1、2017 届江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1设集合 A=x|x0 ，B=x|1x2，则 AB= 2复数 ，（其中 i 是虚数单位），则复数 z 的共轭复数为 3命题“x2 ，x 24” 的否定是 4从 3 男 2 女共 5 名学生中任选 2 人参加座谈会，则选出的 2 人恰好为 1 男 1女的概率为 5根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 6已知向量 ，若 与 垂直，则 m 的值为 7设不等式 表示的平面区域为 M，若直线 y=kx2 上存在 M 内的点，则实数 k 的取值范围是 8已知 是奇函数，则 f（g （2）= 9
2、设公比不为 1 的等比数列a n满足 ，且 a2，a 4，a 3 成等差数列，则数列a n的前 4 项和为 10设 ，则 f（x）在 上的单调递增区间为 11已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为 120，且面积为 3 的扇形，则该圆锥的体积等于 12设 P 为有公共焦点 F1，F 2 的椭圆 C1 与双曲线 C2 的一个交点，且 PF1PF 2，椭圆 C1 的离心率为 e1，双曲线 C2 的离心率为 e2，若 3e1=e2，则 e1= 13若函数 f（x ）在m， n（mn）上的值域恰好为m，n ，则称 f（x）为函数的一个“ 等值映射区间” 下列函数：y=x 21；y=2+log 2x；y=2
3、 x1；其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 个14已知 a0，b0 ，c2，且 a+b=2，则 的最小值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15（14 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且 sinA+cos2=1，D 为 BC 上一点，且 （1）求 sinA 的值；（2）若 a=4 ，b=5，求 AD 的长16（14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， AP平面 PCD，E，F分别为 PC，AB 的中点求证：（1）平面 PAD平面 ABCD；（2）EF平面 PAD17（14 分）
4、某地拟在一个 U 形水面 PABQ（A=B=90 ）上修一条堤坝（E在 AP 上， N 在 BQ 上），围出一个封闭区域 EABN，用以种植水生植物为了美观起见，决定从 AB 上点 M 处分别向点 E，N 拉 2 条分割线 ME，MN，将所围区域分成 3 个部分（如图），每部分种植不同的水生植物已知AB=a，EM=BM，MEN=90，设所拉分割线总长度为 l（1）设AME=2，求用 表示的 l 函数表达式，并写出定义域；（2）求 l 的最小值18（16 分）已知椭圆 ，动直线 l 与椭圆交于 B，C 两点（B 在第一象限）（1）若点 B 的坐标为（1， ），求OBC 面积的最大值；（2）设 B
5、（x 1，y 1），C（x 2，y 2），且 3y1+y2=0，求当OBC 面积最大时，直线 l 的方程19（16 分）数列a n的前 n 项和为Sn， （1）求 r 的值及数列a n的通项公式；（2）设 ，记b n的前 n 项和为 Tn当 nN*时，T 2nTn 恒成立，求实数 的取值范围；求证：存在关于 n 的整式 g（n），使得 对一切n2 ，n N*都成立20（16 分）已知 f（x）=x 2+mx+1（m R），g（x）=e x（1）当 x0，2时，F（ x）=f （x ） g（x）为增函数，求实数 m 的取值范围；（2）若 m（ 1，0），设函数 ，求证：对任意x1， x21，1m
6、 ，G（x 1）H（x 2）恒成立加试题说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修 4-4：坐标系与参数方程21设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴已知曲线C 的极坐标方程为 =8sin（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 （t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长选修 4-2：矩阵与变换22已知变换 T 将平面上的点 分别变换为点设变换 T 对应的矩阵为 M（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的特征值23某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过 2 小时免费，超过2 小时的部分每小时收费 1 元（不足 1 小时的部分按 1
7、 小时计算）现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过 5 小时设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示（0，2 （2，3 （3，4 （4，5 甲 x x x乙 y 0（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望E24如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为直角梯形，ADBC，BAD=CBA=90，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G 分别为BC， PD，PC 的中点（1）求 EF 与 DG 所成角的余弦值；（2）若 M 为 EF 上一点，N 为 DG 上一点，是否存
8、在 MN，使得 MN平面PBC？若存在，求出点 M，N 的坐标；若不存在，请说明理由2017 届江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1设集合 A=x|x0 ，B=x|1x2，则 AB= x|0x2 【考点】交集及其运算【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x|x 0，B=x|1x2，AB=x |0x2，故答案为：x|0x2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2复数 ，（其中 i 是虚数单位），则复数 z 的共轭复数为 1i 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直
9、接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案【解答】解： = ，则复数 z 的共轭复数为：1i故答案为：1i【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3命题“x2 ，x 24” 的否定是 x 02，x 024 【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x2，x 24”的否定是：x 02，x 024故答案为：x 02，x 02 4【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4从 3 男 2 女共 5 名学生中任选 2 人参加座谈会，则选出的 2 人恰好为
10、 1 男 1女的概率为 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数 n= =10，再求出选出的 2 人恰好为 1 男 1 女包含的基本事件个数 m= ，由此能求出选出的 2 人恰好为 1 男 1 女的概率【解答】解：从 3 男 2 女共 5 名学生中任选 2 人参加座谈会，基本事件总数 n= =10，选出的 2 人恰好为 1 男 1 女包含的基本事件个数 m= ，选出的 2 人恰好为 1 男 1 女的概率 p= = 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用5根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 70
11、【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 S，i 的值，可得当 i=9 时不满足条件 i8，退出循环，输出 S 的值为 70【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S= 2满足条件 i8，执行循环体，i=3，S=7满足条件 i8，执行循环体，i=5，S=22满足条件 i8，执行循环体，i=7，S=43满足条件 i8，执行循环体，i=9，S=70不满足条件 i8，退出循环，输出 S 的值为 70故答案为：70【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题6已知向量 ，若 与 垂直，则 m 的值为 【考点】
12、平面向量的坐标运算【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量若 与 ，然后再由垂直向量的数量积为 0 列式求解 m 的值【解答】解：向量 ， =（1，2）， =（2m+1，m 1）， 与 垂直（ ）（ ）=0，即 2m+1+2（m1）=0，解得 m= ，故答案为：【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题7设不等式 表示的平面区域为 M，若直线 y=kx2 上存在 M 内的点，则实数 k 的取值范围是 2，5 【考点】简单线性规划【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数 y=kx+1 的图象是过点A（0 ， 2），斜率为 k 的直线 l，故由图即可得出其
13、范围【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，如图因为函数 y=kx2 的图象是过点 A（0，2），且斜率为 k 的直线 l，由图知，当直线 l 过点 B（1，3）时，k 取最大值 =5，当直线 l 过点 C（2，2）时， k 取最小值 =2，故实数 k 的取值范围是2，5故答案为：2，5【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题8已知 是奇函数，则 f（g （2）= 1 【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可【解答】解：f（x）是奇函数，g （2）=f（ 2）= f（
14、2） =（2 23）= 1，则 f（1）=f（1）= （23）=1 ，故 f（g（2 ）=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键9设公比不为 1 的等比数列a n满足 ，且 a2，a 4，a 3 成等差数列，则数列a n的前 4 项和为 【考点】等比数列的前 n 项和【分析】设等比数列a n的公比为 q，根据 a2，a 4，a 3 成等差数列，可得=a2+a2q，q1，解得 q再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 2， a4，a 3 成等差数列，2a 4=a2+a3， =a2+a2q，化为
15、：2q 2q1=0，q 1，解得 q= ， = ，解得 a1=1则数列a n的前 4 项和= = 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10设 ，则 f（x）在 上的单调递增区间为 0， 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即可【解答】解： =sin2x+ sinxcosx= （1cos2x） + sin2x=sin（2x ）+ ，由 2k 2x 2k+ ，k Z，得 k xk+ ，kZ，x ，当 k=0 时， x ，即 0x ，即函数 f（x ）在
16、 上的单调递增区间为0， ，故答案为：0， 【点评】本题主要考查三角函数图象和性质的考查，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键11已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为 120，且面积为 3 的扇形，则该圆锥的体积等于 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的母线为 l，底面半径为 r，由已知条件求出 l=3，r=1，从而求出圆锥的高，由此能求出圆锥的体积【解答】解：设圆锥的母线为 l，底面半径为 r，3= l2，l=3，120= 360，r=1，圆锥的高是 =2 ，圆锥的体积是 122 = 故答案为： 【点评】本题考查圆锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理
17、运用12设 P 为有公共焦点 F1，F 2 的椭圆 C1 与双曲线 C2 的一个交点，且 PF1PF 2，椭圆 C1 的离心率为 e1，双曲线 C2 的离心率为 e2，若 3e1=e2，则 e1= 【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的几何性质可得， =b12tan，根据双曲线的几何性质可得， = 以及离心率以及 a，b，c 的关系即可求出答案【解答】解：设F 1AF2=2根据椭圆的几何性质可得， =b12tan=b12，e 1= ，a 1= ，b 12=a12c2=c2（ 1）根据双曲线的几何性质可得， = =b22，e 2=a2=b 22=c2a22=c2（1 ），c 2（ 1）=c 2
18、（1 ），即 + =2，3e 1=e2，e 1=故答案为：【点评】本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题13若函数 f（x ）在m， n（mn）上的值域恰好为m，n ，则称 f（x）为函数的一个“ 等值映射区间” 下列函数：y=x 21；y=2+log 2x；y=2 x1；其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 2 个【考点】函数的值域【分析】若函数 f（x）在 m，n（mn ）上的值域恰好为m，n ，则称f（x）为函数的一个“ 等值映射区间”根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数 y=x 有两个交点即可判断【解答】解：根据新定义可知，“等值映射区
19、间” 即是函数与另一函数 y=x 有两个交点对于y=x 21；根据新定义可得：x 21=x，方程有两个解，即函数 y=x21 与函数y=x 有两个交点故 是；对于y=2 +log2x；根据新定义可得：2+log 2x=x，即函数 y=2+log2x 与函数 y=x 有一个交点故不是；对于y=2 x1；根据新定义可得：2 x1=x，即函数 y=2x1 与函数 y=x 有一个交点故不是；对于 ；根据新定义可得：x 2x=1，方程有两个解，即函数 与函数 y=x 有两个交点故 是；故答案为：2【点评】本题考查了新定义的理解和定义域，值域的关系的运用属于中档题14已知 a0，b0 ，c2，且 a+b=
20、2，则 的最小值为 + 【考点】基本不等式【分析】由 2= ，先将 + 变形为 ，运用基本不等式可得最小值，再求 c+ = （c2）+ +1的最小值，运用基本不等式即可得到所求值【解答】解：a0，b0，c2，且 a+b=2，则 =c（ + ）+= + ，由 2= ，可得 = = ，当且仅当 b= a 时，取得等号则原式 c+ = （c 2）+ +1 2 +1= + 当且仅当 c=2+ 时，取得等号则所求最小值为 + 故答案为： + 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三等，考查化简和运算能力，属于中档题二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出
21、必要的文字说明或推理、验算过程.15（14 分）（2016 秋无锡期末）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为a， b，c ，且 sinA+cos2 =1，D 为 BC 上一点，且 （1）求 sinA 的值；（2）若 a=4 ，b=5，求 AD 的长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得5sin2A4sinA=0，结合范围 A（0，），即可解得 sinA 的值（2）由余弦定理可得 c26c7=0，解得 c 的值，利用平面向量的运算可求 2 的值，进而可求 AD 的值【解答】解：（1）sinA +cos2 =1，sinA+ =1，即 2
22、sinAcosA=1，2 分（2sinA1） 2=cos2A，即 5sin2A4sinA=0，A （0，），sinA0，sinA= ，cosA= 6 分（2）a=4 ，b=5，cosA= ，由余弦定理可得：32=25+c 225c ，即：c 26c7=0，解得：c=7，10 分 ， 2= + + bccosA= + + =25，12 分AD=514 分【点评】本题主要考查了降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题16（14 分）（2016 秋无锡期末）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AP平面 PCD，E，
23、F 分别为 PC，AB 的中点求证：（1）平面 PAD平面 ABCD；（2）EF平面 PAD【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（1）利用线面垂直的性质可证 APCD ，又 ABCD 为矩形，AD CD ，利用线面垂直的判定定理可证 CD平面 PAD，利用面面垂直的判定可证平面PAD平面 ABCD（2）连接 AC，BD 交于点 O，连接 OE，OF，由 ABCD 为矩形，O 点为 AC 中点，可证 OEPA，进而可证 OE平面 PAD，同理可得：OF平面 PAD，通过证明平面 OEF平面 PAD，即可证明 EF平面 PAD【解答】证明：（1）AP平面 PCD，CD 平面
24、PCD，AP CD，ABCD 为矩形，ADCD ，2 分又AP AD=A，AP 平面 PAD，AD平面 PAD，CD平面 PAD，4 分CD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD6 分（2）连接 AC，BD 交于点 O，连接 OE，OF，ABCD 为矩形，O 点为 AC 中点，E 为 PC 中点，OEPA ，OE平面 PAD，PA 平面 PAD，OE平面 PAD，8 分同理可得：OF平面 PAD，10 分OEOF=O ，平面 OEF平面 PAD，12 分EF 平面 OEF，EF 平面 PAD14 分【点评】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，线面平行的判定与面面平行的性质
25、的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题17（14 分）（2016 秋无锡期末）某地拟在一个 U 形水面PABQ（A=B=90）上修一条堤坝（ E 在 AP 上，N 在 BQ 上），围出一个封闭区域 EABN，用以种植水生植物为了美观起见，决定从 AB 上点 M 处分别向点 E，N 拉 2 条分割线 ME，MN，将所围区域分成 3 个部分（如图），每部分种植不同的水生植物已知 AB=a，EM=BM，MEN=90，设所拉分割线总长度为 l（1）设AME=2，求用 表示的 l 函数表达式，并写出定义域；（2）求 l 的最小值【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】（1）设AME
26、=2，求出 EM，MN，即可求用 表示的 l 函数表达式，并写出定义域；（2）令 f（）=sin（1sin），sin（0， ），即可求 l 的最小值【解答】解：（1）EM=BM，B=MEN，BMN EMN，BNM= MNE，AME=2，BNM= MNE=，设 MN=x，在BMN 中， BM=xsin，EM=BM=xsin ，EAM 中，AM=EMcos2=xsincos2，AM+BM=a ，xsincos2+xsin=a，x= ，l=EM+MN= ， （0， ）；（2）令 f（）=sin（1sin），sin（0， ），f（ ） ，当且仅当 = 时，取得最大值 ，此时 lmin=2a【点评】本题
27、考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题18（16 分）（2016 秋无锡期末）已知椭圆 ，动直线 l 与椭圆交于B，C 两点（B 在第一象限）（1）若点 B 的坐标为（1， ），求OBC 面积的最大值；（2）设 B（x 1，y 1），C（x 2，y 2），且 3y1+y2=0，求当OBC 面积最大时，直线 l 的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）直线 OB 的方程为：y= x，即 3x2y=0，设经过点 C 且平行于直线 OB 的直线 l方程为：y= x+b则当 l与椭圆只有一个公共点时，OBC 的面积最大此时直线与椭圆相切（2）直线 l 与 y 轴不垂直，设直
28、线 l 的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化为：（3m 2+4）y 2+6mny+3n212=0，利用根与系数的关系及其 3y1+y2=0，可得 n2= 则 SOBC= |y1y2|=2|n|y1|= = 进而得出结论【解答】解：（1）直线 OB 的方程为：y= x，即 3x2y=0，设经过点 C 且平行于直线 OB 的直线 l方程为：y= x+b则当 l与椭圆只有一个公共点时， OBC 的面积最大联立 ，化为：3x2+3bx+b23=0，由=9b 212（b 23）=0，解得 b= 当 b=2 时，C ；当 b=2时，C SOBC = （2）直线 l 与 y 轴不垂直，设直线 l 的方程
29、为：x=my+n，联立 ，化为：（3m 2+4）y 2+6mny+3n212=0，y 1+y2= ，y 1y2= 3y 1+y2=0，y 1= ， = ，= ，n 2= S OBC = |y1y2|=2|n|y1|= = B 在第一象限，x 1=my1+n= +n0 ，n0y 10，m0S OBC = = = ，当且仅当 m= 时取等号此时 n= 此时直线 l 的方程为：x= y+ ，即 2 xy+ =0【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线与椭圆相切问题、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题19（16 分）（2016 秋无锡
30、期末）数列a n的前 n 项和为 Sn，（1）求 r 的值及数列a n的通项公式；（2）设 ，记b n的前 n 项和为 Tn当 nN*时，T 2nTn 恒成立，求实数 的取值范围；求证：存在关于 n 的整式 g（n），使得 对一切n2 ，n N*都成立【考点】数列的求和；数列与不等式的综合【分析】（1）n=1 时，S 1=a1 =a1，解得 r，可得 Sn=an 利用递推关系可得 = ，（n2）利用“ 累乘求积”方法可得 an（2）b n= = ，T n= + ，T 2n= + ，作差可得数列T2nTn的单调性利用当 nN*时， T 2nTn 恒成立，可得 的求值范围由可得：n2 时 TnTn
31、1= ，即（n+1）T nnTn1=Tn1+1，n2 时，可得=（n+1 ）T n1即可得出【解答】（1）解：n=1 时，S 1=a1 =a1，解得 r= ，S n=an n2 时，S n1=an1 两式相减可得：a n=an an1 = ，（n2）a n= = 2=n（n+1），n=1 时也适合a n=n（n+1 ）（2）解：b n= = ，T n= + ，T 2n= + ，T 2nTn= + ，令 Bn=T2nTn，则 Bn+1Bn= =0，因此数列B n单调递增，（B n） min= 当 nN*时，T 2nTn 恒成立， 证明：由可得：n2 时 TnTn1= ，即（n+1）T nnTn1
32、=Tn1+1，n2 时， =（3T 22T1）+（4T 33T2） +（n+1）T nnTn1=（ n+1）T n2T1=（n+1）T n1存在关于 n 的整式 g（n）=n+1，使得 对一切n2 ，n N*都成立【点评】本题考查了数列的递推关系、“累乘求积”方法、“累加求和” 方法、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（16 分）（2016 秋无锡期末）已知 f（x）=x 2+mx+1（mR ），g （x ）=ex（1）当 x0，2时，F（ x）=f （x ） g（x）为增函数，求实数 m 的取值范围；（2）若 m（ 1，0），设函数 ，求证：对任意x1， x21，1m ，G（
33、x 1）H（x 2）恒成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数 F（x）的导数，分离参数，问题转化为 me x2x 在0，2 恒成立，令 h（x）=e x2x，x 0，2，根据函数的单调性求出 m 的范围即可；（2）问题转化为证 G（x） maxH（x ） min，根据函数的单调性分别求出 G（x）的最大值和 H（x ）的最小值，从而证出结论【解答】解：（1）F（ x）=x 2+mx+1ex，F （ x）=2x +mex，x0，2时，F（x ）是增函数，F （ x）0 即 2x+mex0 在0，2上恒成立，即 me x2x 在0，2 恒成立，令 h（x）=e x2x，x0
34、，2，则 h（x ）=e x2，令 h（x）=0，解得：x=ln2，h（x）在0，ln2递减，在ln2 ，2递增，h（0）=1，h（2）=e 241，h（x） max=h（2）=e 24；（2）G（x）= ，则 G（x）= ，对任意 x1，x 21，1 m，G（x 1）H（x 2）恒成立，即证 G（x） maxH（x） min，x1，1m ，G（x）在1，1m递增，G（x） max=G（1m）= ，H （x）在 1，1m递减，H（ x） min=H（1m）= （1m）+ ，要证 G（x） maxH（x） min，即证 （1m）+ ，即证 4（2m）e 1m5（1 m），令 1m=t，则 t（1
35、 ，2），设 r（x）=e x（5x）4（x+1），x 1，2，即 r（x）=5e xxex4x4，r（x ）=（4x ）e x42e x40，r（x）在1，2递增，r（1）=4e80，e x（5 x） 4（x +1），从而有 （1m）+ ，即当 x1，1m，G （x 1）H（x 2）恒成立【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题加试题说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修 4-4：坐标系与参数方程21（2016 秋 无锡期末）设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴已知曲线 C 的极坐标方程为 =8sin（1）求曲
36、线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 （t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）曲线 C 的极坐标方程为 =8sin，即 2=8sin利用互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程（2）设直线 （t 为参数）的直角坐标方程为 y=x+2x 2+y2=8y，配方为x2+（ y4） 2=16，可得圆心 C（0，4），半径 r=4求出圆心 C 到直线的距离d可得|AB|=2 【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 =8sin，即 2=8sin曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=8y（2）设直线 （t 为参数）的直角坐标方程为 y=x+2x
37、2+y2=8y，配方为 x2+（y4） 2=16，可得圆心 C（0，4），半径 r=4圆心 C 到直线的距离 d= = |AB|=2 =2 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式公式、直线与圆直角弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-2：矩阵与变换22（2016 秋 无锡期末）已知变换 T 将平面上的点 分别变换为点 设变换 T 对应的矩阵为 M（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的特征值【考点】特征向量的意义；几种特殊的矩阵变换【分析】（1）设 M= ，由矩阵变换可得方程组，解方程即可得到所求；（2）设矩阵 M 的特征多项式为 f（ ），可得特征多
38、项式，解方程可得特征值【解答】解：（1）设 M= ，则 = ，= ，即为 ，即 a=3，b= ，c= 4，d=4 ，则 M= ；（2）设矩阵 M 的特征多项式为 f（ ），可得 f（ ）= =（ 3）（ 4） 6=27+6，令 f（）=0，可得 =1 或 =6【点评】本题考查矩阵变换和特征值的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想的运用，属于基础题23（2016 秋 无锡期末）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过 2 小时免费，超过 2 小时的部分每小时收费 1 元（不足 1 小时的部分按 1小时计算）现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过 5 小时设甲
39、、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示（0，2 （2，3 （3，4 （4，5 甲 x x x乙 y 0（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）首先求出 x、y ，个人停车所付费用相同即停车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时且不超过四小时三类求解即可（2）随机变量 的所有取值为 0，1、2，3，4，5，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可【解答】解：（1）由题意得 记甲乙两人所付车费相同的事
40、件为 A，P（A ）= ，甲、乙两人所付车费相同的概率为 （2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量 ， 的所有取值为0，1 、2 ，3，4，5 P（=0 ）= ，P（=1）= ，P（=2）=，P（=3 ）=P（ =4）= ，P（=5 ）= 所以 的分布列为： 0 1 2 3 4 5P 的数学期望 E=0 +1 +2 +3【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题24（2016 秋 无锡期末）如图，四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD，四边形ABCD 为直角梯形，ADBC，BAD=CBA=90，PA=AB=BC
41、=1， AD=2，E，F ，G 分别为 BC，PD，PC 的中点（1）求 EF 与 DG 所成角的余弦值；（2）若 M 为 EF 上一点，N 为 DG 上一点，是否存在 MN，使得 MN平面PBC？若存在，求出点 M，N 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角【分析】（1）以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 EF 与 DG 所成角的余弦值（2）求出平面 PBC 的法向量，若存在 MN，使得 MN平面 PBC，则 ，由此利用向量法能求出结果【解答】解：（1）以 A 为坐标原点，AB
42、 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0 ， 0），B（1 ，0，0），C（1，1，0）， D（0，2，0 ），P（0 ，0，1），E 、F、G 分别为 BC、PD、PC 的中点， ，F（0，1， ），G（ ）， =（1， ），=（ ），设 EF 与 DG 所成角为 ，则 cos= = EF 与 DG 所成角的余弦值为 （2）设平面 PBC 的法向量为 =（x，y ，z）， =（0，1，0）， =（1，0， 1）， ，取 x=1，得 =（1，0，1），M 为 EF 上一点， N 为 DG 上一点，若存在 MN，使得 MN平面 PBC，则 ，设 M（ ），N（x 2，y 2，z 2），则 ，点 M，N 分别是线段 EF 与 DG 上的点， ， =（ ）， =（x 2，y 22，z 2）， ，且 ，把代入，得 ，解得 ，M（ ），N（ ）
