1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题 3 分，共 12 分)1.(2014广州高二检测)关于定积分 m= dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为 y=- xB.被积函数为 y=-C.被积函数为 y=- x+C，D.被积函数为 y=- x3【解析】选 B.由定积分的定义知，被积函数为 y=- .2.定积分 f(x)dx(f(x)0)的积分区间是( )A.-2，2 B.0，2C.-2，0 D.不确定【解析】选 A.由定积分的概念得定积分 f(x)dx
2、的积分区间是-2，2.3.设 f(x)= 则 f(x)dx 的值是( )A. x2dx B. 2xdxC. x2dx+ 2xdx D. 2xdx+ x2dx【解析】选 D.因为 f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为 D.4.(2014南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A. mf(x)+ng(x)dx=m f(x)dx+n g(x)dxB. f(x)+1dx= f(x)dx+b-aC. f(x)g(x)dx= f(x)dx g(x)dxD. sinxdx= sinxdx+ sinxdx【解析】选 C.由定积分的性质知选项 A，B
3、，D 正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题 4 分，共 8 分)5.(2014长春高二检测)定积分 (-3)dx=_.【解析】 3dx 表示图中阴影部分的面积 S=32=6，(-3)dx=- 3dx=-6.答案：-66.计算： (1-cosx)dx=_.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得 1dx=2，cosxdx= cosxdx+ cosxdx+ cosxdx+ cosxdx= cosxdx- cosxdx- cosxdx+ cosxdx=
4、0，所以 (1-cosx)dx= 1dx- cosxdx=2-0=2.答案：2【一题多解】在公共积分区间0，2上， (1-cosx)dx 表示直线 y=1 与余弦曲线 y=cosx 在0，2上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx 在0，上关于点 中心对称，在 上关于点 中心对称，所以区域与的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为 1，2 的矩形的面积，其值为 2.所以 (1-cosx)dx=2.答案：2三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7.(2014济南高二检测)已知x3dx= ， x3dx= ， x2dx= ， x2dx= ，求：(1) 3x3dx.(2) 6x2
5、dx.(3) (3x2-2x3)dx.【解析】(1) 3x3dx=3 x3dx=3=3 =12.(2) 6x2dx=6 x2dx=6( x2dx+ x2dx)=6 =126.(3) (3x2-2x3)dx=3 x2dx-2 x3dx=3 -2 =- .8.求定积分 ( -x)dx 的值.【解析】 ( -x)dx 表示圆(x-1)2+y2=1(y0)的一部分与直线 y=x 所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式= 1 2- 11= - .【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当 f
6、(x)0 时，S= f(x)dx，而当 f(x)0 时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题 4 分，共 12 分)1.(2014黄冈高二检测)设曲线 y=x2与直线 y=x 所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S= (x2-x)dx B.S= (x-x2)dxC.S= (y2-y)dy D.S= (y- )dy【解析】选 B.将曲线方程 y=x2与直线方程 y=x 联立方程组，解得 x=0 或 x=1，结合图形可得 B 正确.2.
7、如图所示，图中曲线方程为 y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B. (x2-1)dxC. |x2-1|dxD. (x2-1)dx+ (x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积 S= (1-x2)dx+ (x2-1)dx= |x2-1|dx，故选 C.【举一反三】将本题中的函数改为 f(x)=x-1，则 (x-1)dx=_.【解析】直线 y=x-1，与 x=0，x=1.y=0 围成的图形为三角形，面积为S= 11= .由定积分的几何意义得 (x-1)dx=- .答案
8、：-3.(2013天津高二检测)曲线 y= 与直线 y=x，x=2 所围成的图形面积用定积分可表示为( )A. dx B. dxC. dx D. dx【解析】选 A.如图所示，阴影部分的面积可表示为 xdx- dx= dx.二、填空题(每小题 4 分，共 8 分)4.(2014深圳高二检测)定积分 2014dx=_.【解析】根据定积分的几何意义 2014dx 表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014 围成的图形的面积，故 2014dx=2014(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分 (2+ )dx=_.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出 2dx， d
9、x.再由性质求和.【解析】原式= 2dx+ dx.因为 2dx=2，dx= ，所以 (2+ )dx=2+ .答案：2+三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)6.(2014青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1) xdx.(2) cosxdx.(3) |x|dx.【解析】(1)如图(1)， xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)， cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为 A1=A2，所以 |x|dx=2A1=2 =1.(A1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度 v 与时间 t 的函数关系式为 v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s= v(t)dt= tdt+ (50-t)dt+ 10dt
