二、 选择 10%（每小题 2 分）题目 1 2 3 4 5答案 A，DB C D A三、 判断 10%离散数学试卷（十三）85题目 1 2 3 4 5答案 Y Y N N N四、 证明 38%1、 （8 分）证明：（1）设 ，b 是 a 的右逆元，c 是 b 的右逆元，由于 ，Aca, beab*)(eacbe *)(*)(*)(* 所以 b 是 a 的左逆元。
7、（2）设元素 a 有两个逆元 b、c，那么 ceae*)(*a 的逆元是唯一的。2、 （12 分）证明：乘 运算在 A 上也封闭。，A上 封 闭在群 cba, )()()()()(:)( )()()()()()( cbaccbaccbacccbaba 同 理 可 得 即满足结合性。)(幺 ,A 0)1()0()(0故全下界 0 是 A 中关于运算 的幺元。逆 ,a)()()( a即 A 中的每一个元素以其自身为逆元。交 abbab )()()()(即运算具有可交换性。离散数学试卷（十三）86所以 是 Abel 群。3、(10 分) 证明:设 是一环,且 是关于同态映射 f 的同态象。,A,)(
8、Af由 是 Abel 群，易证 也是 Abel 群。是半群，易证 也是半群。, ,)(f现只需证： 对 是可分配的。于是3,21,)(:,),(, 321321 ibafaAfb i使 得则 必 有 相 应 的)()( )( )()(3121 31 312112bbffaff ffff 同理可证 )()(1312b因此 也是环。,)(Af5、 （8 分）证明：设 G 有 r 个面， kerkerikreiii 22)1()dg(,2)dg(1 即而。, vevrev即故而五、 应用 32%1、 （8 分）解： 即为最少考试天数。)(G用 Welch-Powell 方法对 G 着色： 68542
9、1739vv第一种颜色的点 ，剩余点6419v第二种颜色的点 ，剩余点57382第三种颜色的点 82v所以 3)(G离散数学试卷（十三）87任 构成一圈，所以 3932v)(G故 =3)(G所以三天下午即可考完全部九门课程。2、 （8 分）解： 01)(GA1：A2 ，1=1 ， ； 2： A4，2=1，i 01Ai 10A3： A1， 3=A2，3=A4，3=1，i 10A4： Ak， 4=1，k=1 ，2，3，4，i 1p 中的各元素全为 1，所以 G 是强连通图，当然是单向连 通和弱连通。3、 （8 分）解：用 a,b,c,d,e,f,g 7 个结点表示 7 个人，若两人能交谈可用 一条无向边连结，所得无向图为此图中的 Hamilton 回路即是圆桌安排座位的顺序。Hamilton 回路为 a b d f g e c a。4、 （8 分）解：(1)离散数学试卷（十三）888327293542)( TW（1） 用 0000 传输 a、0001 传输 b、001 传输 c、01 传输 f、10 传输 d、11 传输 e传输它们的最优前缀码为0000 ，0001，001，01，10，11 。
