1、2017 届江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1已知集合 A=2，0，B= 2，3，则 AB= 2已知复数 z 满足（1i）z=2i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的模为 3某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下 4 个分数的方差为 4根据如图所示的伪代码，则输出 S 的值为 5从 1，2 ，3，4，5 ，6 这六个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的和能被 3 整除的概率为 6若抛物线 y2=8x 的焦点恰好是双曲线 的右焦点，则实数 a的值为 7已
2、知圆锥的底面直径与高都是 2，则该圆锥的侧面积为 8若函数 的最小正周期为 ，则 的值为 9已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S2=2a2+3，S 3=2a3+3，则公比 q 的值为 10已知函数 f（x ）是定义 R 在上的奇函数，当 x0 时，f （x）=2 x3，则不等式 f（x）5 的解集为 11若实数 x，y 满足 ，则 的最小值为 12已知非零向量 满足 ，则 与 夹角的余弦值为 13已知 A， B 是圆 上的动点， ，P 是圆上的动点，则 的取值范围为 14已知函数 ，若函数 f（x）的图象与直线 y=x有三个不同的公共点，则实数 a 的取值集合为 二、解答题（本大题
3、共 6 小题，共 90 分解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15（14 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c 已知2cosA（ bcosC+ccosB）=a （1）求角 A 的值；（2）若 ，求 sin（ BC）的值16（14 分）如图，在四棱锥 EABCD 中，平面 EAB平面 ABCD，四边形ABCD 为矩形，EAEB，点 M，N 分别是 AE，CD 的中点求证：（1）直线 MN平面 EBC；（2）直线 EA平面 EBC17（14 分）如图，已知 A，B 两镇分别位于东西湖岸 MN 的 A 处和湖中小岛的 B 处，点 C 在 A 的正西方向 1km 处，t
4、anBAN= ，BCN= ，现计划铺设一条电缆联通 A，B 两镇，有两种铺设方案：沿线段 AB 在水下铺设；在湖岸 MN 上选一点 P，先沿线段 AP 在地下铺设，再沿线段 PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元km、4 万元km（1）求 A，B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，且右焦点 F 到左准线的距离为 6 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 A 为椭圆 C 的左顶点，P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的点，直线 PA 交 y轴于点 M，过点 F
5、作 MF 的垂线，交 y 轴于点 N（i）当直线 PA 的斜率为 时，求MFN 的外接圆的方程；（ii）设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q，求PAQ 的面积的最大值19（16 分）已知函数 , ,axef2)( axgln)(R（1）解关于 x（x R）的不等式 f（x）0；（2）证明：f（x）g （ x）；（3）是否存在常数 a，b，使得 f（x）ax+b g（x）对任意的 x0 恒成立？若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由20（16 分）已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6（S n+n），nN *（1）求数列a n的通
6、项公式；（2）若对于nN *，都有 Snn（3n +1）成立，求实数 a 取值范围；（3）当 a=2 时，将数列a n中的部分项按原来的顺序构成数列b n，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列b n附加题选做题本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 0 分）21如图，AB 为半圆 O 的直径，D 为弧 BC 的中点，E 为 BC 的中点，求证：ABBC=2ADBD选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 0 分）22已知矩阵 A= 的一个
7、特征值为 2，其对应的一个特征向量为 a= ，求实数 a，b 的值选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 0 分）23在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线 l： sin（ ）=m （m R），圆 C 的参数方程为 （t为参数）当圆心 C 到直线 l 的距离为 时，求 m 的值选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 0 分）24已知 a，b，c 为正实数， + + +27abc 的最小值为 m，解关于 x 的不等式|x+l|2x m【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
8、明过程或演算步骤25甲、乙、丙分别从 A，B ，C，D 四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题（1）求甲选做 D 题，且乙、丙都不选做 D 题的概率；（2）设随机变量 X 表示 D 题被甲、乙、丙选做的次数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X）26已知等式（1+x） 2n1=（1+x ） n1（1+x） n（1）求（1+x） 2n1 的展开式中含 xn 的项的系数，并化简： + +；（2）证明：（ ） 2+2（ ） 2+n（ ） 2=n 2017 届江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共
9、70 分）1已知集合 A=2，0，B= 2，3，则 AB= 2，0，3 【考点】并集及其运算【分析】利用并集定义直接求解【解答】解：集合 A=2，0 ，B= 2，3，AB=2，0，3故答案为：2，0，3【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意并集定义的合理运用2已知复数 z 满足（1i）z=2i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的模为 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由（1i）z=2i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，再由复数求模公式计算得答案【解答】解：由（1i）z=2i，得 = ，则 z 的模为： 故答案为： 【点评】本题考查了复数代数形式的乘
10、除运算，考查了复数模的求法，是基础题3某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下 4 个分数的方差为 14 【考点】茎叶图【分析】求出剩下的 4 个分数平均数，代入方差公式，求出方差即可【解答】解：剩下的 4 个分数是：42，44，46 ， 52，平均数是：46，故方差是： （16+4+0+36）=14，故答案为：14【点评】本题考查了读茎叶图问题，考查求平均数以及方差问题，是一道基础题4根据如图所示的伪代码，则输出 S 的值为 20 【考点】程序框图【分析】根据条件进行模拟计算即可【解答】解：第一次 I=1，满足条件 I5，I=1+1=2，S=0+2=2，第二次
11、 I=2，满足条件 I 5，I=2+1=3，S=2 +3=5，第三次 I=3，满足条件 I 5，I=3+1=4，S=5 +4=9，第四次 I=4，满足条件 I 5，I=4+1=5，S=9 +5=14，第五次 I=5，满足条件 I 5，I=5+1=6，S=14+6=20 ，第六次 I=6 不满足条件 I 5，查询终止，输出 S=20，故答案为：20【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键5从 1，2 ，3，4，5 ，6 这六个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的和能被 3 整除的概率为 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】基本事件总
12、数 n= ，再用列举法求出所取 2 个数的和能被 3 整除包含的基本事件个数，由此能求出所取 2 个数的和能被 3 整除的概率【解答】解：从 1，2，3，4，5，6 这六个数中一次随机地取 2 个数，基本事件总数 n= ，所取 2 个数的和能被 3 整除包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共有 5 个，所取 2 个数的和能被 3 整除的概率 p= 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用6若抛物线 y2=8x 的焦点恰好是双曲线 的右焦点，则实数 a的值为 1 【考点】双曲线的简单性质【分析】求得抛物线的
13、焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到 a 的值【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点为（2，0），双曲线 的右焦点为（ ，0 ），由题意可得为 =2，解得 a=1故答案为：1【点评】本题考查双曲线的方程和性质，同时考查抛物线的焦点，考查运算能力，属于基础题7已知圆锥的底面直径与高都是 2，则该圆锥的侧面积为 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可【解答】解：圆锥的底面直径与高都是 2，母线长为： = ，圆锥的侧面积为：rl= 故答案为： 【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧
14、面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键8若函数 的最小正周期为 ，则 的值为 【考点】正弦函数的图象【分析】利用正弦函数的周期性求得 ，再利用诱导公式求得 的值【解答】解：函数 的最小正周期为= ，=10 ，则 =sin（ 10 ） =sin =sin =sin = ，故答案为： 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题9已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S2=2a2+3，S 3=2a3+3，则公比 q 的值为 2 【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：S 2=2a2+3，S 3=2a3+3
15、，a 1=a1q+3，a 1（1+q）= +3，q 22q=0，q0则公比 q=2故答案为：2【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知函数 f（x ）是定义 R 在上的奇函数，当 x0 时，f （x）=2 x3，则不等式 f（x）5 的解集为 （， 3 【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的性质求出当 x0 的解析式，讨论x0，x 0 ，x=0 ，解不等式即可【解答】解：若 x0，则 x0，当 x0 时，f（x）=2 x3，当x0 时，f（x）=2 x3，f（ x）是定义在 R 上的奇函数，f（ x）=2 x3=f（x），则 f（x
16、）= 2x+3，x0，当 x0 时，不等式 f（x）5 等价为 2x35 即 2x2，无解，不成立；当 x0 时，不等式 f（x）5 等价为 2x+35 即 2x8，得x3，即 x3；当 x=0 时，f（0）=0，不等式 f（x） 5 不成立，综上，不等式的解为 x 3故不等式的解集为（， 3故答案为：（，3【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键11若实数 x，y 满足 ，则 的最小值为 8 【考点】基本不等式【分析】实数 x，y 满足 ，可得 x= ，解得y3则 =y+3+ =y3+ +6，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：实数 x
17、， y 满足 ，x= ，解得 y3则 =y+3+ =y3+ +6 +6=8，当且仅当y=4（x= ）时取等号故答案为：8【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知非零向量 满足 ，则 与 夹角的余弦值为 【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得 与 夹角的余弦值【解答】解：非零向量 满足 ，不妨设=1，设 与 夹角为 ，如图所示：设 = ， = ， = + ，则 OA=0B=0C=1，设 =2 =2 ，则 =2 ，ODA 即为 ，OAC 和OBC 都是边长等于 3 的等边三角形利用余弦定理可得
18、BD= = ，cos= = ，故答案为： 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题13已知 A， B 是圆 上的动点， ，P 是圆上的动点，则 的取值范围为 7，13 【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】求出 AB 的中点的轨迹方程，即可求出 的取值范围【解答】解：取 AB 的中点 C，则 =2| |，C 的轨迹方程是x2+y2= ，|C 1C2|=5由题意，| |最大值为 5+1+ = ，最小值为 51 = 的取值范围为7，13 ，故答案为：7，13【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键14已知函数 ，若函数 f
19、（x）的图象与直线 y=x有三个不同的公共点，则实数 a 的取值集合为 20，16 【考点】分段函数的应用【分析】因为 y=sinx （x 1）与 y=x 无交点，故只需函数 f（x）=x39x2+25x+a（x 1 ）的图象与直线 y=x 有三个不同的公共点即可，只需g（ x）=x 39x2+24x+a（x1）与 x 轴有 3 个交点即可，【解答】解：因为 y=sinx （x 1）与 y=x 无交点，故只需函数 f（x）=x39x2+25x+a（x 1 ）的图象与直线 y=x 有三个不同的公共点即可，令 g（ x）=x 39x2+24x+a（x 1），g（x ）=3x 218x+24=3（x
20、 26x+8）=2（x 2）（x 4），当 x（1，2），（4，+）时 g（x）单调递增，当 x（2，4）时 g（x）单调递减，依题意只需 g（x）=x 39x2+24x+a（x 1）与 x 轴有 3 个交点即可，及 g（ 1）=16+a0 ，g（2）=20+a0 ， 20a16故答案为20，16【点评】题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于基础题二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15（14 分）（2016 秋淮安期末）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为a， b，c 已知 2cosA（b
21、cosC+ccosB）=a （1）求角 A 的值；（2）若 ，求 sin（ BC）的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 2cosAsinA=sinA，结合 sinA0 ，可求 ，结合范围 A（0，），可求 A 的值（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，利用倍角公式可求sin2B，cos2B，由 sin（BC ）=sin （2B ），利用两角差的正弦函数公式即可计算得解【解答】（本题满分为 14 分）解：（1）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，（2 分）即 2cosAsinA=sinA，因为 A（0，），
22、所以 sinA0，所以 2cosA=1，即 ，（4 分）又 A（0，），所以 （6 分）（2）因为 ，B（0，），所以 ， （8 分）所以 ， ， （10 分）所以 =（12 分）= = （14 分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，倍角公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16（14 分）（2016 秋淮安期末）如图，在四棱锥 EABCD 中，平面 EAB平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，EA EB，点 M， N 分别是 AE，CD 的中点求证：（1）直线 MN平面 EBC；（2）直线 EA平面 EBC【考点】直线与平
23、面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）取 BE 中点 F，连结 CF，MF，证明四边形 MNCF 是平行四边形，所以 MNCF，即可证明直线 MN平面 EBC；（2）证明 BC平面 EAB，得到 BCEA，又 EAEB，BC EB=B，EB，BC平面EBC，即可证明直线 EA平面 EBC【解答】证明：（1）取 BE 中点 F，连结 CF，MF，又 M 是 AE 的中点，所以 MF= AB，又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点，所以 NC= AB，所以 MF 平行且等于 NC，所以四边形 MNCF 是平行四边形，（4 分）所以 MNCF，又 MN平面 EBC，CF 平面 EBC，
24、所以 MN平面 EBC （ 7 分）（2）在矩形 ABCD 中，BCAB ，又平面 EAB平面 ABCD，平面 ABCD平面 EAB=AB，BC 平面 ABCD，所以 BC平面 EAB，（10 分）又 EA平面 EAB，所以 BCEA，又 EAEB ，BC EB=B ，EB，BC 平面 EBC，所以 EA平面 EBC（14 分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（14 分）（2016 秋淮安期末）如图，已知 A，B 两镇分别位于东西湖岸MN 的 A 处和湖中小岛的 B 处，点 C 在 A 的正西方向 1km 处，tanBAN= ，BCN= ，现
25、计划铺设一条电缆联通 A，B 两镇，有两种铺设方案：沿线段 AB 在水下铺设； 在湖岸 MN 上选一点 P，先沿线段 AP 在地下铺设，再沿线段 PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元km、4 万元km （1）求 A，B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）由 tanBAN= ，BCN= ，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案：总铺设费用为 54=20（万元）方案：设BPD= ，则 ，其中 0=BAN ，在 RtBDP 中， ， ，则总铺设费用为 设 ，则
26、 ，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案【解答】解：（1）过 B 作 MN 的垂线，垂足为 D，如图示：在 RtABD 中， ，所以 ，在 RtBCD 中， ，所以 CD=BD则 ，即 BD=3，所以 CD=3，AD=4，由勾股定理得， （km）所以 A，B 两镇间的距离为 5km（4 分）（2）方案：沿线段 AB 在水下铺设时，总铺设费用为 54=20（万元）（6 分）方案：设BPD= ，则 ，其中 0=BAN ，在 RtBDP 中， ， ，所以 则总铺设费用为 （8 分）设 ，则 ，令 f（）=0，得 ，列表如下：f（ ） 0 +f（） 极小值 所以 f（ ）的最小值为 所以方案的总铺设
27、费用最小为 （万元），此时 （12 分）而 ，所以应选择方案进行铺设，点 P 选在 A 的正西方向 km 处，总铺设费用最低（14 分）【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题18（16 分）（2016 秋淮安期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+ =1（ab 0）的离心率为 ，且右焦点 F 到左准线的距离为 6 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 A 为椭圆 C 的左顶点，P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的点，直线 PA 交 y轴于点 M，过点 F 作 MF 的垂线，交 y 轴于点 N（i）当直线 PA 的斜率为 时，求MFN 的外接
28、圆的方程；（ii）设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q，求PAQ 的面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可知：离心率 e= = ，则 a= c，右焦点 F 到左准线的距离 c+ =6 ，即可求得 c 和 a 的值，则 b2=a2c2=8，即可求得椭圆方程；（2）（i ）设直线方程为：y= （x+4），求得 M 点，即可求得 NF 的方程和 N的坐标，则丨 MN 丨=6 ，则以 MN 为圆心（0，1），半径为 3，即 x2+（y+1 ）2=9；（ii）设直线方程为： y=k（x +4），代入椭圆方程，求得 P 点坐标，求得直线 PF方程，则求得 N 点坐标，则直线 AN：y=
29、 ，代入椭圆方程，求得 M 点坐标，求得丨 AM 丨，PAQ 的面积 S= = = =10 【解答】解：（1）由题意可知：椭圆 C： + =1（ab0）焦点在 x 轴上，由离心率 e= = ，则 a= c，由右焦点 F 到左准线的距离 c+ =6 ，解得：c=2 ，则 a=4，由 b2=a2c2=8，椭圆的标准方程为： ；（2）（i ）由（1）可知：椭圆的左顶点（ 4，0），F （2 ，0），设直线方程为：y= （x+4），即 y= x+2，则 M（ 2，0），kMF= = ，则 kNF= ，直线 NF：y= （x2 ） = 4，则 N（0，4），丨 MN 丨=6 ，则以 MN 为圆心（0，1
30、），半径为 3，即 x2+（y+1 ） 2=9，（ii）设直线方程为： y=k（x +4）， ，整理得：（1+2k 2）x 2+16k2x+32k216=0，解得：x 1=4， x2= ，则 y2= ，则 P（ ， ），k MF= = k，由 M（0，4k ），F（2 ，0），k NF= ，则 NF：y= （x2 ），则 N（ 0， ），则直线 AN： y= ，代入椭圆方程：整理得：（1+ ）x 2+ x+ 16=0，解得：x 1=4， x2= ，则 y2= ，则 Q（ ， ），k PQ= ，直线 PQ：y = （x ），则 xM= = ，丨 AM 丨= +4= ，PAQ 的面积 S= = =
31、 ，= =10 ，当且仅当 2k= ，即 k= 时，取最大值，PAQ 的面积的最大值 10 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考三角形的面积公式的应用，考查基本不等式的综合应用，属于难题19（16 分）已知函数 , ,axef2)( axgln)(R（1）解关于 x（x R）的不等式 f（x）0；（2）证明：f（x）g （ x）；（3）是否存在常数 a，b，使得 f（x）ax+b g（x）对任意的 x0 恒成立？若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）通过讨论 a 的范围，
32、求出不等式的解集即可；（2）设 h（x）=f（x）g（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即可；（3）假设存在，得到 对任意的 x0 恒成立，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（1）当 a=0 时， ，所以 f（x）0 的解集为0；当 a0 时， ，若 a0，则 f（x ）0 的解集为0，2ea ；若 a0，则 f（x ）0 的解集为2ea ，0综上所述，当 a=0 时，f（x）0 的解集为0；当 a0 时，f （x ）0 的解集为0，2ea ；当 a0 时，f （x ）0 的解集为2ea ，0 （4 分）（2）设 ，则 令 h（x
33、）=0，得 ，列表如下：xh（x ） 0 +h（x） 极小值 所以函数 h（x）的最小值为 ，所以 ，即 f（x）g（x）（8 分）（3）假设存在常数 a，b 使得 f（x）ax+b g（x）对任意的 x0 恒成立，即 对任意的 x0 恒成立而当 时， ，所以 ，所以 ，则 ，所以 恒成立，当 a0 时， ，所以（*）式在（0 ，+）上不恒成立；当 a0 时，则 ，即 ，所以 ，则 （12 分）令 ，则 ，令 （x）=0，得 ，当 时，（x）0， （x ）在 上单调增；当 时，（x）0， （x ）在 上单调减所以 （x）的最大值 所以 恒成立所以存在 ， 符合题意（16 分）【点评】本题考查了
34、函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题20（16 分）（2016 秋淮安期末）已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且a1=a，（a n+1）（a n+1+1）=6 （S n+n），n N*（1）求数列a n的通项公式；（2）若对于nN *，都有 Snn（3n +1）成立，求实数 a 取值范围；（3）当 a=2 时，将数列a n中的部分项按原来的顺序构成数列b n，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列b n【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）当 n=1 时，（a 1+1）（a 2+1）=6（S 1+1），故 a2=5；当 n2
35、时，（a n1+1）（a n+1）=6（S n1+n1），可得（a n+1）（ an+1an1） =6（a n+1），因此 an+1an1=6，分奇数偶数即可得出（2）当 n 为奇数时， ，由 Snn（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出当 n 为偶数时，由 Snn（3n +1）得，a3（n +1）恒成立，即可得出（3）证明：当 a=2 时，若 n 为奇数，则 an=3n1，所以 an=3n1解法 1：令等比数列b n的公比 q=4m（mN *），则 设 k=m（n 1），可得 54m（n1） =53（1+4 +42+4k1）+1，=35（1+4+4 2+4k1）+2 1， 因为 5（1+
36、4+4 2+4k1）+2 为正整数，可得数列b n是数列 an中包含的无穷等比数列，进而证明结论解法 2：设 ，所以公比 因为等比数列b n的各项为整数，所以 q 为整数，取 ，则 q=3m+1，故 ，由得， ，n2 时，可得 kn 是正整数，因此以数列b n是数列a n中包含的无穷等比数列，即可证明【解答】解：（1）当 n=1 时，（a 1+1）（a 2+1）=6（S 1+1），故 a2=5；当 n2 时，（a n1+1）（a n+1）=6（S n1+n1），所以（a n+1）（ an+1+1）（ an1+1）（a n+1）=6 （S n+n）6（S n1+n1），即（a n+1）（ an+
37、1an1）=6（a n+1），又 an0，所以 an+1an1=6，（3 分）所以 a2k1=a+6（k1）=6k+a6，a 2k=5+6（k1）=6k1 ，kN *，故 （2）当 n 为奇数时， ，由 Snn（3n+1）得， 恒成立，令 ，则 ，所以 af（1）=4 （8 分）当 n 为偶数时， ，由 Snn（3n+1）得，a3（n +1）恒成立，所以 a9又 a1=a0，所以实数 a 的取值范围是（0，4（10 分）（3）证明：当 a=2 时，若 n 为奇数，则 an=3n1，所以 an=3n1解法 1：令等比数列b n的公比 q=4m（mN *），则 设 k=m（n 1），因为 ，所以
38、54m（n1） =53（1+4+4 2+4k1）+1，=3 5（1+4+4 2+4k1）+21， （ 14 分）因为 5（1+4 +42+4k1）+2 为正整数，所以数列b n是数列a n中包含的无穷等比数列，因为公比 q=4m（m N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列b n有无数个（16 分）解法 2：设 ，所以公比 因为等比数列b n的各项为整数，所以 q 为整数，取 ，则 q=3m+1，故 ，由 得， ，而当 n2 时， ，即 ， （14 分）又因为 k1=2，5m（3m+1） n2 都是正整数，所以 kn 也都是正整数，所以数列b n是数列a n中包含的无穷等
39、比数列，因为公比 q=3m+1（m N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列b n有无数个（16 分）【点评】本题考查了构造方法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题附加题选做题本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 0 分）21（2016 秋 淮安期末）如图，AB 为半圆 O 的直径，D 为弧 BC 的中点，E为 BC 的中点，求证：ABBC=2ADBD【考点】与圆有关的比
40、例线段【分析】证明ABD BDE ，即可证明结论【解答】证明：因为 D 为弧 BC 的中点，所以DBC=DAB，DC=DB，因为 AB 为半圆 O 的直径，所以ADB=90，又 E 为 BC 的中点，所以 EC=EB，所以 DEBC ，所以ABD BDE，所以 ，所以 ABBC=2ADBD（10 分）【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 0 分）22（2016 秋 淮安期末）已知矩阵 A= 的一个特征值为 2，其对应的一个特征向量为 a= ，求实数 a，b 的值【考点】特征向量的定义【分析】由条件知，A=2，从而 ，
41、由此能求出 a，b 的值【解答】解：矩阵 A= 的一个特征值为 2，其对应的一个特征向量为a= ，由条件知，A=2，即 ，即 ，（6 分） ，解得a ，b 的值分别为 2，4 （10 分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 0 分）23（2016 秋 淮安期末）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线 l： sin（ ）=m（mR），圆 C 的参数方程为 （t 为参数）当圆心 C 到直线 l 的距离为 时，求 m 的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极
42、坐标方程【分析】根据极坐标方程，参数方程与普通方程的关系求出曲线的普通方程，利用点到 hi 直线的距离公式进行求解即可【解答】解：由 sin（ ）=m 得 sincos cossin =m，即 xy+m=0，即直线 l 的直角坐标方程为 xy+m=0，圆 C 的普通方程为（x1） 2+（y +2） 2=9，圆心 C 到直线 l 的距离 ，解得 m=1 或 m=5【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，结合点到直线的距离公式解决本题的关键选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 0 分）24（2016 秋 淮安期末）已知 a，b ，c 为正实数， + + +27abc 的最小值为
43、m，解关于 x 的不等式 |x+l|2xm 【考点】绝对值不等式的解法【分析】根据基本不等式的性质求出 m 的值，从而解不等式即可【解答】解：因为 a，b， c0，所以= ，当且仅当 时，取“=” ，所以 m=18 （6 分）所以不等式|x+1|2xm 即 |x+1|2x+18，所以2x18x+12x+18，解得 ，所以原不等式的解集为 （10 分）【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解不等式问题，是一道基础题【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25（2016 秋 淮安期末）甲、乙、丙分别从
44、A，B，C，D 四道题中独立地选做两道题，其中甲必选 B 题（1）求甲选做 D 题，且乙、丙都不选做 D 题的概率；（2）设随机变量 X 表示 D 题被甲、乙、丙选做的次数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）利用古典概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出（2）利用互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式即可得出【解答】解：（1）设“甲选做 D 题，且乙、丙都不选做 D 题” 为事件 E甲选做 D 题的概率为 ，乙，丙不选做 D 题的概率都是 则 答：甲选做 D 题，且乙、丙都不选做 D 题的概率为 （2
45、）X 的所有可能取值为 0，1，2，3 ， 所以 X 的概率分布为X 0 1 2 3PX 的数学期望 【点评】本题考查了古典概率计算公式、互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题26（2016 秋 淮安期末）已知等式（1+x） 2n1=（1 +x） n1（1+x ） n（1）求（1+x） 2n1 的展开式中含 xn 的项的系数，并化简： + +；（2）证明：（ ） 2+2（ ） 2+n（ ） 2=n 【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质【分析】（1）（1+x） 2n1 的展开式中含 xn 的项的系数为 ，由可知，（1+x ） n1（1+x） n 的展开式中含 xn 的项的系数为即可证明（2）当 kN*时， =即可证明【解答】（1）解：（1+x ） 2n1 的展开式中含 xn 的项的系数为 ，由可知，（1+x） n1（1+x） n 的展开式中含 xn 的项的系数为所以 （2）证明：当 kN*时， =所以 =由（1）知 ，即 ，
