1、2015-2016 学年山东省德州市武城二中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（本题包括 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题只有一个选项符合题意）1已知全集 U=R，集合 A=x|x22x0，B=x|y=lg（x 1），则（ UA） B 等于（ ）Ax|x2 或 x0 Bx |1x2 Cx|1x2 Dx|1x22已知向量 ， 若 与 平行，则实数 x 的值是（ ）A2 B0 C1 D23已知 为第四象限角sin+cos= ，则 cos2=（ ）A B C D4设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=11，a 4+a6=6，则当 Sn 取最小值时，n 等于（
2、）A6 B7 C8 D95过原点作曲线 y=lnx 的切线，则切线斜率为（ ）Ae 2 B Ce D6设命题甲：ax 2+2ax+10 的解集是实数集 R；命题乙：0a1，则命题甲是命题乙成立的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件7为了得到函数 y=sin2x+cos2x 的图象，可以将函数 y= cos2x 图象（ ）A向右平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向左平移 个单位8如图，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）A B4 C D29已知定义在 R 上的奇函
3、数 f（x） ，满足 f（x4）=f（x）且在区间0，2上是增函数，则（ ）Af（ 25）f（11）f（80） Bf（80）f（11）f（ 25） Cf（11）f（80）f （ 25）Df（ 25）f（80）f（11）10函数 f（x）=x 33x29x+3，若函数 g（x）=f（x）m，在 x2，5上有 3 个零点，则 m 的取值范围为（ ）A1，8 B （ 24，1 C1，8） D （24，8）二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分）11在ABC 中，a=15，b=10，A=60 ，则 cosB= 12过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 13若在区间
4、0，4上任取一个数 m，则函数 f（x）= x3x2+mx 在 R 上是单调增函数的概率是 14若变量 x，y 满足 ，则 的最大值为 15f（x）是定义在2，2上的偶函数，且 f（x）在0，2上单调递减，若 f（1 m）f（m）成立，求实数 m 的取值范围 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）16已知| |=4，| |=8， 与 的夹角是 120（1）计算| + |，|4 2 |；（2）当 k 为何值时， （ +2 ）（k ）？17某超市在一次促销活动中，设计一则游戏：一袋中装有除颜色完全相同的 2 各红球和 4 个黑球规定：从袋中一次模一球，获二等奖；从袋中一次摸两球，得一红，一
5、黑球或三等奖，得两红球获一等奖，每人只能摸一次，且其他情况没有奖（）求某人一次只摸一球，获奖的概率；（）求某人一次摸两球，获奖的概率18在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 bcosC+ccosB=2acosB（）求角 B 的大小；（）若函数 f（x）=sin（2x+B）+sin （2xB）+2cos 2x1，x R（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在区间 上的最大值和最小值19已知数列a n各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 （nN +） （1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足： ，求数列b n的前 n 项和 Tn20如图，在
6、三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面 ABC，且ABC 为正三角形，AA 1=AB=6，D 为 AC 的中点（1）求证：直线 AB1平面 BC1D；（2）求证：平面 BC1D平面 ACC1A；（3）求三棱锥 CBC1D 的体积21设函数 f（x）=lnx+ ，mR（）当 m=e（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的极小值；（）讨论函数 g（x）=f（x） 零点的个数；（）若对任意 ba0， 1 恒成立，求 m 的取值范围2015-2016 学年山东省德州市武城二中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每
7、小题只有一个选项符合题意）1已知全集 U=R，集合 A=x|x22x0，B=x|y=lg（x 1），则（ UA） B 等于（ ）Ax|x2 或 x0 Bx |1x2 Cx|1x2 Dx|1x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合 A 中的一元二次不等式的解集，确定出集合 A，由全集 R，求出集合 A 的补集，然后求出集合 B 中对数函数的定义域确定出集合 B，求出集合 A 补集与集合 B 的交集即可【解答】解：由集合 A 中的不等式 x22x0，因式分解得：x（x2）0，解得：x2 或 x0，所以集合 A=x|x2 或 x0，又全集 U=R，C uA=x|0x2，又根据集合 B 中的
8、对数函数可得： x10，解得 x1，所以集合 B=x|x1，则（C uA）B=x|1x2 故选 D2已知向量 ， 若 与 平行，则实数 x 的值是（ ）A2 B0 C1 D2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算【分析】由题意分别可得向量 与 的坐标，由向量平行的充要条件可建立关于 x 的方程，解之即可【解答】解：由题意可得 =（3，x+1） ， =（ 1，1x） ，因为 与 平行，所以 3（1x）（x+1）（ 1）=0，解得 x=2故选 D3已知 为第四象限角sin+cos= ，则 cos2=（ ）A B C D【考点】二倍角的余弦【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间
9、的关系可求得 cossin= ，再利用二倍角的余弦即可求得 cos2【解答】解：sin+cos= ，两边平方得：1+2sincos= ，2sincos= 0， 为第四象限角，sin0，cos0，cossin 0cossin = ，可解得：cos2= 故选：D4设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=11，a 4+a6=6，则当 Sn 取最小值时，n 等于（ ）A6 B7 C8 D9【考点】等差数列的前 n 项和【分析】条件已提供了首项，故用“a 1，d”法，再转化为关于 n 的二次函数解得【解答】解：设该数列的公差为 d，则 a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d= 6，解得 d
10、=2，所以 ，所以当 n=6 时，S n 取最小值故选 A5过原点作曲线 y=lnx 的切线，则切线斜率为（ ）Ae 2 B Ce D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点坐标为（a，lna） ，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0） ，求切点坐标，切线的斜率【解答】解：解：设切点坐标为（a，lna） ，y=lnx，y = ，切线的斜率是 ，切线的方程为 ylna= （x a） ，将（0，0）代入可得 lna=1，a=e，切线的斜率是 = ；故选：D6设命题甲：ax 2+2ax+10 的解集是实数集 R；命题乙：0a1，则命题甲是命题乙成立的（ ）A充分非必要条
11、件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法【解答】解：ax 2+2ax+10 的解集是实数集 Ra=0，则 10 恒成立a0，则 ，故 0a1由得 0a 1即命题甲0a1因此甲推不出乙，而乙 甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件故选 B7为了得到函数 y=sin2x+cos2x 的图象，可以将函数 y= cos2x 图象（ ）A向右平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向左平移 个单位【考点】函数 y=Asin（
12、x+）的图象变换【分析】由和差角的公式化简可得 y= cos2（x ） ，由三角函数图象变换的规则可得【解答】解：化简可得 y=sin2x+cos2x= （ sin2x+ cos2x）= cos2（x ）只需将函数 y= cos2x 的图象向右平移 个单位可得故选：B8如图，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）A B4 C D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角
13、形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为 2 ，2，底面边长为 2故底面菱形的面积为 =2侧棱为 2 ，则棱锥的高 h= =3故 V= =2故选 C9已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，满足 f（x4）=f（x）且在区间0，2上是增函数，则（ ）Af（ 25）f（11）f（80） Bf（80）f（11）f（ 25） Cf（11）f（80）f （ 25）Df（ 25）f（80）f（11）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：f（x4）= f（x） ，f（x 8）=f （ x4）=f（x） ，即函数的周期是
14、 8，则 f（11）=f（3）= f（3 4）= f（ 1）=f（1） ，f（80）=f（0） ，f（ 25）=f（1） ，f（x）是奇函数，且在区间0，2上是增函数，f（x）在区间2，2上是增函数，f（ 1）f（0）f（1） ，即 f（ 25）f（80）f（11） ，故选：D10函数 f（x）=x 33x29x+3，若函数 g（x）=f（x）m，在 x2，5上有 3 个零点，则 m 的取值范围为（ ）A1，8 B （ 24，1 C1，8） D （24，8）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】利用导数的运算法则可得 f（x） ，列出表格即可得出函数 f（x）的单调性极值与最值，再画出函数 y
15、=f（x）与 y=m 的图象，即可得出 m 的取值范围【解答】解：f（x）=3x 26x9=3（x 22x3）=3 （x 3） （x+1） ，令 f（x）=0，解得 x=2 或 3其单调性如表格：x 2，1） 1 （ 1， 3） 3 （3，5f（x） + 0 0 +f（ x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增可知：当 x=3 时，函数 f（x）取得极小值，f（3）=3 333293+3=24，又 f2）=（2） 33（ 2） 29（2）+3=1，可知最小值为 f（3） ，即24当 x=1 时，函数 f（x）取得极大值，f （ 1）= （ 1） 33（1） 29（1）+3=8，又 f
16、（5）=5 335295+3=8，可知函数 f（x）的最大值为 f（5）或 f（1） ，即为 8画出图象 y=f（x）与 y=m由图象可知：当 m（1，8）时，函数 y=f（x）与 y=m 的图象由三个交点因此当 m（1，8）时，函数g（x）=f（x）m 在 x2，5上有 3 个零点故选 C二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分）11在ABC 中，a=15，b=10，A=60 ，则 cosB= 【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可求得 sinB= ，再由 ba，可得 B 为锐角，cosB= ，运算求得结果【解答】解：由正弦定理可得 = ，sinB= ，再由 ba，可得
17、B 为锐角，cosB= = ，故答案为： 12过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2xy=0 或 x+y3=0 【考点】直线的两点式方程【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设出该直线的方程为 x+y=a，把已知点坐标代入即可求出 a 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 y=kx，把已知点的坐标代入即可求出 k 的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为 x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的
18、方程为 x+y=3 即 x+y3=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为 y=2x 即 2xy=0综上，所求直线的方程为：2xy=0 或 x+y3=0故答案为：2xy=0 或 x+y3=013若在区间0，4上任取一个数 m，则函数 f（x）= x3x2+mx 在 R 上是单调增函数的概率是 【考点】几何概型【分析】由题意，本题属于几何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的区域长度以及满足条件的 m 的范围对应的区域长度，利用几何概型概率公式可求【解答】解：f（x）= x3x2+mx，f（x）=x 22x+
19、m，导函数为抛物线，开口向上，要使 f（x）在 R 上单调，f （x）=x 22x+m0 在 R 上恒成立，即 mx 2+2x 在 R 上恒成立，m 大于等于x 2+2x 的最大值即可，x 2+2x=（x1） 2+11，m1，m4，1m4，长度为 3，区间0，4上任意取一个数 m，长度为 4，函数 f（x）= x3x2+mx 是 R 上的单调函数的概率是 故答案为： 14若变量 x，y 满足 ，则 的最大值为 【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，由 的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求得答案【解答】解：由约束条件 ，作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点（x，y）与
20、定点 P（ 2， 1）连线的斜率， 的最大值为 故答案为： 15f（x）是定义在2，2上的偶函数，且 f（x）在0，2上单调递减，若 f（1 m）f（m）成立，求实数 m 的取值范围 1 【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反，可得 f（x）在2，0上单调递增，故不等式 f（1m）f（m）可化为 ，解得即得答案【解答】解：f（x）在0， 2上单调递减，且 f（x）是定义在2，2上的偶函数，故 f（x）在 2，0上单调递增，故不等式 f（1m）f（m）可化为解得1 ，即实数 m 的取值范围为：1故答案为：1三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）16已知| |
21、=4，| |=8， 与 的夹角是 120（1）计算| + |，|4 2 |；（2）当 k 为何值时， （ +2 ）（k ）？【考点】平面向量数量积的运算【分析】 （1）运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到；（2）运用向量垂直的条件：数量积为 0，解方程即可得到 k【解答】解：（1）| |=4， | |=8， 与 的夹角是 120，则 =48cos120=16，即有| + |= = = =4 ，|4 2 |= = =16 ；（2）由（ +2 ）（k ）可得（ +2 ）（k ）=0 ，即 k +（2k1） 2 =0，即 16k16（2k1）128=0，解得 k=7则当
22、 k 为7 时， （ +2 ）（k ） 17某超市在一次促销活动中，设计一则游戏：一袋中装有除颜色完全相同的 2 各红球和 4 个黑球规定：从袋中一次模一球，获二等奖；从袋中一次摸两球，得一红，一黑球或三等奖，得两红球获一等奖，每人只能摸一次，且其他情况没有奖（）求某人一次只摸一球，获奖的概率；（）求某人一次摸两球，获奖的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】本题是一个古典概型，根据古典概型的概率公式求解即可【解答】解：（）因为六个球中共有 2 个红球，故某人一次摸一球获奖的概率是 p= （）将六个球分别记为 a，b，c，d，m，n，其中 m，n 两个是红球，从这袋中任取两球
23、取法有（a，b） ， （a，c ） ， （a，d） ， （a，m ） ， （a，n） ， （b，c ） ， （b，d） ， （b，m ） ，（b，n） ， （c，d） ， （c ，m） ， （c，n） ， （d，m） ， （d，n） ， （m，n） ，共 15 种，其中含红球的有 9 种，故求某人一次摸两球，获奖的概率是 18在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 bcosC+ccosB=2acosB（）求角 B 的大小；（）若函数 f（x）=sin（2x+B）+sin （2xB）+2cos 2x1，x R（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在区间 上
24、的最大值和最小值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sinA=2sinAcosB，又 sinA0，可得 从而可求 B（）由（）知 ，化简函数解析式可得 f（x）= sin（2x+ ） ，利用周期公式可求 f（x）的最小正周期，由 ，利用正弦函数的图象和性质可求 ，从而得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）由bcosC+ccosB=2acosB，变为 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，即 sinA=2sinAcosB （）由（）知 ，所以 =（1）f（x）的最小正周期 （2） ， ，所以， 故 19已知数列a n各项均为
25、正数，其前 n 项和 Sn 满足 （nN +） （1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足： ，求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）利用递推关系与等差数列的通项公式可得 an；（2）利用“错位相减法” 与等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：（1） （nN +） 当 n=1 时，4a 1= ，解得 a1=1当 n2 时，4a n=4（S nSn1）= ，化为（a n+an1） （a nan12）=0，数列a n各项均为正数，a nan1=2数列a n是等差数列，首项为 1，公差为 2a n=2n1（2） =（2n1）2 n1数列b n
26、的前 n 项和 Tn=1+32+522+（2n1）2 n1，2T n=2+322+（2n 3）2 n1+（2n1）2 n，T n=1+2（2+2 2+2n1）（2n1）2 n= 1（2n1）2 n=（32n）2 n3，T n=（2n3） 2n+320如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面 ABC，且ABC 为正三角形，AA 1=AB=6，D 为 AC 的中点（1）求证：直线 AB1平面 BC1D；（2）求证：平面 BC1D平面 ACC1A；（3）求三棱锥 CBC1D 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】 （1）连接 B1C 交 BC1 于点 O，连接
27、 OD，则点 O 为 B1C 的中点可得 DO 为AB 1C 中位线，A1BOD，结合线面平行的判定定理，得 A1B平面 BC1D；（2）由 AA1底面 ABC，得 AA1BD正三角形 ABC 中，中线 BDAC，结合线面垂直的判定定理，得 BD平面 ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面 BC1D平面 ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥 CBC1D 的体积【解答】 （1）证明：连接 B1C 交 BC1 于点 O，连接 OD，则点 O 为 B1C 的中点D 为 AC 中点，得 DO 为 AB1C 中位线，A 1BODOD 平面 AB1C，A 1B平面 BC1D，直线 AB
28、1平面 BC1D；（2）证明：AA 1底面 ABC，AA 1BD，底面 ABC 正三角形，D 是 AC 的中点BDACAA 1AC=A，BD平面 ACC1A1，BD平面 BC1D，平面 BC1D平面 ACC1A；（3）解：由（2）知，ABC 中，BDAC，BD=BCsin60=3 ，S BCD = = ，V CBC1D=VC1BCD= 6=9 21设函数 f（x）=lnx+ ，mR（）当 m=e（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的极小值；（）讨论函数 g（x）=f（x） 零点的个数；（）若对任意 ba0， 1 恒成立，求 m 的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数
29、的零点【分析】 （）m=e 时，f（x）=lnx+ ，利用 f（x）判定 f（x）的增减性并求出 f（x）的极小值；（）由函数 g（x）=f（x） ，令 g（x）=0，求出 m；设 （x）=m，求出 （x）的值域，讨论 m 的取值，对应 g（x）的零点情况；（）由 ba0， 1 恒成立，等价于 f（b）bf（a）a 恒成立；即 h（x）=f（x）x 在（0，+）上单调递减；h（x）0，求出 m 的取值范围【解答】解：（）当 m=e 时，f （x）=lnx+ ，f（x）= ；当 x（0，e ）时，f （x） 0，f（x）在（0，e）上是减函数；当 x（e，+）时，f（x） 0，f（x）在（e，+
30、）上是增函数；x=e 时，f （x ）取得极小值为 f（e ）=lne + =2；（）函数 g（x）=f（x） = （x0） ，令 g（x）=0，得 m= x3+x（ x0） ；设 （x）= x3+x（x0） ，（x ）= x2+1=（x1） （x+1） ；当 x（0，1）时，（x）0， （x）在（0，1）上是增函数，当 x（1，+）时，（x）0， （x）在（1，+）上是减函数；x=1 是 （x）的极值点，且是极大值点，x=1 是 （x）的最大值点，（x）的最大值为 （1） = ；又 （0）=0，结合 y=（x）的图象，如图；可知：当 m 时，函数 g（x）无零点；当 m= 时，函数 g（x）
31、有且只有一个零点；当 0m 时，函数 g（x）有两个零点；当 m0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；综上，当 m 时，函数 g（x）无零点；当 m= 或 m 0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；当 0m 时，函数 g（x）有两个零点；（）对任意 ba0， 1 恒成立，等价于 f（b）bf（a） a 恒成立；设 h（x）=f（x）x=lnx + x（x0） ，则 h（b）h（a） h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）= 10 在（0，+ ）上恒成立，mx 2+x= + （ x0） ，m ；对于 m= ，h（x）=0 仅在 x= 时成立；m 的取值范围是 ，+） 2016 年 11 月 10 日
