1、2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷 （文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 M=1，1，N= ，则 MN=（ ）A 1，1 B1 C 0 D 1，02已知 =b+i（a，bR ） ，其中 i 为虚数单位，则 a+b=（ ）A 1 B1 C2 D33已知向量 =（+1，1） ， =（+2，2） ，若（ + ）（ ） ，则 =（ ）A 4 B3 C2 D 14已知 sin（+ ）+cos（ ）= ， 0，则 cos（ + ）等于（ ）A B C D5设 a，b ， c 是
2、空间三条直线， 是空间两个平面，则下列命题不成立的是（ ）A当 c 时，若 c，则 B当 b，且 c 是 a 在 内的射影时，若 bc ，则 abC当 b 时，若 b，则 D当 b，且 c 时，若 c ，则 bc6一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m） ，则该棱锥的全面积是（单位：m 2） （ ）A B C D7执行程序框图，若输出的结果是，则输入的 a 为（ ）A3 B6 C5 D48双曲线=1（a0，b 0）的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A B C D9从1，2 ，3，4，5 中随机选取一个数为 a，从1，2，3中随机选取一个数为 b，则 ba 的
3、概率是（ ）A B C D10在ABC 中，A=60，BC= ，D 是 AB 边上的一点，CD=，CBD 的面积为1，则 BD 的长为（ ）A B4 C2 D111定义在 R 上的函数 y=f（x）满足， （x ）f （x） 0，任意的 x1x 2，都有f（x 1）f（ x2）是 x1+x25 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件12已知函数 f（x ）是定义在 a1，2a上的偶函数，且当 x0 时，f（x）单调递增，则关于 x 的不等式 f（x1）f（a）的解集为（ ）A BC D随 a 的值而变化二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填
4、在答题纸上）13设变量 x，y 满足约束条件则 z=3x2y 的最大值为 14定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 y2=x 上移动，设点 P 为线段 MN 的中点，则 P 到 y 轴距离的最小值为 15直线 l1：y=x+a 和 l2： y=x+b 将单位圆 C：x 2+y2=1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= 16长方体 ABCDA1B1C1D1 的各个顶点都在体积为的球 O 的球面上，其中AA1=2，则四棱锥 OABCD 的体积的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且
5、 Sn，a n，成等差数列（1）证明数列a n是等比数列；（2）若 bn=log2an+3，求数列 的前 n 项和 Tn18如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分） ，已知甲代表队数据的中位数为 76，乙代表队数据的平均数是 75（1）求 x，y 的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定） 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，ABC=120，G
6、 为线段 PC 上的点，（1）证明：BD 平面 PAC（2）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值20已知椭圆 的两个焦点为 F1、F 2，离心率为 ，直线 l与椭圆相交于 A、B 两点，且满足|AF 1|+|AF2|=4 ，O 为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）证明：OAB 的面积为定值21已知函数 f（x ）=lnx a（x1） （aR ） （）若 a=2，求曲线 y=f（x ）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若不等式 f（x） 0 对任意 x（1，+）恒成立，求实数 a 的取值范围选修 4 一 1：几何证明选讲22如图，AB 是圆 O 的直径，弦
7、CDAB 于点 M，E 是 CD 延长线上一点，AB=10，CD=8 ，3ED=4OM，EF 切圆 O 于 F，BF 交 CD 于 G（1）求证：EFG 为等腰三角形；（2）求线段 MG 的长选修 4 一 4：坐标系与参数方程23在直角坐标系中，圆 C1：x 2+y2=1 经过伸缩变换 后得到曲线 C2 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos+2sin=（1）求曲线 C2 的直角坐标方程及直线 l 的直角坐标方程；（2）在 C2 上求一点 M，使点 M 到直线 l 的距离最小，并求出最小距离选修 4 一 5：不等
8、式选讲24已知函数 f（x ）=|x1|+|x2|（I）求关于 x 的不等式 f（x ）2 的解集；（）如果关于 x 的不等式 f（x）a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷 （文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 M=1，1，N= ，则 MN=（ ）A 1，1 B1 C 0 D 1，0【考点】交集及其运算【分析】N 为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与 M 求交集求【解答】解： 212 x+12
9、 21x +122x1，即 N=1，0又 M=1，1 M N=1，故选 B2已知 =b+i（a，bR ） ，其中 i 为虚数单位，则 a+b=（ ）A 1 B1 C2 D3【考点】复数代数形式的混合运算【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出 a、b ，可得结果【解答】解：由 得 a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知 a=1，b=2 ，所以 a+b=1另解：由 得ai+ 2=b+i（a，b R） ，则a=1，b=2，a+b=1故选 B3已知向量 =（+1，1） ， =（+2，2） ，若（ + ）（ ） ，则 =（ ）A 4 B3 C2 D 1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】
10、利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解： ， =（2 +3，3） ， ， =0，（2+3 ） 3=0，解得 =3故选 B4已知 sin（+ ）+cos（ ）= ， 0，则 cos（ + ）等于（ ）A B C D【考点】三角函数的化简求值【分析】利用和与差的正弦公式、诱导公式对已知等式进行变形转换，得到：sin（ + ） +cos（ ）= sin（+ ） ，然后再利用诱导公式将cos（+ ）转化为sin（ + ）的形式，即可解答【解答】解：sin（+ ）+cos （ ）=sincos +cossin +sin= sin+ cos= （ sin+ cos）= sin（ +
11、）= ，sin （ + ）= 又 cos（+ ）=cos（+ + ）=sin （ + ） ，cos（+ ）= 故选：C5设 a，b ， c 是空间三条直线， 是空间两个平面，则下列命题不成立的是（ ）A当 c 时，若 c，则 B当 b，且 c 是 a 在 内的射影时，若 bc ，则 abC当 b 时，若 b，则 D当 b，且 c 时，若 c ，则 bc【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：当 c 时，若 c，则由平面与平面平行的判定定理知 ，故 A 正确；当 b，且 c 是 a 在 内的射影时，若 bc，则由三垂线定理知 ab，故
12、B 正确；当 b 时，若 b，则由平面与平面垂直的判定定理知 ，故 C 正确；当 b，且 c 时，若 c ，则 b 与 c 平行或异面，故 D 错误故选：D6一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m） ，则该棱锥的全面积是（单位：m 2） （ ）A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为 2，底连长也为 2 的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底
13、面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为 2，底面连长为 2，故它们的面积皆为 =2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为 ，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2 ，同理可求出侧面底边长为 ，可求得此两侧面的面积皆为 = ，故此三棱锥的全面积为 2+2+ + = ，故选 A7执行程序框图，若输出的结果是 ，则输入的 a 为（ ）A3 B6 C5 D
14、4【考点】循环结构【分析】由题意按照循环计算前几次结果，判断最后循环时的 n 值，求出判断框的条件，即可得到输入的数值【解答】解：第 1 次循环，n=1，S= ，第 2 次循环，n=2，S= ，第 3 次循环，n=3，S= ，第 4 次循环，n=4，S= ，因为输出的结果为 ，所以判断框的条件为 n4，所以输入的 a 为：4故选 D8双曲线 =1（a0，b0）的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】把双曲线的一条渐近线方程代入抛物线，整理得到一个一元二次方程，由渐近线与抛物线只有一个公共点，由此利用根的判别式为 0，结合双
15、曲线的a， b，c 的关系和离心率公式能求出结果【解答】解：双曲线 =1（a0，b0）的渐近线方程为 y= x，把 y= x 代入抛物线抛物线 y=x2+1，得 bx2ax+b=0，渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，=a 24b2=0，a=2b，e= = = = 故选 A9从1，2 ，3，4，5 中随机选取一个数为 a，从1，2，3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是（ ）A B C D【考点】等可能事件的概率【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有 53 种结果，而满足条件的事件是 a=1，b=2；a=1 ，b=3；a=2，b=3共有 3 种结果【
16、解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有 53 种结果，而满足条件的事件是 a=1，b=2 ；a=1 ，b=3 ；a=2，b=3 共有 3 种结果，由古典概型公式得到 P= = ，故选 D10在ABC 中，A=60，BC= ，D 是 AB 边上的一点，CD= ，CBD 的面积为 1，则 BD 的长为（ ）A B4 C2 D1【考点】余弦定理；正弦定理【分析】根据三角形的面积求出 sinBCD 和 cos BCD，结合余弦定理进行求解即可【解答】 解：CBD 的面积为 1，S= CDBCsinBCD= sinBCD=1，即 sinBCD= ，A=60，cos
17、BCD= ，在三角形 BCD 中，BD2=CD2+BC22CDBCcosBCD=2+10 2 =128=4，则 BD=2，故选：C11定义在 R 上的函数 y=f（x）满足 ， （x ）f（x）0，任意的 x1x 2，都有 f（x 1）f（x 2）是 x1+x25 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明；函数的图象【分析】由题意可得 y=f（x ）的图象关于直线 x= 对称，在（ ，+）上是增函数，在（， ）上是减函数根据任意的 x1x 2，都有 f（x 1）f
18、（x 2） ，可得 x1+x25 由 x1+x25 可得 x2 x1，即 x1 离对称轴较远，故 f（x 1）f （x 2） ，由此得出结论【解答】解： ，f（x ）=f （5x） ，即函数 y=f（x ）的图象关于直线 x= 对称又因 ，故函数 y=f（x ）在（ ，+）上是增函数再由对称性可得，函数 y=f（x ）在（ ， ）上是减函数任意的 x1x 2，都有 f（x 1）f（x 2） ，故 x1 和 x2 在区间（， ）上，x 1+x25 反之，若 x1+x25，则有 x2 x1，故 x1 离对称轴较远， x2 离对称轴较近，由函数的图象的对称性和单调性，可得 f（x 1）f（x 2）
19、综上可得， “任意的 x1x 2，都有 f（x 1）f（x 2） ”是“x 1+x25”的充要条件，故选 C12已知函数 f（x ）是定义在 a1，2a上的偶函数，且当 x0 时，f（x）单调递增，则关于 x 的不等式 f（x1）f（a）的解集为（ ）A BC D随 a 的值而变化【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得 a 值，由偶函数性质知，f（x1 ） f（ a）可化为 f（|x 1|）f（ ） ，根据 f（x）的单调性可得|x1| ，再考虑到定义域即可解出不等式【解答】解：因为 f（x）是定义在 a1，2a上的偶函数，所以（a1 ）+ 2a=0，解得
20、 a= 则 f（x）定义域为 ， 由偶函数性质知，f（x1）f（a）可化为 f（|x 1|）f（ ） ，又 x0 时，f（x）单调递增，所以|x1| ，又 x1 ，联立解得 x 或 x ，故不等式 f（x1）f （a）的解集为 ， ）（ ， 故选 C二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13设变量 x，y 满足约束条件 则 z=3x2y 的最大值为 4 【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，设 z=3x2y，再利用 z 的几何意义求最值，只需求出直线 z=3x2y 过可行域内的点 A 时，从而得到 z=3x2y 的最大值即可【解答】解：依题意，画出可行域
21、（如图示） ，则对于目标函数 z=3x2y，当直线经过 A（0，2）时，z 取到最大值，Zmax=4故答案为：414定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线 y2=x 上移动，设点 P 为线段 MN 的中点，则 P 到 y 轴距离的最小值为 【考点】抛物线的简单性质【分析】先设出 A，B 的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出 M 到 y 轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且 A，B ，F 三点共线时取等号判断出 的最小值即可【解答】解：设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，抛物 y2=x 的线准线 x= ，P 到 y 轴距离 S=| |= = ， =
22、2 = ，当且仅当 M， N 过 F 点时取等号，故答案为： 15直线 l1：y=x+a 和 l2： y=x+b 将单位圆 C：x 2+y2=1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= 2 【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的 ，即 = =cos45，由此求得 a2+b2 的值【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的 ， = =cos45= ，a 2+b2=2，故答案为：216长方体 ABCDA1B1C1D1 的各个顶点都在体积为 的球 O 的球面上，其中AA1=2，则四棱锥 OABCD
23、的体积的最大值为 2 【考点】球的体积和表面积【分析】利用体积求出 R，利用长方体的对角线 d=2R=4，得出 a2+b2=12，即可得出结论【解答】解：设球的半径为 R，则 = ， R=2 ，从而长方体的对角线 d=2R=4，设 AB=a，BC=b，因为 AA1=2则 a2+b2+22=16，a 2+b2=12故 =2，当且仅当 时，四棱锥OABCD 的体积的最大值为 2故答案为：2三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn，a n， 成等差数列（1）证明数列a n是等比数列；（2）若 bn=
24、log2an+3，求数列 的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和【分析】 （1）由题意得 2an=Sn+ ，易求 ，当 n2 时，Sn=2an ，S n1=2an1 ，两式相减得 an=2an2an1（n2） ，由递推式可得结论；（2）由（1）可求 =2n2，从而可得 bn，进而有= ，利用裂项相消法可得 Tn；【解答】解：（1）证明：由 Sn，a n， 成等差数列，知 2an=Sn+ ，当 n=1 时，有 ， ，当 n2 时，S n=2an ，S n1=2an1 ，两式相减得 an=2an2an1（ n2） ，即 an=2an1，由于a n为正项数列， an10，于是有 =2（n2） ，数列
25、a n从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数 2，数列a n是以 为首项，以 2 为公比的等比数列（2）解：由（1）知 = =2n2，b n=log2an+3= =n+1， = = ，T n=（ ）+（ ）+（ ）= = 18如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分） ，已知甲代表队数据的中位数为 76，乙代表队数据的平均数是 75（1）求 x，y 的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）
26、【考点】极差、方差与标准差；茎叶图【分析】 （1）按大小数列排列得出 x 值，运用平均数公式求解 y，（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为 34=12，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80，80；82，80；88，80；88，86；88，88种数为3+1+1=5，运用古典概率求解（3）求解甲的平均数，方差，一点平均数，方差，比较方差越小者越稳定，越大，波动性越大得出结论：甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为 76，其中已知高于 76 的有 77，80 ，82 ，88，低于 76 的有 71，71，65，64，所以 x=6，因为乙
27、代表队的平均数为 75，其中超过 75 的差值为5，11， 13，14 ，和为 43，少于 75 的差值为 3，5 ，7，7 ，19 ，和为 41，所以 y=3，（2）甲队中成绩不低于 80 的有 80，82，88；乙队中成绩不低于 80 的有 80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为 34=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82 ， 80；88，80；88，86；88，88种数为 3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 p= ，（3）因为甲的平均数为：= （64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，所以甲的方差
28、 S2 甲 = （64 75） 2+（6575） 2+2（7175） 2+2（76 75）2+（77 75） 2+（8075） 2+（8275） 2+（8875） 2=50.2，又乙的方差 S2 乙 = （56 75） 2+2（6875） 2+（7075） 2+（72 75）2+（73 75） 2+（8075） 2+（8675） 2+（8875） 2+（89 75） 2=100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB=BC=2，AD=CD= ，PA=，ABC=120 ，G 为线段 PC 上的点，（1）证明：BD 平面
29、PAC（2）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】 （1）推导出 PABD ，BDAC，由此能证明 BD平面 PAC（2）由 PA平面 ABCD，得 GO面 ABCD，DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角，由此能求出 DG 与平面 APC 所成的角的正切值【解答】证明：（1）在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PA BD，设 AC 与 BD 的交点为 O，AB=BC=2，AD=CD= ，PA= ，BD 是 AC 的中垂线，故 O 为 AC 的中点，且 BDAC 而 PA AC=A，BD平面 P
30、AC解：（2）若 G 是 PC 的中点，O 为 AC 的中点，则 GO 平行且等于 PA，故由 PA平面 ABCD，得 GO面 ABCD，GO OD ，故 OD平面 PAC，故DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角由题意可得 GO= PA= ，在ABC 中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcos ABC=4+4222cos120=12，AC=2 ，OC= ，RtCOD 中，OD= =2，RtGOD 中，tan DG 与平面 APC 所成的角的正切值为 20已知椭圆 的两个焦点为 F1、F 2，离心率为 ，直线 l与椭圆相交于 A、B 两点，且满足|AF 1|+|AF2|=4
31、，O 为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）证明：OAB 的面积为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】 （1）由椭圆的离心率，结合椭圆的定义及隐含条件求得 a，b ，c 的值，则椭圆方程可求；（）设出直线 AB 的方程为 y=kx+m，再设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系求得 A，B 的横坐标的和与积，结合，得到 A，B 的横坐标的乘积再由 y1y2=（kx 1+m） （kx 2+m）求得 A，B 的纵坐标的乘积，最后把OAB 的面积转化为含有 k，m 的代数式可得为定值【解答】解：（1）由椭圆的离心率为 ，可得，即 a= ，又 2
32、a=|AF1|+|AF2|= ，a= ，c=2，b 2=4，椭圆方程为： ；（）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，再设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立 ，可得（1+2k 2） x2+4kmx+2m28=0= （4km） 24（1+2k 2） （2m 28）=8 （8k 2m2+4） 0， ， ， ，又 y1y2=（kx 1+m） （kx 2+m）= ，（m 24）=m 28k2，即 4k2+2=m2，设原点到直线 AB 的距离为 d，则= = = ，当直线斜率不存在时，有 A（ ） ，B （ ） ，d=2，SOAB = 即OAB 的面积为定值 2 21已知函数 f（x
33、 ）=lnx a（x1） （aR ） （）若 a=2，求曲线 y=f（x ）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若不等式 f（x） 0 对任意 x（1，+）恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数 f（x）在区间 1，+）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解【解答】解：（） 因为 a=2 时，f（x ）=inx +x1，f（x ）= +1所以切点为（1，0） ，k=f（1）=2
34、 所以 a=2 时，曲线 y=f（ x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x2（ II） （ i）由 f（x ）=lnx a（x 1） ，所以 f（x）= ，当 a0 时，x（1，+） ，f（x ）0，f（ x）在（1，+）上单调递增， f（x）f（1）=0，a 0 不合题意当 a2 即 0 1 时，f （x）= 0，在（1，+）上恒成立，f（ x）在（1，+）上单调递减，有 f（x）f（1）=0，a 2 满足题意若 0a2 即 时，由 f（x ）0，可得 1 x ，由 f（x）0，可得 x，f（ x）在 上单调递增，在 上单调递减，f（ ）f（1）=0，0a2 不合题意综上所述，实
35、数 a 的取值范围是2，+） （ ii）a2 时， “比较 ea2 与 ae2 的大小” 等价于“比较 a2 与（e2lna ）的大小”设 g（ x）=x2（e2）lnx， （x2） 则 g（x）=1 = 0g （x）在2，+）上单调递增，因为 g（e ）=0当 x2，e）时， g（x） 0，即 x2（e2）lnx ，所以 ex2x e2当 x（e，+ ）时 g（x） 0，即 x2（e 2）lnx，e x2x e2综上所述，当 a2，e）时，e a2a e2；当 a=e 时，e a2=ae2；当 a（e，+）时，e a2a e2选修 4 一 1：几何证明选讲22如图，AB 是圆 O 的直径，弦
36、 CDAB 于点 M，E 是 CD 延长线上一点，AB=10，CD=8 ，3ED=4OM，EF 切圆 O 于 F，BF 交 CD 于 G（1）求证：EFG 为等腰三角形；（2）求线段 MG 的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】 （1）连接 AF，OF，则 A，F ，G ，M 共圆，FGE= BAF，证明EFG=FGE，即可证明：EFG 为等腰三角形；（2）求出 EF=EG=4 ，连接 AD，则BAD=BFD，即可求线段 MG 的长【解答】 （1）证明：连接 AF，OF，则 A，F ，G ，M 共圆，FGE= BAFEF OF，EFG=BAF，EFG=FGEEF=EG，EFG 为等腰三角形；（
37、2）解：由 AB=10，CD=8 可得 OM=3，ED= OM=4EF2=EDEC=48，EF=EG=4 ，连接 AD，则 BAD=BFD，MG=EMEG=84 选修 4 一 4：坐标系与参数方程23在直角坐标系中，圆 C1：x 2+y2=1 经过伸缩变换 后得到曲线 C2 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos+2sin=（1）求曲线 C2 的直角坐标方程及直线 l 的直角坐标方程；（2）在 C2 上求一点 M，使点 M 到直线 l 的距离最小，并求出最小距离【考点】直线与椭圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；
38、参数方程化成普通方程【分析】 （1）由 后得到曲线 C2，可得： ，代入圆C1：x 2+y2=1，化简可得曲线 C2 的直角坐标方程，将直线 l 的极坐标方程为cos+2sin= 化为：cos+2sin=10，进而可得直线 l 的直角坐标方程；（2）将直线 x+2y10=0 平移与 C2 相切时，则第一象限内的切点 M 满足条件，联立方程求出 M 点的坐标，进而可得答案【解答】解：（1） 后得到曲线 C2， ，代入圆 C1：x 2+y2=1 得： ，故曲线 C2 的直角坐标方程为 ；直线 l 的极坐标方程为 cos+2sin= 即 cos+2sin=10，即 x+2y10=0，（2）将直线 x
39、+2y10=0 平移与 C2 相切时，则第一象限内的切点 M 满足条件，设过 M 的直线为 x+2y+C=0，则由 得： x2+ Cx+ C236=0，由= （ C） 24 （ C236）=0 得：C= ，故 x= ，或 x= ， （舍去） ，则 y= ，即 M 点的坐标为（ ， ） ，则点 M 到直线 l 的距离 d= =选修 4 一 5：不等式选讲24已知函数 f（x ）=|x1|+|x2|（I）求关于 x 的不等式 f（x ）2 的解集；（）如果关于 x 的不等式 f（x）a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】 （）依题意，|x1|+|x2|2，通过对 x 的范围分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式来解即可；（）利用分段函数 y=|x1|+|x2|，根据绝对值的意义，可求得 ymin，只需a ymin 即可求得实数 a 的取值范围【解答】解：（）f（x ）2 即|x1|+|x2|2，原不等式可化为：或 或 ，解得： x1 或 1x2 或 2x ，不等式的解集是x| x ；（）f（x ）=|x1|+|x2|（x1） （x 2）|=1 ，故若关于 x 的不等式 f（x）a 的解集不是空集，则 a1，a 的范围是（1，+） 2017 年 1 月 15 日
