1、选修 2-2 1.5.3 一、选择题1定积分 (3)dx 等于( )31A6 B6C3 D3答案 A解析 由积分的几何意义可知 (3)dx 表示由 x1，x 3，y0 及 y3 所围成的31矩形面积的相反数，故 (3)d x6.312定积分 f(x)dx 的大小( )baA与 f(x)和积分区间a，b有关，与 i 的取法无关B与 f(x)有关，与区间 a，b以及 i 的取法无关C与 f(x)以及 i 的取法有关，与区间a，b 无关D与 f(x)、区间a，b和 i 的取法都有关答案 A解析 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知 A 正确3下列说法成立的个数是( ) f(x)dx (i)ban
2、i 1f b an f(x)dx 等于当 n 趋近于 时，f (i) 无限趋近的值ba b an f(x)dx 等于当 n 无限趋近于 时， (i) 无限趋近的常数bani 1f b an f(x)dx 可以是一个函数式子baA1 B2C3 D4答案 A解析 由 f(x)dx 的定义及求法知仅 正确，其余不正确故应选 A.ba4已知 f(x)dx56，则( )31A. f(x)dx28 B. f(x)dx282132C. 2f(x)dx56 D. f(x)dx f(x)dx56212132答案 D解析 由 yf(x)，x 1，x3 及 y0 围成的曲边梯形可分拆成两个：由 yf (x)，x1，
3、x2 及 y0 围成的曲边梯形知由 yf(x)，x2，x3 及 y0 围成的曲边梯形 f(x)dx f(x)dx f(x)dx312132即 f(x)dx f(x)dx56.2132故应选 D.5已知 f(x)dx6，则 6f(x)dx 等于( )babaA6 B6(ba)C36 D不确定答案 C解析 f(x)dx6，ba在 6f(x)dx 中曲边梯形上、下底长变为原来的 6 倍，由梯形面积公式，知 6f(x)dx6babaf(x)dx36.故应选 C.ba6设 f(x)Error!则 1f(x )dx 的值是( )1答案 D解析 由定积分性质(3)求 f(x)在区间1,1 上的定积分，可以通
4、过求 f(x)在区间1,0与0,1上的定积分来实现，显然 D 正确，故应选 D.7下列命题不正确的是( )A若 f(x)是连续的奇函数，则B若 f(x)是连续的偶函数，则C若 f(x)在 a，b上连续且恒正，则 f(x)dx0baD若 f(x)在a，b)上连续且 f(x)dx0，则 f(x)在 a，b)上恒正ba答案 D解析 本题考查定积分的几何意义，对 A：因为 f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以 x 轴上方的面积和 x 轴下方的面积相等，故积分是 0，所以 A 正确对 B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于 y 轴对称，故图象都在 x 轴下方或上方且面积相等，故 B 正确C 显然
5、正确D 选项中 f(x)也可以小于 0，但必须有大于 0 的部分，且 f(x)0 的曲线围成的面积比 f(x)0 的曲线围成的面积大答案 B9利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分 1(tanx) 11(cosx )21dx1( )A2 (tanx)11(cos x)21dx10B0C2 (cosx)21dx10D2答案 C解析 ytanx 为1,1上的奇函数，y(tanx) 11 仍为奇函数，而 y(cos x)21 是偶函数，原式 1(cosx) 21dx2 (cosx)21dx.故应选 C.1 1010设 f(x)是a，b上的连续函数，则 f(x)dx f(t)dt 的值( )ba
6、baA小于零 B等于零C大于零 D不能确定答案 B解析 f(x)dx 和 f(t)dt 都表示曲线 yf(x)与 xa，xb 及 y0 围成的曲边梯形面积，baba不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置所以其值为 0.二、填空题11由 ysin x，x0，x ，y0 所围成的图形的面积可以写成_2答案 解析 由定积分的几何意义可得12. (2x4)d x_.60答案 12解析 如图 A(0，4)，B(6,8)SAOM 24412SMBC 481612 (2x4)d x16412.6013(2010新课标全国理，13) 设 yf(x)为区间0,1 上的连续函数，且恒有 0f (x)1，可以
7、用随机模拟方法近似计算积分 f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间0,1上的均匀随机数10x1，x 2，x N 和 y1，y 2， ，y N，由此得到 N 个点( xi， yi)(i1,2，N)再数出其中满足 yif( xi)(i1,2 ，N )的点数 N1，那么由随机模拟方法可得积分 f(x)dx 的近似值为10_答案 N1N分析 本题考查了几何概型、积分的定义等知识，难度不大，但综合性较强，很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖解析 因为 0f( x)1 且由积分的定义知： f(x)dx 是由直线10x0，x1 及曲线 yf( x)与 x 轴所围成的面积，又产生的随机
8、数对在如图所示的正方形内，正方形面积为 1，且满足 yif(x i)的有 N1 个点，即在函数 f(x)的图象上及图象下方有 N1 个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x) 在 x0 到x1 上与 x 轴围成的面积为 1 ，即 f(x)dx .N1N N1N 10 N1N三、解答题15利用定积分的几何意义，说明下列等式解析 (1) 2xdx 表示由直线 y2x，直线 x0，x 1，y0 所围成的图形的面积，如10图所示，阴影部分为直角三角形，所以 S 121，故 2xdx1.12 10(2) 1 dx 表示由曲线 y ，直线 x1，x1，y0 所围成的图形面积11 x2 1 x2(而 y 表
9、示圆 x2y 2 1 在 x 轴上面的半圆) ，如图所示阴影部分，所以 S 半圆 ，1 x2216利用定积分的性质求 dx.(2xx4 1 sin3x x2 ex 1ex 1)解析 y ，ysin 3x 均为 1,1上的奇函数，而对于 f(x) ，2xx4 1 ex 1ex 1f(x ) f(x)，e x 1e x 1 1 ex1 ex此函数为奇函数S 2 (i)2ni 11n(in) 1n3ni 1 n(n1)(2n1)1n31616(2 3n 1n2)Sli mn 16(2 3n 1n2) 13即 2 x2dx2 10 13 2317已知函数 f(x) )，求 f(x)在区间 2,2上的积
10、分解析 由定积分的几何意义知 24.18利用定积分的定义计算 xdx.ba解析 (1)分割：将区间a， bn 等分，则每一个小区间长为xi (i1,2 ，n) b an(2)近似代替：在小区间x i1 ，x i上取点： ia (i1,2，n)i(b a)nIi f(i)xi .a i(b a)n b an(3)求和：I n (i)xini 1f ni 1a i(b a)n b anb an ni 1a i(b a)n b an ni 1a ni 1i(b a)n b an (na b an ni 1i)(ba) (a b an2n(n 1)2 )(4)求极限： xdxli Inba m n li (ba)mn a b a2 (1 1n)(ba) (b2a 2)(a b2 a2) 12高(考 试题 库
